12.4 综合与实践  一次函数模型的应用讲义 2024—2025学年 沪科版数学八年级上册

综合与实践  一次函数模型的应用 本节课知识框架： 知识点1：一次函数模型的应用 知识点2：选择方案 本节课重难点： 重点：一次函数模型的应用 难点：一次函数模型的应用 本节课学习目标： 1、 从实际问题中抽象出一次函数的概念，再利用一次函数的图象和性质解决简单的实际问题,从而逐步形成利用函数解决问题的一些基本策略,发展应用函数的意识 2、 从实际问题中抽象出一次函数模的过程中,体会解决函数问题与收集相关的数据以及分析数据之间的密切关系 知识点1：一次函数模型的应用 1. 利用函数解决实际问题的基本模式 2. 建立函数模型的一般步骤 (1) 获取数据； (2)列表、描点； (3)观察、猜想；(4)求出函数表达式； (5)检验并给出答案 . 例题1：为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，小王做了一个水龙头漏水实验，他用于接水的量筒最大容量为100 毫升 .下表是小王同学在做实验时，每隔 10 秒观察量筒中水的体积记录下的数据(漏出的水量精确到 1 毫升)： (1)在平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点； (2)如果小王同学继续做实验，试探求多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到 1 秒)； (3)按此漏水速度， 1小时会漏水多少升(精确到0.1升)？ 技巧点拨 观察图象可知所描各点大致在一条直线上，因此可认为两变量之间存在一次函数关系 . 注意借助其中两点的坐标求出函数表达式后需利用其余各点的坐标进行验证 . 例题2：小明练习 100 m 短跑，训练时间与短跑成绩记录如下： (1)请你为小明的 100 m 短跑成绩 y (s)与训练时间x (月)的关系建立函数模型； (2)用所求出的函数表达式预测小明训练 6 个月的 100 m短跑成绩； (3)能用所求出的函数表达式预测小明训练 3 年的 100 m短跑成绩吗？为什么？ 方法点拨 根据给定部分因变量随自变量均匀变化的数据信息，可以建立一次函数模型，利用求得的一次函数表达式，可以对数据的邻近区域进行预测 . 但是预测只能在数据的邻近区域，远离已知数据作预测是不可靠的 . 牛刀小试： 第一题： 如图是某台阶的一部分，每级台阶的宽度和高度之比为2∶1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(－10，1)，若直线 y ＝ kx ＋ b 同时经过点 A ， B ， C ， D ， E ，则 k 与 b 的乘积为(　 　) A.-3 B.3 C.-5 D.5 第二题：八(1)班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园 ABCD ，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长为12 m，设边 BC 的长为 x m，边 AB 的长为 y m( x ＞ y ).则 y 与 x 之间的函数表达式为(　 　) A. y ＝－2 x ＋12(0＜ x ＜12) B. y ＝－ x ＋6(4＜ x ＜12) C. y ＝2 x －12(0＜ x ＜12) D. y ＝ x －6(4＜ x ＜12) 知识点2：选择方案 1.选择方案 选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案，涉及的问题类型常有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等，需要建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解 . 2. 用一次函数选择方案的一般步骤 (1) “析”： 分析题意，弄清数量关系 . (2)“列”： 列出函数表达式、不等式或方程 (组). (3)“求”： 求出自变量取不同值时对应的函数值的大小，或函数的最大(最小)值 . (4)“选”： 结合实际需要选择最佳方案 . 注意： 在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊解(如正整数解) . 例题3：某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买 10 副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配 x ( x ≥ 2 )个羽毛球，供社区居民免费借用 . 该社区附近 A， B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，每副球拍的标价均为 30 元，每个羽毛球的标价均为 3 元，目前两家超市都在做促销活动： A 超市：所有商品均打九折(按标价的 90% )销售； B 超市：买1副羽毛球拍送 2 个羽毛球 . 设在 A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yA 元，在 B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yB 元 . 请解答下列问题： (1) 分别写出 yA 和 yB 与 x 之间的函数表达式 . (2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配 15 个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案 . 技巧点拨 解一次函数与方程、不等式综合的实际应用问题的方法： 先读懂题意，理解题干的条件和各个问题的关系，并利用题目中的信息建立函数模型，根据函数值的大小关系，建立方程、不等式模型； 再分类讨论，确定不同情况下自变量的取值范围及对应的函数值范围，从而得出不同范围内的方案 . 本例的解答运用了分类讨论思想，解答的关键是建立函数模型 . 例题4：某工厂一天使用甲、乙两台机器生产某种零件，甲机器生产完 5 000 个零件后发生了故障，修理了2 小时，继续工作 . 如图 12.4﹣2 表示甲、乙两台机器的产量与时间的关系，已知乙机器在甲机器刚维修完后的产量恰好比甲机器的产量多 1 000 个 . (1) 请直接写出 m 的值和乙机器的生产效率； (2) 求出 a 和 b 的值； (3)已知甲机器修理后生产效率降低 n%( n 是小于 10 的正整数)，当甲总产量追上乙时，所用的时间 t(小时)恰好是整数，若机器一天内工作不得超过 15 小时(包括维修时间)，请求出正整数 n 的值． 牛刀小试： 第一题：某电脑公司经营 A ， B 两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台 A 型电脑可盈利200元，每台 B 型电脑可盈利300元；在同一时期内， A 型电脑的销售量不小于 B 型电脑销售量的4倍.已知该公司在同一时期销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是(　 　) A. 42 000元 B. 46 200元 C. 52 500元 D. 63 000元 课后作业 第一题：为保护景区环境，天柱山风景区安排多辆大巴车把游客从景区大门口送到索道口.现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆大巴车同时从景区大门口前往索道口准备登山.行驶过程中甲大巴车因故障停留了一段时间，修好后继续驶向索道口，乙大巴车全程匀速驶向索道口.两辆大巴车行驶的路程 s (km)随行驶的 时间 t (h)变化的图象如图所示. (1)求甲大巴车停留一段时间后 s 与 t 的函数表达式； (2)求甲大巴车比乙大巴车提前多少小时到达索道口. 第二题：某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60 t(两种水果都装)去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满.设装运苹果的货车有 x 辆，装运橘子的货车有 y 辆，销售获得的总利润为 W 元.根据表格中提供的信息，解答问题. (1)请用含 x 的代数式来表示 y ，并写出 x 的取值范围. (2)求出 W 与 x 之间的函数关系式. (3) 若装运苹果的货车的辆数不少于装运橘子的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润？并求出最大利润. 第三题：某水果超市欲购进甲、乙两种水果进行销售.甲种水果的价格为每千克 a 元，如果一次购买超过40 kg，超过部分的价格打八折；乙种水果的价格为每千克26元.设水果超市购进甲种水果 x kg，付款 y 元， y 与 x 之间的函数关系如图所示. (1) a ＝ ⁠. (2) 求 y 与 x 之间的函数关系式. (3) 若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80 kg，且甲种水果不少于30 kg，但又不超过50 kg.如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额 W (元)最少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$