第07讲 三角形中的边角关系（3大知识点+17大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（沪科版）

第07讲 三角形中的边角关系（3大知识点+17大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 三角形的分类 题型四 三角形的稳定性及应用 题型五 构成三角形的条件 题型六 确定第三边的取值范围 题型七 三角形三边关系的应用 题型八 画三角形的高 题型九 与三角形的高有关的计算问题 题型十 根据三角形中线求长度 题型十一 根据三角形中线求面积 题型十二 三角形的内角和定理 题型十三 直角三角形的两个锐角互余 题型十四 三角形的外角的定义及性质 题型十五 三角形角平分线的定义 题型十六 利用网格求三角形面积 题型十七 锐角互余的三角形是直角三角形 知识点01 三角形的分类 1、按边分类： 2、按角分类： 不等边三角形 直角三角形 三角形 三角形 锐角三角形 等腰三角形（等边三角形是特例） 斜三角形 钝角三角形 知识点02 三角形的性质 1、三角形的三边关系： 三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。 2、三角形的三角关系： 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。 三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。 3、 三角形的外角性质 （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 知识点03 三角形的角平分线、中线和高 【典型例题一 三角形的识别与有关概念】 1．（2023河北石家庄·一模）　　叫做三角形 A．连接任意三点组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形 C．由三条线段组成的图形 D．以上说法均不对 2．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·全国·单元测试）如图所示，图中共有 个三角形，其中以AB为边的三角形有 个，以∠A为内角的三角形有 个． 4．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为 ．    5．（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． （1）图中共有多少个三角形？并把它们表示出来． （2）的三个顶点是什么？三条边是什么？ （3）以为边的三角形有哪些？ （4）以点为顶点的三角形有哪些？ （5）所对的边是什么？ 【典型例题二 三角形的个数问题】 1．（22-23七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，以BC为边的三角形共有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 2．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）图中三角形的个数是（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 3．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）如图，共有 个三角形． 4．（22-23八年级下·全国·期末）如图所示，图中有 个三角形．    5．（22-23八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 6．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形，……    （1）完成下表： 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 （2）若出现了45个三角形，则共连接了_____个点?若一直连接到An，则图中共有______个三角形． 【典型例题三 三角形的分类】 1．（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图所示，方格中有A、B、C、D、E五个格点，以这5个格点中的3个点为顶点画三角形，其中直角三角形有(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示的三角形有一部分被遮挡，通过观察，判断三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 3．（22-23八年级下·全国·课前预习）三角形按角分类可分为： 、 、 ． 4．（22-23八年级下·全国·课前预习）三角形按边分类可分为 、 ；等腰三角形可分为 、 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据下列所给条件，判断的形状． （1），，； （2）； （3）； （4），． 6．（22-23八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．      （1）在图1中作一直角，使得的面积为4． （2）在图2中作一钝角，使得的面积为4． 【典型例题四 三角形的稳定性及应用】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下列图形具有稳定性的是（    ） A．正方形 B．长方形 C．五边形 D．直角三角形 2．（23-24八年级上·广东中山·期末）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．四边形 B．三角形 C．长方形 D．正方形 3．（2023八年级上·全国·专题练习）生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有 ． 4．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是 ．    5．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求： （1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案． （2）通过上面的设计，可以看出至少需再加 根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用． （3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是． 6．（22-23七年级下·山西·阶段练习）被外界赞誉为世界奇迹的港珠澳大桥(下图)，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长55公里，无论从施工难度，还是从施工的复杂度，甚至从施工周期的长短来看，都足以配得上这样的称赞． (1)观察大桥图形，有好多的拉线，这些拉线和大桥的其他部位组成的图形形状是三角形，这样设计是利用了三角形的 ； (2)用八根木条钉成的如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要再钉 根木条，在图上画出来． 【典型例题五 构成三角形的条件】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下列图形具有稳定性的是（    ） A．正方形 B．长方形 C．五边形 D．直角三角形 2．（23-24八年级上·广东中山·期末）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．四边形 B．三角形 C．长方形 D．正方形 3．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）已知三条线段长度分别为1、2、4，能否组成三角形？ （填“能”或“不能”）． 4．（22-23七年级下·上海·课后作业）如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为 cm． 5．（22-23八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知三条线段，，，以这三条线段为边能构成三角形吗？请说明理由． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图，在一个四边形各边上任意取一点，并顺次连接它们．想一想，你得到的图形周长与原四边形周长哪一个大？为什么？如果是一个五边形呢？六边形呢？ 【典型例题六 确定第三边的取值范围】 1．（23-24八年级上·河南漯河·期中）一个三角形的两条边分别为2和6，则这个三角形的第三边的长可以是（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 2．（23-24八年级上·广西玉林·期中）小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择的木条长度为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山西临汾·期末）一个三角形的两边长分别为2和14，第三边长为偶数，则第三边长为 ． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边长可以是 ．（写出一个即可） 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）两根木棒的长分别是和．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长的取值情况有几种? 6．（22-23八年级上·云南昭通·期中）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 价格/（元/根） 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根． (1)有几根规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为偶数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 【典型例题七 三角形三边关系的应用】 1．（23-24八年级上·重庆开州·期末）以下长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．5，5，8 C．3，2，7 D．3，5，9 2．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）已知的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 3．（22-23九年级上·广东茂名·期末）已知三角形三边长分别为1，3，，若为奇数，则值为 ． 4．（22-23七年级上·广东深圳·期末）边长为1的小正方形组成如图所示的6×6网格，点A，B，C，D，E，F，G，H都在格点上．其中到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是 ． 5．（22-23八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．    (1)若，，，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 【典型例题八 画三角形的高】 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，是的高的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）作三角形的一条高，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条高线的交点在三角形的外部，则这个三角形是 三角形 4．（22-23七年级下·辽宁丹东·期中）如图，中，，于点D，图中线段可以作为的高的有 条． 5．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将向下平移2格，再向右平移4格． (1)请在图中画出平移后的； (2)在图中画出的高． 【典型例题九 与三角形的高有关的计算问题】 1．（22-23七年级下·重庆·期中）如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，则AC=（    ） A．10 B． C． D．7 2．（2023·山东淄博·一模）如图，△ABC的面积可以表示为（     ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·山东临沂·期末）在中，AB=a，BC=b，的高AD与高CE的比是 4．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，的高与高之比是 ． 5．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，是的高，，，求的度数． 6．（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【典型例题十 根据三角形中线求长度】 1．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（    ） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 2．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（    ） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 3．（22-23七年级下·辽宁本溪·期中）如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为 ． 4．（22-23七年级下·全国·课后作业）连结三角形的一个顶点和它 的 叫做三角形这边上的中线．如图，若BE是中AC边上的中线，则AE ． 5．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 6．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 【典型例题十一 根据三角形中线求面积】 1．（22-23八年级上·云南玉溪·期中）三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是（      ） A．中线 B．角平分线 C．高 D．最长边上的高 2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，分别是，的中点，则图中与的面积相等的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ．    4．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则等于    5．（22-23七年级上·广东·开学考试）如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是多少？ 6．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，为的中线，点E为的中点． (1)，，求的度数； (2)若的面积为，，则点E到边的距离为多少． 【典型例题十二 三角形的内角和定理】 1．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）若三角形三个内角度数之比为，则这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（2024·广东潮州·一模）如图所示，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）在中，，则 4．（2024·湖北孝感·三模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为 ． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，点、分别在、上，且，，，求的度数． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【典型例题十三 直角三角形的两个锐角互余】 1．（22-23八年级下·湖南永州·期中）在中，，，则（      ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·浙江·期末）若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角等于 ． 4．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，为直角三角形，，于点，与相等的角是 ． 5．（222-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，，的顶点F、G分别在直线、上，交于点H，且平分．若，，求的度数． 6．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，相交于点，如果，求的度数． 【典型例题十四 三角形的外角的定义及性质】 1．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）将一副三角板按如图所示放置，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，是的一个外角，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）在中，如果，那么的外角等于 度． 4．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）如图，在中，点D是上一点，，，则 °．    5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，是的平分线，，点D在的延长线上，．求：的度数． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，． 求：（1）的度数；（2）求的度数． (1)（ ） ． （ ） （等量代换） (2) （等式的性质） （已知） （等量代换）． 【典型例题十五 三角形角平分线的定义】 1．（22-23八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，则是三角形的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高 D．垂直平分线 2．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（    ） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB 3．（22-23八年级上·河北唐山·期中）在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 4．（22-23八年级上·云南玉溪·期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠C＝34°，则∠DAE= ． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，中，，为上一点，连接平分，分别交于点，若，求证：    6．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【典型例题十六 利用网格求三角形面积】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23七年级下·天津河西·期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，则CE的长为 ． 4．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成，已知小长方形的长，宽分别为，，则图中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是 ．（用，的代数式表示） 5．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到． (1)补全；利用网格点和直尺画图； (2)画出中边上的高线； (3)点E为方格纸上的格点（异于点C），若，则图中的格点E共有 个． 6．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为：，，．将三角形先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点在直线上，且，直接写出点的坐标． 【典型例题十七 锐角互余的三角形是直角三角形】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（    ） A．∠B=50° ，∠C=40° B．∠B=∠C=45° C．∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2 D．∠A-∠B=90° 3．（22-23七年级下·云南文山·期末）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 5．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、Q在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，找一个格点P，连接，使为直角三角形； (2)在图2中，找一个格点H，连接，使． 6．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：（已知） 又（ ） （等量代换） 平分（已知） （ ） （已知） （ ） （等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 【变式训练1 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列图形，其中是三角形的是 （    ） A．    B．    C．    D．    2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 3．（22-23八年级上·江西南昌·期中）一个三角形的两条边长分别为3，5，周长为11，那么它的第三边长为 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）某有理数等于它的倒数的4倍，现在某三角形的两条边的长度分别是这个有理数和它的倒数，这个三角形的面积最大是 ． 5．（2022八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【变式训练2 三角形的个数问题】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，图中共有（    ）个三角形．    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 3．（22-23八年级上·广西百色·期中）如图所示的三角形共有 个． 4．（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，一共有 个三角形；从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 5．（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【变式训练3 三角形的分类】 1．（23-24七年级下·四川德阳·期中）已知三个点，则以这三个点为顶点的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）直角三角形的定义∶有一个角是 的三角形，是直角三角形． 4．（22-23七年级下·上海·期中）在中，，，，那么是 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ） 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）在中，，，且的长为偶数，求的周长，并判断其形状． 6．（22-23八年级上·广东湛江·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的格点上． (1)在图①中画出，使为直角三角形（要求点C在小正方形的格点上，画一个即可）． (2)求图①中的面积． 【变式训练4 三角形的稳定性及应用】 1．（2024八年级上·广东潮州·学业考试）下列图形具有稳定性的是（ ） A．菱形 B．三角形 C．正方形 D．圆形 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条 A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）按如图所示的放置可以把手机放在一个支架上面，这样做的数学道理是 ． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图,木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是 ． 5．（22-23七年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图是一个四腿木椅的侧视图，椅子已经变形，请你将椅子修复加固，并用虚线在图中标明位置． 【变式训练5 构成三角形的条件】 1．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东广州·开学考试）下列长度的线段能组成三角形的是（　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 ． 4．（22-23八年级上·广东江门·期中）如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是 ． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)，，； (2)，，； (3)，，． 6．（22-23八年级上·山东聊城·期中）已知a，b，c为三角形的三边，满足，且，求三角形周长． 【变式训练6 确定第三边的取值范围】 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）若长度分别为，，的三条线段恰好可以围成一个三角形，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 故选：A． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ． 4．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）三角形的两边长分别是和，第三边长为整数，则三角形的周长为 ． 5．（22-23八年级上·陕西安康·期末）已知，若第三边的长是偶数，求的周长． 6．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）已知a、b、c是的三边长，，设三角形的周长是． (1)直接写出c与x的取值范围； (2)若x是小于18的偶数，求c的长． 【变式训练7 三角形三边关系的应用】 1．（2024·广东河源·一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（    ） A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）下列各组长度的3条线段，不能构成三角形的是（    ） A．3cm  5cm  10cm B．5cm  4cm  8cm C．4cm  6cm  9cm D．2cm  3cm  4cm 3．（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法． 4．（23-24八年级上·天津武清·期中）长度分别为2cm，3cm，7cm的木条 （填“能”或“不能”）围成一个三角形． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 6．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长． 【变式训练8 画三角形的高】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）下列图中，作边上的高正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）中边的高，表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有 个． 4．（23-24七年级上·山东淄博·期中）在如图所示的的三条高中，其中边上的高是线段 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 6．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，中， (1)画出边上的中线； (2)画出 边上的高 【变式训练9 与三角形的高有关的计算问题】 1．（22-23七年级下·河北唐山·期末）如图，的面积为，如果，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，于点B，则图中以为高线的三角形有 个 4．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为 ．    5．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，于点，于点，且与交于点．若，，，求的长． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，求和的长． 【变式训练10 根据三角形中线求长度】 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 2．（23-24八年级上·广西贺州·期中）若是的中线，已知比的周长大，则与的差为    （    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，是的中线，，则 ．    4．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ．    5．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长． 6．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．求的长． 【变式训练11 根据三角形中线求面积】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）能把任意一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．两边中点的连线 2．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，线段把分为面积相等的两部分，则线段是（）    A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上都不对 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，是的一条中线，若的面积是．则的面积为 ． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，D是边上中点，若，则的值为 ．    5．（22-23七年级上·广东·开学考试）如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是多少？ 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）如图所示，，，已知阴影部分的面积为平方厘米，求四边形的面积．    【变式训练12 三角形的内角和定理】 1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如果一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，在中，，，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是 ． 4．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图所示为一辆婴儿车的平面示意图，其中，，，则 ． 5．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，交于点D，于点E，，，求的度数． 6．（23-24七年级下·广东佛山·期中）已知是的平分线，是的平分线，且与相交于点E．请你利用所学知识成下列问题： (1)如图①，若，，求的大小： (2)如图②，求证： ； (3)如图③，请直接写出与、之间等量关系． 【变式训练13直角三角形的两个锐角互余】 1．（23-24八年级上·全国·期末）直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（　　） A． B．或 C． D． 2．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）将一副三角板按如图所示摆放，其中，，则∠2为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）在中，，，则的度数为 ． 4．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，，，则的度数为 ．    5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中．，，平分，．求证：．    6．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，是的角平分线，是高，，，求的度数．    【变式训练14 三角形的外角的定义及性质】 1．（2024·湖南长沙·二模）如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·二模）如图，直线，被直线所截，直线和不平行，根据图中数据可知直线和相交构成的锐角为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图所示，在中，，，外角 ． 4．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，是的一个外角，若，，则 ． 5．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，求证：． 6．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，和是的外角，若，求的度数．      【变式训练15 三角形角平分线的定义】 1．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）一个三角形的三条角平分线的交点在（    ） A．三角形内 B．三角形外 C．三角形的某边上 D．以上三种情形都有可能 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 4．（22-23八年级·全国·假期作业）一个三角形三条角平分线的交点在三角形内．( ) 5．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)用刻度尺画边上的中线． (2)用量角器画以点C为一个端点的的角平分线． 【变式训练16 利用网格求三角形面积】 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形的面积为 ． 4．（22-23七年级上·湖南娄底·期末）下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．      5．（23-24八年级下·广西贵港·期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高： (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在每个正方形的边长都是1的方格纸中，有满足大于，并且顶点A、B、C都在小正方形各格点上（请按照以下要求画出所求线段，要求所画线段的端点都落在格点上）． (1)在边上取一点D，连接，使． (2)画边上的高线． (3)直接写出的面积是__________． 【变式训练17 锐角互余的三角形是直角三角形】 1．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．（22-23八年级·全国·假期作业）有两个角互余的三角形是直角三角形．( ) 4．（22-23八年级上·浙江台州·期中）有两个角 的三角形是直角三角形． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 6．（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 1．（22-23七年级下·江西南昌·阶段练习）关于三角形的三个内角，下面说法错误的是（    ） A．必须有一个内角不大于60° B．必须有一个内角不小于60° C．最少有两个锐角 D．最多有两个锐角 2．（2022九年级·陕西·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23八年级下·广东河源·阶段练习）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门背面加钉了一根木条，这样做的道理是（　　）      A．三角形具有稳定性 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 4．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的角平分线 B． C．是的边的高 D． 5．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在处，并测得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）长度为2cm、3cm、6cm、7cm、8cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 个． 7．（22-23八年级上·湖南株洲·期中）有下面四根长度为3厘米，4厘米，5厘米，7厘米的木棒，选取其中3根组成三角形，则可以组成三角形共有 个． 8．（23-24八年级上·青海西宁·期中）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．则的面积为 ，的长 ． 9．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，平分，是高线，，，则的度数是 ． 10．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，，则 cm； （2）若AD是△ABC的角平分线，则 ；若，则 ； （3）若AH是△ABC的高，则△ABH是 三角形． 11．（22-23七年级下·全国·单元测试）在△ABC中，已知∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B，求∠A，∠B，∠C的度数，并判断这个三角形的形状． 12．（22-23八年级上·浙江湖州·阶段练习）现有三条线段，它们的长分别是9cm，18cm，26cm．这三条线段能构成三角形的三边吗？为什么？ 13．（22-23八年级上·湖北荆州·期中）已知三角形的三条边长为6、10和x． (1)若6是最短边长，求x的取值范围； (2)若x为整数，求三角形周长的最大值． 14．（22-23八年级上·吉林白城·阶段练习）图①、图②均是44的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△OABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求 画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画△ABC的角平分线BD，标出点D； (2)在图②中的边BC上找到格点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积 15．（23-24八年级上·河北保定·期末）阅读材料： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题，如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线．则四边形内角和就转化为和内角和的和，为． (1)解决问题：如图1，四边形是凹四边形，请探究（）与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：，他证明如下． 请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接并延长到点． (2)联系拓广：下面图的五角星和图的六角星都是一笔画成的（即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的）． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图中，的度数为______． ②图中，的度数为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 三角形中的边角关系（3大知识点+17大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 三角形的分类 题型四 三角形的稳定性及应用 题型五 构成三角形的条件 题型六 确定第三边的取值范围 题型七 三角形三边关系的应用 题型八 画三角形的高 题型九 与三角形的高有关的计算问题 题型十 根据三角形中线求长度 题型十一 根据三角形中线求面积 题型十二 三角形的内角和定理 题型十三 直角三角形的两个锐角互余 题型十四 三角形的外角的定义及性质 题型十五 三角形角平分线的定义 题型十六 利用网格求三角形面积 题型十七 锐角互余的三角形是直角三角形 知识点01 三角形的分类 1、按边分类： 2、按角分类： 不等边三角形 直角三角形 三角形 三角形 锐角三角形 等腰三角形（等边三角形是特例） 斜三角形 钝角三角形 知识点02 三角形的性质 1、三角形的三边关系： 三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。 2、三角形的三角关系： 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。 三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。 3、 三角形的外角性质 （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 知识点03 三角形的角平分线、中线和高 【典型例题一 三角形的识别与有关概念】 1．（2023河北石家庄·一模）　　叫做三角形 A．连接任意三点组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形 C．由三条线段组成的图形 D．以上说法均不对 【答案】B 【分析】根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的定义，属于概念题，正确并熟练掌握三角形的定义是解决本题的关键． 2．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的概念一一辨析可得正确解答． 【详解】解：三角形指的是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，而A、B、D图形的三根火柴都全部没有或者部分没有首尾相接，所以A、B、D都不符合题意，只有C图形是由三根火柴首尾顺次相接而成的，所以C符合三角形概念． 故选C． 【点睛】本题考查三角形的定义，正确理解三角形是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是解题关键． 3．（22-23七年级下·全国·单元测试）如图所示，图中共有 个三角形，其中以AB为边的三角形有 个，以∠A为内角的三角形有 个． 【答案】 5 2 2 【分析】由三角形的定义即可得出结论． 【详解】由图可知， 图中共有5个三角形：ABC、ABE、EBC、DBC、DEC， 其中以AB为边的三角形有2个：ABC、ABE， 以∠A为内角的三角形有2个：ABC、ABE． 故答案为  5.  2.  2. 【点睛】本题考查三角形的概念，需要注意仔细观察，不要漏写 4．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为 ．    【答案】4． 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC， ∴以BC为公共边的三角形的个数是4个． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题． 5．（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 【答案】4 【分析】根据比值和周长解答即可． 【详解】解：∵， 设AB为5x，BD为2x，AC为5y，CD为2y， ∵△ABC的周长是14cm， ∴5x+2x+5y+2y＝14， 解得：x+y＝2， 所以BC＝2（x+y）＝4． 【点睛】此题考查三角形的问题，关键是根据三角形的周长解答． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． （1）图中共有多少个三角形？并把它们表示出来． （2）的三个顶点是什么？三条边是什么？ （3）以为边的三角形有哪些？ （4）以点为顶点的三角形有哪些？ （5）所对的边是什么？ 【答案】（1）图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，；（2）;；（3）；（4）；（5）BE，AD或AB 【分析】（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行计数即可； （2）由题意依据三角形顶点以及边的表示方法进行表示即可； （3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可； （4）由题意依据三角形顶点为结合图形进行观察即可； （5）根据题意对所对的边分情况进行讨论可得. 【详解】解：（1）图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，； （2）的三个顶点是；三条边是； （3）观察图形可得以为边的三角形有； （4）观察图形可得以点为顶点的三角形有； （5）在中，所对的边为AD; 在中，所对的边为AB； 在中，所对的边为BE. 【点睛】本题考查三角形的性质，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答． 【典型例题二 三角形的个数问题】 1．（22-23七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，以BC为边的三角形共有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“以BC为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”． 2．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）图中三角形的个数是（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义即可得． 【详解】图中的三角形是，共8个 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义，掌握理解三角形的概念是解题关键． 3．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）如图，共有 个三角形． 【答案】6 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，共6个． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 4．（22-23八年级下·全国·期末）如图所示，图中有 个三角形．    【答案】8 【分析】直接根据三角形的定义即可得出答案． 【详解】图中有8个三角形，分别是． 【点睛】本题主要考查三角形的定义，做到不重不漏是关键． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 【答案】（1）3；（2）6；（3）66． 【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可； （2）根据三角形的定义结合图形进行分析即可得； （3）根据直线AB上有几条线段就有几个三角形，由线段的计数方法进行计算即可得答案. 【详解】（1）图中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3个； （2）图中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6个； （3）∵直线AB上有12个点， ∴直线AB上的线段共有：=66（条），即图中共有66个三角形． 【点睛】本题考查了三角形，规律题，关键在数三角形个数时要做到不重不漏. 6．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形，……    （1）完成下表： 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 （2）若出现了45个三角形，则共连接了_____个点?若一直连接到An，则图中共有______个三角形． 【答案】（1），，，；（2）8，. 【分析】（1）根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数，当1个分点时，有三角形数为，当2个分点时，有三角形数为，由此可找出规律，据此即可得答案； （2）由（1）继续推导可解得若出现了45个三角形，若一直连接到An，由个分点，三角形数量为前一个分点数的三角形总数加个，可知个分点，则有个三角形． 【详解】（1）由图形可得：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数． 所以当1个分点时，有三角形数为； 2个分点时，有三角形数为； 3个分点时，有； 4个分点时，有； 5个分点时，有； 6个分点时，有； （2）若出现45=1+2+3+4+5+6+7+8+9个三角形，根据上述规律，则有8个分点； 若有个分点，则有． 【点睛】本题考查了三角形的扩展知识，需要注意此题数三角形的个数实际上就是数线段的条数，能够正确计算，解这类数列需要先设他们之和为，再重构一组倒序相同的数列，正序与倒序两式相加，合并可解． 【典型例题三 三角形的分类】 1．（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图所示，方格中有A、B、C、D、E五个格点，以这5个格点中的3个点为顶点画三角形，其中直角三角形有(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直角三角形的概念求解即可． 【详解】如图所示，连接AB，AD，AE，DE， 直角三角形有，，， ∴直角三角形有3个， 故选：C． 【点睛】此题考查了直角三角形的概念和网格的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的概念．有一个角为直角的三角形为直角三角形． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示的三角形有一部分被遮挡，通过观察，判断三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：观察图形得：露出的角是钝角， 所以三角形是是钝角三角形； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形． 3．（22-23八年级下·全国·课前预习）三角形按角分类可分为： 、 、 ． 【答案】 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 【解析】略 4．（22-23八年级下·全国·课前预习）三角形按边分类可分为 、 ；等腰三角形可分为 、 ． 【答案】 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 【解析】略 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据下列所给条件，判断的形状． （1），，； （2）； （3）； （4），． 【答案】（1）锐角三角形（2）钝角三角形（3）直角三角形（4）等腰三角形 【分析】（1）通过最大角小于90°即可判断； （2）通过最大角大于90°即可判断； （3）通过最大角等于90°即可判断； （4）通过等腰三角形的定义即可判断． 【详解】（1）通过最大角小于90°所以此三角形为锐角三角形； （2）通过最大角大于90°所以此三角形为钝角三角形； （3）通过最大角等于90°所以此三角形为直角三角形； （4）通过三角形中有两条边相等可知此三角形为等腰三角形． 【点睛】此题考查了三角形的分类,知道通过角和边去区分三角形是解题的关键． 6．（22-23八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．      （1）在图1中作一直角，使得的面积为4． （2）在图2中作一钝角，使得的面积为4． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析． 【分析】（1）AB的长度为2，故以AB为直角边，作另一条直角边BC=4即可； （2）AB的长度为2，故以AB为底，作高为4的钝角三角形即可； 【详解】解：（1）如下图所示，直角，面积为4； （2）如下图所示，钝角，面积为4．    【点睛】本题考查三角形的分类，熟记三角形的面积等于底乘高是解题关键． 【典型例题四 三角形的稳定性及应用】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下列图形具有稳定性的是（    ） A．正方形 B．长方形 C．五边形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性， ∴形具有稳定性的是直角三角形． 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东中山·期末）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．四边形 B．三角形 C．长方形 D．正方形 【答案】B 【分析】此题考查的是对三角形稳定性，三角形不容易产生变形，因此三角形是最稳定的；四边形没有稳定性． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，四边形没有稳定性． 故选：B． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）生活中，自行车的车架大多设计成如图所示的三角形，这是因为三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 4．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，工人师傅制作门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是 ．    【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键． 【详解】解：如图所示，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框， 使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 5．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求： （1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案． （2）通过上面的设计，可以看出至少需再加 根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用． （3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是． 【答案】（1）答案见解析；（2）三；（3）三角形的稳定性． 【详解】解：（1）如图所示（答案不唯一） （2）至少要三根 故答案为：三； （3）三角形的稳定性． 6．（22-23七年级下·山西·阶段练习）被外界赞誉为世界奇迹的港珠澳大桥(下图)，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长55公里，无论从施工难度，还是从施工的复杂度，甚至从施工周期的长短来看，都足以配得上这样的称赞． (1)观察大桥图形，有好多的拉线，这些拉线和大桥的其他部位组成的图形形状是三角形，这样设计是利用了三角形的 ； (2)用八根木条钉成的如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要再钉 根木条，在图上画出来． 【答案】（1）稳定性 ；（2）5 ，图见解析 【分析】（1）根据三角形稳定性，即可回答； （2）通过添加辅助线，构造三角形，再确定答案即可． 【详解】（1）稳定性； （2）5 ，答案不唯一：参考答案如图 【点睛】三角形的稳定性在生产生活中具有广泛应用，要善于观察，体会． 【典型例题五 构成三角形的条件】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）下列图形具有稳定性的是（    ） A．正方形 B．长方形 C．五边形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性， ∴形具有稳定性的是直角三角形． 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东中山·期末）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．四边形 B．三角形 C．长方形 D．正方形 【答案】B 【分析】此题考查的是对三角形稳定性，三角形不容易产生变形，因此三角形是最稳定的；四边形没有稳定性． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，四边形没有稳定性． 故选：B． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）已知三条线段长度分别为1、2、4，能否组成三角形？ （填“能”或“不能”）． 【答案】不能． 【分析】由三角形三边的关系：任意两边的和大于第三边，从而可得结论． 【详解】解：＜， 为边不能组成三角形． 故答案为：不能． 【点睛】本题考查的是三角形三边的关系，掌握三角形的任意两边的和大于第三边是解题的关键． 4．（22-23七年级下·上海·课后作业）如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为 cm． 【答案】5 cm或7 cm； 【分析】可以构成三角形的三条线段必须满足两边和大于第三边，两边差小于第三边. 【详解】第三边长必须大于3cm小于9cm，又因为第三边长是奇数，所以第三边长可取5cm,或7cm. 【点睛】本题考查三角形三条边的关系. 5．（22-23八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知三条线段，，，以这三条线段为边能构成三角形吗？请说明理由． 【答案】能，理由见解析 【分析】根据三线段构成三角形的条件即可判断． 【详解】∵是最长线段，而 ∴以这三条线段为边能构成三角形 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，一般地：由于最长线段与任一线段的和总是大于第三边的，因此只要考虑两条短线段的和是否大于最长线段，即可判断三线段是否构成三角形． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图，在一个四边形各边上任意取一点，并顺次连接它们．想一想，你得到的图形周长与原四边形周长哪一个大？为什么？如果是一个五边形呢？六边形呢？ 【答案】得到的图形周长小于原四边形的周长，见解析；如果是一个五边形或是个六边形，结论仍然成立 【分析】任意两边上的点和两点间的顶点恰好构成一个三角形，利用三角形的三边关系可以得出结论． 【详解】解：得到的图形周长小于原四边形的周长． 理由：如图， ，， ， 四边形的周长＜四边形的周长． 如果是一个五边形或是个六边形，结论仍然成立． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边是解题的关键． 【典型例题六 确定第三边的取值范围】 1．（23-24八年级上·河南漯河·期中）一个三角形的两条边分别为2和6，则这个三角形的第三边的长可以是（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，三角形第三边的长度大于两边之差，且小于两边之和．根据已知边长求第三边长度的取值范围，即可获得答案．解题关键是理解并掌握三角形的三边关系． 【详解】解：设第三边的长为， 则， 故． 故选：C． 2．（23-24八年级上·广西玉林·期中）小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择的木条长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，已知两边长求出第三边的范围即可求解，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 【详解】解：设木条的长度为， 则，即， 符合的数值为． 故选D． 3．（22-23七年级下·山西临汾·期末）一个三角形的两边长分别为2和14，第三边长为偶数，则第三边长为 ． 【答案】14 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第三边长为偶数，就可以知道第三边的长度． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系，得 ， 即． 又∵第三边长是偶数，则， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．同时注意第三边长为偶数这一条件． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】5 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 则， 故答案可为：5（答案不唯一，大于3且小于7之间的数均可）． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）两根木棒的长分别是和．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长的取值情况有几种? 【答案】第三根木棒长的取值情况有4种． 【分析】设第三根木棒长度为 ，根据三角形的三边关系可得，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：设第三根木棒长度为 ，根据题意得： ，即， ∵第三根木棒的长为偶数， ∴可取4，6，8，10，有4种情况． 答：第三根木棒长的取值情况有4种． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 6．（22-23八年级上·云南昭通·期中）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 价格/（元/根） 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根． (1)有几根规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为偶数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 【答案】(1)种 (2)元 【分析】（1）做一个三角形的支架，根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解； （2）做成的三角形支架的周长为偶数，根据（1）中可选的结果，即可求解． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系可得，解得， ∵是整数， ∴，共种， ∴有种规格木棒可供选择． （2）解：三角形支架的周长为偶数，， ∴，三角形支架的第三根木棒长为， ∴（元）． ∴买木棒一共花了95元． 【点睛】本题主要考查三角形的实际运用，理解和掌握三角形三边关系，结合实际情况选择方案是解题的关键． 【典型例题七 三角形三边关系的应用】 1．（23-24八年级上·重庆开州·期末）以下长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．5，5，8 C．3，2，7 D．3，5，9 【答案】B 【分析】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，本选项不符合题意； B、，能组成三角形，本选项符合题意； C、，不能组成三角形，本选项不符合题意； D、，不能组成三角形，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）已知的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围是解题的关键． 【详解】解：设的第三边长为a，根据三角形的三边关系得， ， 解得， 符合条件的只有选项C， 故选：C． 3．（22-23九年级上·广东茂名·期末）已知三角形三边长分别为1，3，，若为奇数，则值为 ． 【答案】3 【分析】根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边”和x是奇数，即可得． 【详解】解：∵三角形三边长为1，，3，x， ∴， ∵x是奇数， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记三角形的三边关系． 4．（22-23七年级上·广东深圳·期末）边长为1的小正方形组成如图所示的6×6网格，点A，B，C，D，E，F，G，H都在格点上．其中到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是 ． 【答案】E 【分析】到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是对角线的交点，连接对角线，直接判断即可． 【详解】如图所示，连接BD、AC、GA、GB、GC、GD， ∵，， ∴到四边形ABCD四个顶点距离之和最小是，该点为对角线的交点， 根据图形可知，对角线交点为E， 故答案为：E． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题关键是通过连接辅助线，运用三角形三边关系判断点的位置． 5．（22-23八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程． 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成50和35两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件； ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， 综上：，． 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．    (1)若，，，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 【答案】(1)最大值为19，最小值为3 (2) 【分析】此题考查了三角形的三边关系，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件． （1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围． 【详解】（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为、、、． ，，， ， 要求的最小值，即将绕顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点从左到右依次为、、、． ，，， ． 综上，的最大值是19，最小值是3． （2）要围成四边形，则的取值范围为：． 【典型例题八 画三角形的高】 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：根据三角形高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E， 则线段是的高， 观察四个选项，线段是的高的图是选项D． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）作三角形的一条高，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形的高的定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键． 【详解】解：根据三角形的高的定义可得，   是三角形的边上的高， 故选：C． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条高线的交点在三角形的外部，则这个三角形是 三角形 【答案】钝角三角形 【分析】锐角三角形的三条高线交于三角形的内部，直角三角形的三条高线交于三角形的直角的顶点，钝角三角形的三条高线交于三角形的外部． 【详解】解：由题意知，如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角三角形． 【点睛】本题考查的知识点是三角形的角平分线、中线、高，主要考查了三角形的三条高线交点的位置与三角形的形状的关系． 4．（22-23七年级下·辽宁丹东·期中）如图，中，，于点D，图中线段可以作为的高的有 条． 【答案】3 【分析】根据三角形高的概念求解即可．过的一个顶点且垂直于对边的线段是三角形的高． 【详解】解：根据三角形高的定义，上的高是，上的高是，上的高是． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向它对边所作垂线段即是三角形的高，三角形共有三条高，它们交于一点． 5．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 利用基本作图，过A点作的垂线即可． 【详解】解：如图，线段即为所求， 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将向下平移2格，再向右平移4格． (1)请在图中画出平移后的； (2)在图中画出的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，画三角形的高，掌握三角形的高的定义，以及平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的方式进行平移，找到对应点，顺次连接，，，′即为所求， （2）根据网格的特点画出的高即可． 【详解】（1）解：如图，画出平移后的△ （2）如图，画出△的高． 【典型例题九 与三角形的高有关的计算问题】 1．（22-23七年级下·重庆·期中）如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12，则AC=（    ） A．10 B． C． D．7 【答案】A 【分析】利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD=6、CE=5、AB=12， ∴S△ABC=AB•CE=AC•BD， ∴AC==10， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积，熟知三角形面积公式是解题的关键． 2．（2023·山东淄博·一模）如图，△ABC的面积可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的高的定义、三角形的面积公式判断． 【详解】解：由题意知，BD为△ABC中AC边上的高， ∴△ABC的面积= 故选A． 【点睛】本题考查了三角形高的定义：过三角形的一个顶点向它的对边所在直线作一条垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高；也考查了三角形面积计算公式，底×高÷2，掌握这两个概念是解题关键． 3．（22-23八年级上·山东临沂·期末）在中，AB=a，BC=b，的高AD与高CE的比是 【答案】/a:b 【分析】根据题意可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∵AB=a，BC=b， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，根据题意得到是解题的关键． 4．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，的高与高之比是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的高、三角形的面积公式即可得． 【详解】解：，且，， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高，掌握理解三角形的高是解题关键． 5．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，是的高，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形的高的定义，解答此题的关键是理解三角形的内角和等于．首先根据是的高得，然后根据直角三角形的两个锐角互余分别求出，，进而可得的度数． 【详解】解：是的高， ， ，， ∵，， ，， ． 6．（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ．    （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 【典型例题十 根据三角形中线求长度】 1．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（    ） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的概念解答即可． 【详解】解：∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm， ∴BM＝AB＝5cm， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 2．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如右图，已知AM是的中线，点P是AC边上一动点，若的面积为10，，则MP的最小值为（    ） A．5 B．4 C．2.5 D．1.25 【答案】C 【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案． 【详解】解：∵AM是△ABC的中线， ∴ ==5， ∴点M到AC的距离为：÷4=2.5， 根据垂线段最短， 则MP的最小值2.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键． 3．（22-23七年级下·辽宁本溪·期中）如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为 ． 【答案】3 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差． 【详解】解：∵AD为中线， ∴BD=CD， 则C△ABD-C△ACD =（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD） =AB+AD+BD-AC-AD-CD =AB-AC =8-5 =3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法． 4．（22-23七年级下·全国·课后作业）连结三角形的一个顶点和它 的 叫做三角形这边上的中线．如图，若BE是中AC边上的中线，则AE ． 【答案】 所对边的中点 线段 ＝ AC 【分析】根据三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：连结三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形这边上的中线． ∵BE是中AC边上的中线， ∴ 故答案为：所对边的中点；线段；＝；AC； 【点睛】本题主要考查了三角形的中线，熟练掌握连结三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形这边上的中线是解题的关键． 5．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 【答案】比长厘米． 【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据中线的定义可得，然后求出的周长与的周长的差为，从而得解，求出两个三角形的周长的差等于是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， ∴， ， ， ∴比长厘米． 6．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 【答案】(1)8 (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）由题意得：， ， 是整数， ； （2）是的中线， 的周长为10， ， ， ， 的周长． 【典型例题十一 根据三角形中线求面积】 1．（22-23八年级上·云南玉溪·期中）三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是（      ） A．中线 B．角平分线 C．高 D．最长边上的高 【答案】A 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答． 【详解】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形， ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分． 故选：A 【点睛】本题考查了三角形的中线，需要掌握“三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形”的知识． 2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，分别是，的中点，则图中与的面积相等的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用得到，利用得到，，从而可判断图中与的面积相等的三角形个数． 【详解】解：∵D点是BC的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴图中与的面积相等的三角形有、和． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 3．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ．    【答案】8 【分析】根据三角形中线平分三角形的面积得到，则，即可得到． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：8． 【点睛】此题考查了三角形的中线，熟知三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 4．（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则等于    【答案】 【分析】根据中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中线的性质，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键． 5．（22-23七年级上·广东·开学考试）如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． ，根据三角形的中线平分面积，得到，，进而得到，又因为，即可求出的面积． 【详解】解：点E是线段的中点， ，， ， F是线段的中点， ． 6．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，为的中线，点E为的中点． (1)，，求的度数； (2)若的面积为，，则点E到边的距离为多少． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形的面积的知识，掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式进行计算即可得解； （2）根据高线的定义，过点E作的垂线，根据三角形的中线把三角形分成的两个面积相等的三角形，先求出的面积，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：是的外角， （2）如图，连接，过点作于点， 点E为的中点 为的中线 为的中线， 解得， 故点到边的距离为4． 【典型例题十二 三角形的内角和定理】 1．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）若三角形三个内角度数之比为，则这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为，熟练掌握这个定理是解答此题的关键．先根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比三个内角中最大内角，然后再判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为， ∴三个内角中最大内角是 ∴该三角形是直角三角形． 故选：B． 2．（2024·广东潮州·一模）如图所示，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理得，将代入计算，即可求解， 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握三角形内角和定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）在中，，则 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：． 4．（2024·湖北孝感·三模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理的应用，解题关键是理解反射角等于入射角． 根据题意得到后，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：依题得：， ， ， 中，． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，点、分别在、上，且，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键； （1）先求解，再利用平行线的性质可得答案； （2）先证明，，可得，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴，         ∵， ∴，   ∴； 【典型例题十三 直角三角形的两个锐角互余】 1．（22-23八年级下·湖南永州·期中）在中，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余解答即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 2．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，根据直角三角板的特点，可知，，，在中，根据两锐角互余即可求解． 【详解】解：一副三角尺，如图所示， ∴，，， ∴， 在中，， 故选：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中两个锐角的互余的关系是解题的关键． 3．（22-23八年级上·浙江·期末）若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角等于 ． 【答案】75° 【分析】根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵另一个锐角为15°， ∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°， 故答案为：75°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余． 4．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，为直角三角形，，于点，与相等的角是 ． 【答案】∠B 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余及余角的性质可以得出答案． 【详解】解：∵为直角三角形，， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 故答案为：∠B． 【点睛】本题考查直角三角形的有关知识，熟练应用直角三角形两个锐角互余及余角性质是解题关键． 5．（222-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，，的顶点F、G分别在直线、上，交于点H，且平分．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义、平行线的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，相交于点，如果，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余．根据是边上的高，得出，由是的角平分线，得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． 【典型例题十四 三角形的外角的定义及性质】 1．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）将一副三角板按如图所示放置，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键.利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出的度数. 【详解】解：根据题意得： . 故选：B. 2．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，是的一个外角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，牢记三角形的外角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， 故选B． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）在中，如果，那么的外角等于 度． 【答案】120 【分析】三角形的外角等于与它不相邻的两内角和，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴的外角的度数为：． 故答案为：120． 【点睛】本题考查三角形的外角定理．熟记相关结论是解题关键． 4．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）如图，在中，点D是上一点，，，则 °．    【答案】80 【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：是的一个外角， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，是的平分线，，点D在的延长线上，．求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形角平分线的定义，根据邻补角得出，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，                    又平分， ∴，                                  又，     ∴． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，． 求：（1）的度数；（2）求的度数． (1)（ ） ． （ ） （等量代换） (2) （等式的性质） （已知） （等量代换）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并理解． （1）依据题意，读懂题目中的因果关系然后进行判断可以得解； （2）依据题意，类似（1）进行分析，利用三角形的外角的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴． ∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）， ∴（等量代换）． （2）∵ ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 【典型例题十五 三角形角平分线的定义】 1．（22-23八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，则是三角形的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高 D．垂直平分线 【答案】A 【分析】由题意直接根据角平分线的概念和三角形的角平分线的概念进行分析判断选择即可． 【详解】解：∵∠1=∠2，AH是线段， ∴AH必为三角形ABC的角平分线． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，注意掌握三角形的角平分线和角平分线的联系和区别：三角形的角平分线是线段，角平分线是射线． 2．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（    ） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．S△AEB＝S△EDB 【答案】C 【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵AE＝DE， ∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意； B、∵BD平分∠EBC， ∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意； C、∵BD平分∠EBC， ∴∠2＝∠3， 但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意； D、∵S△AEB＝×AE×BC，S△EDB＝×DE×BC，AE＝DE， ∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键． 3．（22-23八年级上·河北唐山·期中）在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 【答案】高线 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解． 【详解】解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部， 而锐角三角形的三条高在三角形内部， 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部， 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部． 故答案为：高线． 【点睛】考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 4．（22-23八年级上·云南玉溪·期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠C＝34°，则∠DAE= ． 【答案】18°/18度 【分析】由三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，即可得出∠DAE的度数． 【详解】解：在△ABC中，∠BAC＝180°−∠B−∠C＝76°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝38°， 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°−∠B＝20°， ∴∠DAE＝∠BAE−∠BAD＝38°－20°＝18°， 故答案为：18°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解答的关键是掌握三角形的内角和是180°，难度适中． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，中，，为上一点，连接平分，分别交于点，若，求证：    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线和高的有关知识，正确利用角的等量代换是解答本题的关键． 根据，得出，再由角平分线的定义和，得出，最后根据，得到，即可求解． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ． 6．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数为，最后可求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1） ∵为的平分线， ∴ ∵为边的高， ∴， ∴． （2）∵是的中线, ∴ 由题意知： ∴ 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． 【典型例题十六 利用网格求三角形面积】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在长方形网格中画图得出结果． 【详解】解：C点所有的情况如图所示，共有4个 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中． 2．（22-23七年级下·天津河西·期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果． 【详解】解：C点所有的情况如图所示： 由图可得共有5个， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中． 3．（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，则CE的长为 ． 【答案】/ 【分析】取网格点M、N，先利用割补法求得，再根据，即可求解． 【详解】取网格点M、N，如图， 结合网格，利用割补法，可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求解网格图中线段长度的问题，利用割补法求出，并得到，是解答本题的关键． 4．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成，已知小长方形的长，宽分别为，，则图中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是 ．（用，的代数式表示） 【答案】 【分析】阴影部分的面积等于大长方形的面积去掉三个直角三角形的面积． 【详解】解： =4ab． 故答案为：4ab． 【点睛】本题考查运用割补法求阴影部分面积，解题关键是运用大长方形的面积减去三个直角三角形的面积． 5．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到． (1)补全；利用网格点和直尺画图； (2)画出中边上的高线； (3)点E为方格纸上的格点（异于点C），若，则图中的格点E共有 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查作图-平移变换、三角形的高． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据三角形的高的定义画图即可． （3）结合平行线的性质，过点A作的平行线，所经过的格点均为满足题意的点E，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，过点A作的平行线，所经过的格点均满足题意， ∴图中的格点E共有3个． 故答案为：3 6．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为：，，．将三角形先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点在直线上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)三角形见解析，，， (2)6 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移变换，熟练掌握图形的平移变换的应用是解题的关键，（1）根据平移规律画出，根据图中各点的位置即可写出点的坐标；（2）利用三角形面积公式，代入数据计算即可；（3）根据点在直线上，且，可分情况讨论：①点在中间；②点在上方；即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：由题可得，三角形先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到三角形如图所示： ∴，，． （2）解：由图可得：三角形的面积为：， 故三角形的面积为：6． （3）解：∵点在直线上，且， ①当点在中间， ∴点的坐标为 ②当点在上方； ∴点的坐标为 ∴点的坐标为或． 【典型例题十七 锐角互余的三角形是直角三角形】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和为，求出三角形中最大角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故小题正确； ②∵， ∴最大角， 故小题正确； ③∵， ∴， ∴， 故小题正确； 综上所述，是直角三角形的是①②③共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形内角和定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 2．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（    ） A．∠B=50° ，∠C=40° B．∠B=∠C=45° C．∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2 D．∠A-∠B=90° 【答案】D 【详解】A.是直角三角形，因为∠B+∠C=90°,根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形； B.是直角三角形．因为∠B+∠C=90°，根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形； C.是直角三角形．因为∠A:∠B:∠C=5:3:2,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形; D. 由∠A-∠B=90°无法判断哪个角是直角， 故选D. 3．（22-23七年级下·云南文山·期末）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 【答案】/15度 【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可． 【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是度． 则，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握直角三角形的两锐角互余是解答本题的关键． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 【答案】直角三角形 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论. 【详解】解: 在Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°, ∴∠A+∠C=90°, ∵∠DEC＝∠A, ∴∠DEC+∠C=90°, ∴∠EDC=90°, ∴△EDC 是直角三角形, 故答案为 直角三角形. 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握. 5．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、Q在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，找一个格点P，连接，使为直角三角形； (2)在图2中，找一个格点H，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格的特点和直角三角形的概念求解即可； （2）根据网格的特点求解即可． 【详解】（1）如图1所示，即为所要求作的直角三角形， （2）如图2所示，点H即为所要求作的点，    【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，直角三角形的概念，正确借助网格分析是解题关键． 6．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：（已知） 又（ ） （等量代换） 平分（已知） （ ） （已知） （ ） （等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 【答案】对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【分析】根据对顶角性质、角平分线性质和直角三角形定义可推出∠ADC． 【详解】证明：（已知） 又（ 对顶角相等 ） （等量代换） 平分（已知） （ 角平分线定义 ） （已知） （ 直角三角形两个锐角互余 ） （等量代换） ADC （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 故答案为：对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【点睛】考核知识点：对顶角性质、角平分线定义、直角三角形定义、垂直定义．理解垂直的定义和直角三角形性质是解题关键． 【变式训练1 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列图形，其中是三角形的是 （    ） A．    B．    C．    D．    【答案】B 【分析】根据三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 是三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握：平面上不共线的三点及其每两点连结的线段所组成的封闭图形是三角形． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【答案】B 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键． 3．（22-23八年级上·江西南昌·期中）一个三角形的两条边长分别为3，5，周长为11，那么它的第三边长为 ． 【答案】3 【分析】根据三角形周长的定义求解即可． 【详解】解：∵一个三角形的周长为11，两条边长分别为3，5， ∴第三边长为：， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查三角形的周长计算，理解题意是解题关键． 4．（2024七年级·全国·竞赛）某有理数等于它的倒数的4倍，现在某三角形的两条边的长度分别是这个有理数和它的倒数，这个三角形的面积最大是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的应用，先求出这两个数，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】设这个数是，（因为这个数可以作为三角形的边所以必为正数），三角形的两条边长度分别为2和，这两条边互相垂直时面积最大，此时面积是． 故答案为：． 5．（2022八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 【答案】4 【分析】根据比值和周长解答即可． 【详解】解：∵， 设AB为5x，BD为2x，AC为5y，CD为2y， ∵△ABC的周长是14cm， ∴5x+2x+5y+2y＝14， 解得：x+y＝2， 所以BC＝2（x+y）＝4． 【点睛】此题考查三角形的问题，关键是根据三角形的周长解答． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【答案】(1)的长是 (2)，， 【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于的方程并解答即可求得答案； （2）设，则，根据三角形的周长公式列出方程并解答． 【详解】（1）由题意，得， 解得． 即的长是． （2）设，则，， 由题意，得， 解得． 故，，． 所以，，． 【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式． 【变式训练2 三角形的个数问题】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，图中共有（    ）个三角形．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：如图所示，    图中有共5个三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有，，，， ∴以为顶点的的三角形的个数是4个． 故选：B． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 3．（22-23八年级上·广西百色·期中）如图所示的三角形共有 个． 【答案】3 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出个数解答即可． 【详解】解：三角形的个数有，，，共3个， 故答案为：3． 【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答． 4．（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，一共有 个三角形；从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 【答案】 6 4 【分析】根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【详解】解：所有三角形为：共个． 其中青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为： 【点睛】本题考查三角形，在找三角形时，要做到不重不漏． 5．（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 【答案】4 【分析】根据比值和周长解答即可． 【详解】解：∵， 设AB为5x，BD为2x，AC为5y，CD为2y， ∵△ABC的周长是14cm， ∴5x+2x+5y+2y＝14， 解得：x+y＝2， 所以BC＝2（x+y）＝4． 【点睛】此题考查三角形的问题，关键是根据三角形的周长解答． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【答案】(1)的长是 (2)，， 【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于的方程并解答即可求得答案； （2）设，则，根据三角形的周长公式列出方程并解答． 【详解】（1）由题意，得， 解得． 即的长是． （2）设，则，， 由题意，得， 解得． 故，，． 所以，，． 【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式． 【变式训练3 三角形的分类】 1．（23-24七年级下·四川德阳·期中）已知三个点，则以这三个点为顶点的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点的坐标特点确定位置为平行于x轴，y轴即可确定三角形的形状． 【详解】解：，两点的连线平行于轴，，两点的连线平行于y轴， ∵x轴y轴， ∴三角形是直角三角形， 故选D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案． 【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）直角三角形的定义∶有一个角是 的三角形，是直角三角形． 【答案】90°或直角 【解析】略 4．（22-23七年级下·上海·期中）在中，，，，那么是 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ） 【答案】钝角 【分析】根据三角形按角的分类可得结论． 【详解】解：在中，，，， ， 是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题考查三角形的分类，熟知三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形是解题关键． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）在中，，，且的长为偶数，求的周长，并判断其形状． 【答案】周长为，是等腰三角形， 【分析】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，进而判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 长是偶数， ， ， 是等腰三角形， 周长为： 【点睛】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，掌握以上知识是解题的关键． 6．（22-23八年级上·广东湛江·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的格点上． (1)在图①中画出，使为直角三角形（要求点C在小正方形的格点上，画一个即可）． (2)求图①中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据直角三角形的定义画出三角形即可．（答案不唯一） （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图①，△ABC即为所求． （2）解：图①中，△ABC的面积为：ACBC=×4×3=6． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【变式训练4 三角形的稳定性及应用】 1．（2024八年级上·广东潮州·学业考试）下列图形具有稳定性的是（ ） A．菱形 B．三角形 C．正方形 D．圆形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 三角形具有稳定性，菱形，正方形，圆形不具有稳定性， 故选：B． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，钉上木条后把六边形分成三角形即可． 【详解】解：如图，他至少还要再钉上根木条． 故选：B． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）按如图所示的放置可以把手机放在一个支架上面，这样做的数学道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握三角形的稳定性． 三角形手机支架利用了三角形的稳定性，形状稳定，不晃动，方便观看手机． 【详解】∵三角形具有稳定性， ∴三角形手机支架形状不变形，手机放上稳定不晃动，可以非常方便地观看显示内容． 故答案为：三角形具有稳定性． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图,木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性进行解答． 【详解】解：木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 5．（22-23七年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    【答案】见解析 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形， 因为三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解概念是解题的关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图是一个四腿木椅的侧视图，椅子已经变形，请你将椅子修复加固，并用虚线在图中标明位置． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的稳定性进行解答． 【详解】由于四边形具有不稳定性，所以四腿木椅久坐容易变形，可以利用三角形的稳定性在两腿之间的四边形对角线处加固两根木条使其牢固，如图所示： ． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【变式训练5 构成三角形的条件】 1．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否构成三角形，只要判断两个较短线段的和>最长线段的长即可．根据三角形的三边关系必须满足：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边即可得出结论． 【详解】解：A.，能组成三角形，符合题意； B.，不能组成三角形，不符合题意； C.，不能组成三角形，不符合题意； D.，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东广州·开学考试）下列长度的线段能组成三角形的是（　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐个判断即可． 【详解】因为，所以这三条线段不能组成三角形，则A不符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则B不符合题意； 因为，所以这三条线段能组成三角形，则C符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则D不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 ． 【答案】 【分析】底边可能是，也可能是，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长． 【详解】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 4．（22-23八年级上·广东江门·期中）如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是 ． 【答案】16或18或20或22 【分析】已知三角形的两边，则第三边的范围是大于两边之差的绝对值，小于两边之和． 【详解】依据题意得，已知三角形的两边之和为12，两边之差为2，则第三边的范围为大于2、小于12的偶数，故第三边的长度可取：4、6、8、10． 那么这个三角形的周长是：或或或． ∴答案为：16或18或20或22． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系及奇偶数的性质，解题的关键是确定第三边的取值范围． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)不能，理由见解析 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．解题的关键是利用三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边判定即可． 【详解】（1）解：不能． ∵， ∴长度分别为，，的三条线段不能组成三角形； （2）不能． ∵， ∴长度分别为，，的三条线段不能组成三角形； （3）能． ∵， ∴长度分别为，，的三条线段能组成三角形． 6．（22-23八年级上·山东聊城·期中）已知a，b，c为三角形的三边，满足，且，求三角形周长． 【答案】30 【分析】设，可得，，，再由，可得，从而得到，，，即可求解． 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 即三角形的周长为30． 【点睛】本题主要考查了求三角形的周长，根据题意得到a，b，c的长值是解题的关键． 【变式训练6 确定第三边的取值范围】 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系；根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：，， ， 的值可以是． 故选：． 2．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）若长度分别为，，的三条线段恰好可以围成一个三角形，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，根据题意，由三角形三边关系得到，逐项验证即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：长度分别为，，的三条线段恰好可以围成一个三角形， 由三角形三边关系可得，即， 四个选项中，只有1不满足的条件， 故选：A． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】 根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系列出不等式是解决问题的关键 【分析】解：根据三角形的三边关系，得， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）三角形的两边长分别是和，第三边长为整数，则三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】考查三角形的三边关系，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长． 【详解】解：设第三边为，根据三角形的三边关系可得： ． 即： ， 由于第三边的长为整数， 则x可以为3． ∴三角形的周长是 ． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·陕西安康·期末）已知，若第三边的长是偶数，求的周长． 【答案】或 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边的长为偶数求出符合条件的BC值，即可求出周长． 【详解】解：在中，， 第三边的取值范围是： 符合条件的偶数是或， 当时，的周长为：； 当时，的周长为：． 的周长为或． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 6．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）已知a、b、c是的三边长，，设三角形的周长是． (1)直接写出c与x的取值范围； (2)若x是小于18的偶数，求c的长． 【答案】(1)， (2)6或4 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，即． 故周长的范围为，即． （2）因为周长为小于18的偶数， 所以或． 当为16时，； 当为14时，． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，得出的取值范围是解题关键． 【变式训练7 三角形三边关系的应用】 1．（2024·广东河源·一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（    ） A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．首先设第三条线段长为，再利用三角形的三边关系可得的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三条线段长为，由题意得： ， 解得：， 只有适合， 故选：C． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）下列各组长度的3条线段，不能构成三角形的是（    ） A．3cm  5cm  10cm B．5cm  4cm  8cm C．4cm  6cm  9cm D．2cm  3cm  4cm 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系的应用．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是3cm，5cm，10cm的小木棒不能构成三角形，故本选项符合题意； B、，长度是5cm，4cm，8cm的小木棒能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，长度是4cm，6cm，9cm的小木棒能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，长度是2cm，3cm，4cm的小木棒能构成三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，判断三条线段是否能构成三角形的三边的判定方法是解题关键，根据三角形的三边关系判断即可得解。 【详解】解：从11，8，6，4的四根木条中选三根有4种选法，它们分别是①11，8，6；②11，8，4；③ 11，6，4；④8，6，4． 其中①②④符合三角形的三边关系，②不符合三角形的三边关系． 故有3种选法， 故答案为：3． 4．（23-24八年级上·天津武清·期中）长度分别为2cm，3cm，7cm的木条 （填“能”或“不能”）围成一个三角形． 【答案】不能 【分析】由三角形的三边关系为切入点进行求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：∵， ∴长度分别为2cm，3cm，7cm的木条不能围成一个三角形， 故答案为：不能． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了三角形的三边关系， （1）直接根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可； （2）先求出周长的范围，再根据其为偶数进行求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， 即； （2）∵，设的周长为x， ∴，即， ∵的周长为偶数， ∴其周长为16． 6．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为x， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为整数， ∴第三边是4， ∴该三角形的周长． 【变式训练8 画三角形的高】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）下列图中，作边上的高正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查画三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段，据此，符合题意的是选项B； 故选B． 2．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）中边的高，表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形高线的画法，掌握三角形画高的方法是解题的关键． 从点向边作垂线即可求解． 【详解】解：A、是边上高，不符合题意； B、点到的垂线，不符合题意； C、点到的垂线，不是符合题意； D、点到的高，符合题意； 故选： D． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有 个． 【答案】6 【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 由于于，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数． 【详解】解：于， 而图中有一边在直线上，且以为顶点的三角形有6个， 以为高的三角形有6个． 故答案为：6． 4．（23-24七年级上·山东淄博·期中）在如图所示的的三条高中，其中边上的高是线段 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形高线定义“从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形该边的高线”即可判断． 【详解】解：∵为钝角是三角形，， ∴为边上的高． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 6．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，中， (1)画出边上的中线； (2)画出 边上的高 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图——三角形的中线和高，根据相关定义正确作图即可． （1）根据三角形中线的定义作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图，中线即为所求作； （2）解：如图，高即为所求作． 【变式训练9 与三角形的高有关的计算问题】 1．（22-23七年级下·河北唐山·期末）如图，的面积为，如果，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】的边上的高和的边上的高的长度相同，据此可求得答案． 【详解】解：根据题意可知的边上的高和的边上的高的长度相同，设为． ∵，，， ∴，， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的高，牢记三角形的高的定义是解题的关键． 2．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据面积相等即可求出点C到的距离． 【详解】解：∵在直角三角形中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查点到直线的距离，求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，于点B，则图中以为高线的三角形有 个 【答案】3 【分析】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握三角形高的定义．利用三角形的高的定义可得答案． 【详解】解：图中以为高线的三角形有，，，共3个， 故答案为：3． 4．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，运用不同的底和高计算一个三角形的面积，关键要注意选取三角形底边时，要准确找到底边所对应的高． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． ∴， 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，于点，于点，且与交于点．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积的计算，利用，即可求出．熟练掌握用面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，求和的长． 【答案】，． 【分析】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，利用得出的长，由是边上的中线即可得出和的长． 【详解】解：是中边上的高，且， ， ， ， 是中边上的中线， ，． 【变式训练10 根据三角形中线求长度】 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差 ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·广西贺州·期中）若是的中线，已知比的周长大，则与的差为    （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线定理，根据中线定理得出，再根据周长定义即可求得结果． 【详解】解：如下图： ∵是的中线， ∴ ∵比的周长大 ∴． 故选∶B． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，是的中线，，则 ．    【答案】 【分析】根据中线的定义，得到为的中点，即可得解． 【详解】解：∵是的中线，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中线．熟练掌握三角形的中线是顶点与对边中点形成的线段，是解题的关键． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ．    【答案】18 【分析】此题考查了三角形的周长和中线，根据线段的和可得出，根据中线的定义得出，从而得出，最后再根据线段的和即可得出答案． 【详解】的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故本题答案为：． 5．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．根据中线的性质得到，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【详解】解：如图， ∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大5， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形高的定义，先根据三角形面积计算公式求出，再由三角形中线的定义即可得到． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴． 【变式训练11 根据三角形中线求面积】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）能把任意一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．两边中点的连线 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分面积即可得出结论． 【详解】解：能把任意一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是中线； 故选B． 2．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，线段把分为面积相等的两部分，则线段是（）    A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上都不对 【答案】B 【分析】作三角形的高，根据三角形面积公式，分别表示出和，即可得出，即线段是三角形的中线． 【详解】解：作， ∴，， ∵，即， ∴， 即线段是三角形的中线． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，三角形的中线可分三角形为面积相等的两部分． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，是的一条中线，若的面积是．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形的中线等分三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵是的一条中线，的面积是． ∴， 故答案为： 4．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，D是边上中点，若，则的值为 ．    【答案】4 【分析】 本题考查了三角形的中线的性质．根据三角形中线的性质“三角形的中线等分三角形的面积”即可求解． 【详解】解：∵D是边上中点，， ∴， 故答案为：4． 5．（22-23七年级上·广东·开学考试）如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． ，根据三角形的中线平分面积，得到，，进而得到，又因为，即可求出的面积． 【详解】解：点E是线段的中点， ，， ， F是线段的中点， ． 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）如图所示，，，已知阴影部分的面积为平方厘米，求四边形的面积．    【答案】平方厘米 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积公式，根据题意可得，，进而即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴，， ∵阴影部分的面积为平方厘米， ∴平方厘米 ∴四边形的面积为平方厘米． 【变式训练12 三角形的内角和定理】 1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如果一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，设三角形的三个内角分别为，，，根据题意，则；再根据，即可． 【详解】设三角形的三个内角分别为，，， ∵一个三角形的一个内角等于另外两个内角之和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该三角形为直角三角形． 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，在中，，，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先求出，进而利用三角形内角和定理得到，则，由此可得一定是直角三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴一定是直角三角形， 故选：C． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是 ． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和等于．先根据三角形内角和，得到的度数，再根据角平分线的定义，得出，进而根据三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， 中，， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图所示为一辆婴儿车的平面示意图，其中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和等于是解题关键．由可得，再由三角形的内角和定理计算即可求解． 【详解】解：， ， 且， ． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，交于点D，于点E，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，利用三角形内角和定理求出，即可得，再根据三角形内角和定理求出，问题随之得解． 【详解】在中，∵，， ∴． ∵平分， ∴． 在中， ． ∵， ∴． ∵， ∴． 6．（23-24七年级下·广东佛山·期中）已知是的平分线，是的平分线，且与相交于点E．请你利用所学知识成下列问题： (1)如图①，若，，求的大小： (2)如图②，求证： ； (3)如图③，请直接写出与、之间等量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质： （1）先利用外角说明、、、、、、之间关系，再利用等式的性质求出的度数； （2）先利用外角说明，，再代入即可求解； （3）仿（2）的过程即可求解； 熟练掌握：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”是解题的关键． 【详解】（1）解：是的平分线，是的平分线， ，， ，， ， 即， ． （2）证明：延长交于点，如图： ，， ， 即：， ， 即：， 把代入,得：， ， 即：． （3）与之间等量关系：， 延长交于点，如图： ，， ， 即， ， 即：， 把代入, 得：， ， 即：． 【变式训练13直角三角形的两个锐角互余】 1．（23-24八年级上·全国·期末）直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于（　　） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵三角形是直角三角形，它的一个锐角等于50°， ∴它的另一个锐角为：， 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）将一副三角板按如图所示摆放，其中，，则∠2为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的特征，在中，利用直角三角形两锐角互余得，在中，利用直角三角形两锐角互余得，再利用即可求解，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选D． 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，，，则的度数为 ．    【答案】/30度 【分析】根据垂线定义得出，根据直角三角形两锐角互余，结合，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线定义，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中．，，平分，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握直角三角形的性质和平行线的判定是解答本题的关键，先由直角三角形的性质证明，进而得到，再由与互余，求得，因此，最后利用内错角相等，两直线平行，即可证得结论． 【详解】证明：，， ， 平分， ， ，且， ， ， ． 6．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，是的角平分线，是高，，，求的度数．    【答案】的度数为． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线的定义．可求，从由，即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， 是的高， ， ∴， ； 故的度数为． 【变式训练14 三角形的外角的定义及性质】 1．（2024·湖南长沙·二模）如图，直线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 2．（2024·河北石家庄·二模）如图，直线，被直线所截，直线和不平行，根据图中数据可知直线和相交构成的锐角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：设直线和相交构成的锐角为， 根据三角形的外角定理可得， 故选C． 3．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图所示，在中，，，外角 ． 【答案】/98度 【分析】本题主要考查三角形外角的性质．根据三角形外角的定义和性质即可求解． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，是的一个外角，若，，则 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和分别得到，再由，，即可证明结论． 【详解】证明：如图所示，延长到E， ∵， ∴， 又∵， ∴． 6．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，和是的外角，若，求的度数．      【答案】 【分析】先根据三角形外角的性质求出的度数，则由平角的定义可得答案． 【详解】解： ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平角的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． 【变式训练15 三角形角平分线的定义】 1．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均为为两份． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）一个三角形的三条角平分线的交点在（    ） A．三角形内 B．三角形外 C．三角形的某边上 D．以上三种情形都有可能 【答案】A 【分析】根据三角形的三条角平分线的概念求解即可． 【详解】解：可画出三角形的三条角平分线，都在三角形的内部， 则三角形的三条角平分线的交点在三角形内， 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的三条角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握三角形的三条角平分线的概念． 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 4．（22-23八年级·全国·假期作业）一个三角形三条角平分线的交点在三角形内．( ) 【答案】对 【分析】根据三角形角平分线的画法可判断出的正误. 【详解】解：三角形三条角平分线的交点在三角形的内部，说法正确， 故答案为√. 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握性质是解题关键. 5．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】由角平分线的定义可得．由平行线的性质可得，，最后等量代换即得出． 【详解】． 理由：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质．掌握角平分线分得的两个角相等和两直线平行，内错角相等，是解题关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)用刻度尺画边上的中线． (2)用量角器画以点C为一个端点的的角平分线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）用刻度尺，确定线段的中点D，连接，即为所求； （2）用量角器量取度数，再以为端点，为一边，量出度数一半的角，作图即可． 【详解】（1）如图：即为所求； （2）如图，即为所求； 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线．熟练掌握三角形的中线是三角形的一个顶点到对边中点所连线段，角平分线平分一个内角是解题的关键． 【变式训练16 利用网格求三角形面积】 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形的面积求出点C到的距离，再判断出点C的位置即可． 【详解】解：∵的面积为4， ∴边上的高为， ∴点C的位置如图所示，共有3个． 故选：C．    【点睛】本题考查了三角形面积，点到直线的距离，根据三角形面积判断出点C到的距离为2是解题的关键． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在长方形网格中画图得出结果． 【详解】解：C点所有的情况如图所示，共有4个 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点A到的距离， ∴三角形的面积为． 故答案为10． 4．（22-23七年级上·湖南娄底·期末）下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．      【答案】21 【分析】利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查了在方格中求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握格点的特点，注意运用割补法． 5．（23-24八年级下·广西贵港·期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高： (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）延长，过A作与D，即可得到答案． （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案． （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求： （2）如下图，即为所求 （3）， ∴． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在每个正方形的边长都是1的方格纸中，有满足大于，并且顶点A、B、C都在小正方形各格点上（请按照以下要求画出所求线段，要求所画线段的端点都落在格点上）． (1)在边上取一点D，连接，使． (2)画边上的高线． (3)直接写出的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查的是画三角形的高，三角形的中线、三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键． （1）利用网格线作的中点D，并连接即可； （2）利用网格线的特点，取格点E，满足，则即为所求作的线段； （3）利用三角形的面积公式直接计算即可． 【详解】（1）解：D即为所求作的点； （2）即为所求作的线段； （3）解：． 【变式训练17 锐角互余的三角形是直角三角形】 1．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断． 【详解】解：A.，，，，解得：，，，不是直角三角形，故符合题意； B. ，，，，解得：，是直角三角形，故不符合题意； C.，设，，，，，解得：，，是直角三角形，故不符合题意； D.，，，， ，解得：，，， 是直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键． 2．（22-23八年级上·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和为，求出三角形中最大角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故小题正确； ②∵， ∴最大角， 故小题正确； ③∵， ∴， ∴， 故小题正确； 综上所述，是直角三角形的是①②③共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形内角和定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 3．（22-23八年级·全国·假期作业）有两个角互余的三角形是直角三角形．( ) 【答案】√ 【分析】由三角形的内角和定理可以得出判断. 【详解】解：三角形的内角和等于，因此有两个角互余的三角形，则第三个角等于90°，是直角三角形. 故答案为正确. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题关键.比较基础. 4．（22-23八年级上·浙江台州·期中）有两个角 的三角形是直角三角形． 【答案】互余 【分析】由三角形中有两个角互余，结合三角形的内角和定理可得第三个角为，从而可得答案． 【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形， 故答案：互余． 【点睛】本题考查的是两个角互余的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形． 【详解】解：在中，D是AB上一点，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键． 6．（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 1．（22-23七年级下·江西南昌·阶段练习）关于三角形的三个内角，下面说法错误的是（    ） A．必须有一个内角不大于60° B．必须有一个内角不小于60° C．最少有两个锐角 D．最多有两个锐角 【答案】D 【分析】根据三角形的定义和分类，进行解答即可． 【详解】解：A、三角形中必须有一个内角不大于60°，故A正确； B、三角形中必须有一个内角不小于60°，故B正确； C、三角形中最少有两个锐角，故C正确； D、三角形中最少有两个锐角，当三个角都是锐角时，这个三角形是锐角三角形，故D错误； 故选择：D. 【点睛】本题考查了三角形的定义和分类，解题的关键是熟练掌握三角形的定义和分类. 2．（2022九年级·陕西·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义判断即可． 【详解】解：有三个三角形：△ABC， △ACD，△ABD． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的识别，解题关键是熟练运用三角形的定义判断三角形，注意：不重不漏． 3．（22-23八年级下·广东河源·阶段练习）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门背面加钉了一根木条，这样做的道理是（　　）      A．三角形具有稳定性 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是三角形具有稳定性． 【详解】解：这样做的道理是三角形具有稳定性， 故选：． 【点睛】此题考查三角形稳定性的实际应用，解题的关键是理解三角形的稳定性在实际生活的应用． 4．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（    ） A．是的角平分线 B． C．是的边的高 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线定义，三角形的中线，解题的关键是：根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线性质和三角形的面积逐个判断即可． 【详解】解：A．平分， 是的角平分线，故本选项不符合题意； B．平分， ， 但不能推出、和相等，故本选项符合题意； C．， ， 是的边的高，故本选项不符合题意； D．，，， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在处，并测得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质， 首先求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）长度为2cm、3cm、6cm、7cm、8cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 个． 【答案】6 【分析】根据所给线段长分成几种情况，然后再根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：任取三条线段为一组，共十组. 2、3、6：因为2+3＜6，所以不能构成三角形； 2、3、7：因为2+3＜7，所以不能构成三角形； 2、3、8：因为2+3＜8，所以不能构成三角形； 2、6、7：因为2+6＞7，所以能构成三角形； 2、6、8：因为2+6=8，所以不能构成三角形； 2、7、8：因为2+7＞8，所以能构成三角形； 3、6、7：因为3+6＞7，所以能构组成三角形； 3、6、8：因为3+6＞8，所以能构组成三角形； 3、7、8：因为3+7＞8，所以能构组成三角形； 6、7、8：因为6+7＞8，所以能构组成三角形； 故共可以组成6个形状不同的三角形. 可以构成三角形的有6个， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系，写出所有情况后，然后再利用三角形的三边关系判断． 7．（22-23八年级上·湖南株洲·期中）有下面四根长度为3厘米，4厘米，5厘米，7厘米的木棒，选取其中3根组成三角形，则可以组成三角形共有 个． 【答案】3 【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形. 【详解】选3厘米，4厘米，5厘米时，3+4>5，故可以； 选3厘米，4厘米，7厘米时，3+4=7，故不可以； 选3厘米，5厘米，7厘米时，3+5>7，故可以； 选4厘米，5厘米，7厘米时，4+5>7,故可以， 有3个可以组成， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边. 8．（23-24八年级上·青海西宁·期中）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．则的面积为 ，的长 ． 【答案】 /24平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形高的定义； （1）运用三角形的面积公式即可解答； （2）根据同一个三角形面积的不变性，借助三角形的面积公式列出关于的等式，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：在直角三角形中，， ∴的面积； 故答案为：． （2）解：是边上的高， ， ， ； 故答案为：． 9．（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，平分，是高线，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 首先根据角平分线的概念得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵，平分， ∴ ∵是高线 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 10．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，，则 cm； （2）若AD是△ABC的角平分线，则 ；若，则 ； （3）若AH是△ABC的高，则△ABH是 三角形． 【答案】 6 ∠BAC 53° 直角 【分析】（1）根据三角形的中线是三角形的一个顶点与它对边的中点所连的线段求解即可； （2）根据三角形的角平分线平分它对应的内角求解即可； （3）根据三角形的高线定义得到∠AHB=90°，再根据直角三角形的定义即可判断； 【详解】解：（1）∵AM是△ABC的中线，， ∴BM=CM= BC=6cm， 故答案为：6； （2）∵若AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC， ∵∠BAC=106°， ∴∠DAC=53°， 故答案为：∠BAC，53°； （3）∵AH是△ABC的高， ∴∠AHB=90°， ∴△AHB直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形的角平分线、中线和高线的定义是解答的关键． 11．（22-23七年级下·全国·单元测试）在△ABC中，已知∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B，求∠A，∠B，∠C的度数，并判断这个三角形的形状． 【答案】这个三角形是钝角三角形． 【分析】首先根据三角形内角和定理和已知条件得到相等关系式6∠B＋30°＝180°,进而求得∠B的值;接下来根据条件即可求得∠A、∠C的度数, 从而得到三角形的类型. 【详解】解：因为∠A－∠B＝30°，所以∠A＝∠B＋30°.又因为∠C＝4∠B， 且∠A＋∠B＋∠C＝180°，即6∠B＋30°＝180°，所以∠B＝25°， 则∠A＝55°，∠C＝100°，所以这个三角形是钝角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类, 得到等量关系是关键. 12．（22-23八年级上·浙江湖州·阶段练习）现有三条线段，它们的长分别是9cm，18cm，26cm．这三条线段能构成三角形的三边吗？为什么？ 【答案】能，理由见解析 【分析】根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：∵9+18=27＞26， ∴这三条线段能构成三角形的三边． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边． 13．（22-23八年级上·湖北荆州·期中）已知三角形的三条边长为6、10和x． (1)若6是最短边长，求x的取值范围； (2)若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1)6≤x＜16 (2)31 【分析】（1）根据三角形的三边关系，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，可得4＜x＜16，再由x为整数，可得x的最大值为15，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：10－6＜x＜10＋6，即4＜x＜16 ∵6是最短边长， ∴x≥6 ∴x的取值范围是6≤x＜16； （2）解：由（1）可知，4＜x＜16， ∵x为整数， ∴x的最大值为15， ∴三角形周长的最大值为6＋10＋15＝31． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 14．（22-23八年级上·吉林白城·阶段练习）图①、图②均是44的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△OABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求 画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中画△ABC的角平分线BD，标出点D； (2)在图②中的边BC上找到格点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由图可知∠ABC=90°，根据等腰直角三角形的性质，连接格子的对角线即可， （2）根据三角形中线的性质，找到BC边的中点即可． 【详解】（1）如图： （2）如图： 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线和中线，熟练掌握三角形的角平分线和中线的定义是解题的关键． 15．（23-24八年级上·河北保定·期末）阅读材料： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题，如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线．则四边形内角和就转化为和内角和的和，为． (1)解决问题：如图1，四边形是凹四边形，请探究（）与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：，他证明如下． 请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接并延长到点． (2)联系拓广：下面图的五角星和图的六角星都是一笔画成的（即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的）． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图中，的度数为______． ②图中，的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2)①   ② 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质： （1）根据，即可求得答案； （2）①利用三角形外角的性质，将转化为三角形内角和即可；②利用三角形外角的性质，将转化为四边形内角和即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∴． （2）①如图所示． ∵，， ∴． 故答案为： ②如图所示． ∵，， ∴． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$