第02讲 图形在坐标系中的平移（2大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（沪科版）

第02讲 图形在坐标系中的平移（2大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型二 由平移方式确定点的坐标 题型三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型四 已知图形的平移，求点的坐标 题型五 已知平移后的坐标求原坐标 知识点01 平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 ① 水平线段，铅锤线段；②两点之间的距离公式：. ③中点公式：. 知识点02 点的平移与对称 （1）点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. （2）点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 【典型例题一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 1．（23-24七年级下·北京·期中）将点向上平移3个单位长度，则对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将点向下平移3个单位，向右平移2个单位后，得到点，则点的坐标为 ． 4．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）已知平面直角坐标系内的一点，将点A 先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度，其对应点的坐标为 ． 5．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，线段的两个端点分别是，．将线段先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，点A，B的对应点分别为C，D．      (1)点C的坐标是__________，点D的坐标是___________； (2)请求出四边形的面积是多少． 6．（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，点、、都落在网格的顶点上．    (1)把先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，点、、的对应点分别为、、，在平面直角坐标系中画出； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 【典型例题二 由平移方式确定点的坐标】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）点向右平移3个单位后的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）将点向右平移个单位长度得到的点的坐标为 ． 4．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ． 5．（22-23八年级上·广西百色·期末）点先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度得到点，求x，y的值． 6．（22-23七年级下·吉林四平·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，1），B（－3，－2），C（1，－2），若先将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，请解答下列问题： (1)写出点，，的坐标； (2)在图中画出平移后的三角形； (3)三角形的面积为 ． 【典型例题三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）将某图形的横坐标都减去2，纵坐标不变，则该图形（    ） A．向右平移2个单位长度 B．向左平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）点是由点经过什么变换得到的（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度 D．先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度 3．（22-23七年级下·重庆长寿·期末）已知，在平面直角坐标系中两点、，连接，平移线段得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 4．（23-24八年级下·四川巴中·期中）将点先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度后，其坐标的变化是． 5．（22-23七年级下·上海宝山·期末）平面直角坐标系中，点，如果的两个平方根分别是与． （1）求点的坐标； （2）点沿轴的方向向右平移多少个单位后落在第一和第三象限的平分线上？ 6．（22-23七年级下·四川南充·期末）如图，正方形ABCD的顶点A，C的坐标分别为（﹣5，6）和（﹣1，2）． （1）画出平面直角坐标系，并写出点B，D的坐标； （2）将正方形平移，使4个顶点到原点的距离相等，并写出平移方式．    【典型例题四 已知图形的平移，求点的坐标】 1．（2024·陕西商洛·一模）把函数的图象向上平移个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东青岛·二模）已知点，，将线段平移至，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，点的横坐标为，点的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C．7 D．1 3．（22-23七年级下·北京海淀·期中）平面直角坐标系中，把点向上平移5个单位长度后点的坐标为 ． 4．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 5．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系的位置如图．将向左平移4个单位长度得到，分别为A，B，C的对应点． (1)画出； (2)直接写出的坐标． 6．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，， (1)画出向上平移2个单位，向左平移3个位置后的； (2)写出A、C的对应点、的坐标； 【典型例题五 已知平移后的坐标求原坐标】 1．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 2．（22-23七年级·广东·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段AB经过平移得到的，已知点A（-2，1）的对应点为A′（1，-2），点B的对应点为B′（2，0）．则B点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到点，则点A坐标为 ． 4．（22-23八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ． 5．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（1，﹣3），将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△ ,其中点 分别是点A,B,C的对应点. （1）请你在给出的坐标系中画出和写出点A′，C′的坐标； （2）若△ABC内的一点P经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示P点的坐标 ；（直接写出结果即可） （3）求△ABC的面积． 6．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【变式训练1 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 1．（23-24七年级下·海南海口·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西防城港·期中）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位后，它的坐标变为 ． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位，向左平移7个单位，平移后所得的点的坐标为 ． 5．（23-24七年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； (3)若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． 6．（22-23八年级上·广西梧州·期中）如图 ，在中，A，B两点的坐标分别是，，将向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到，求、、的坐标，并在图中画出．    【变式训练2 由平移方式确定点的坐标】 1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，轴，，若点，点B在点A的上方，则点B的坐标是（   ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东惠州·期中）把点向下平移3个单位得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，将点先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 4．（23-24七年级下·甘肃定西·期中）若将甘肃省生态环境保护吉祥物“沙小驼”图标放在平面直角坐标系中，已知该图标所在点的坐标是，将该图标向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，则点的坐标是 ． 5．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．若将平移后得到三角形，且点C的对应点为，点A、B的对应点分别是、． (1)画出三角形； (2)写出点、的坐标． 6．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． (1)点B的坐标为__________； (2)当P点移动了4秒时，点P的坐标为多少？ (3)在移动过程中，当点P到轴距离为5个单位长度时，则点P移动的时间为多少？ 【变式训练3 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（22-23七年级下·广西钦州·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移得到点，则平移的单位长度个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23七年级下·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，将点平移到点，经过的平移变换为（    ） A．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 3．（22-23七年级下·山东临沂·期末）点 M(−6，−2) 向 平移 个单位所对应的点的坐标是(−6，4)． 4．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的“密码”图，利用平移对应文字，“今天考试”解密为“祝你成功”，用此“钥匙”解密“遇水架桥”的词语是 ． 5．（23-24八年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点P的坐标为． (1)若点P到x轴的距离等于它到y轴距离，求点P的坐标； (2)怎样平移，可以将点P变换成点？ 6．（22-23七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，线段平移得到的线段记为线段．其中点A的对应点是点C，点B的对应点是点D． (1)若，，，则点D的坐标为 ． (2)已知，，，，请写出m和n之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练4 已知图形的平移，求点的坐标】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，把点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·吉林松原·阶段练习）点向右平移2个单位长度得到，则的坐标为 ． 4．（22-23七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A、B的坐标分别为（3，2）、（4，0）， （1）如图，若把△OAB沿x轴向右平移到△CDE，点D的坐标为把（6，2），则点E的坐标为 ． （2）若把△OAB沿x轴平移2个单位得到△CDE，则点D的坐标为 ． 5．（2024七年级下·云南·专题练习）三角形如图所示，将三角形水平向左平移个单位，再竖直向下平移个单位可以得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形三个顶点的坐标． 6．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，格点三角形经过平移得到格点三角形．其中点平移后对应点坐标为．    (1)三角形可以先向______(填“上”或“下”)平移______个单位长度，再向______(填“左”或“右”)平移______个单位长度，得到三角形； (2)请画出平移后的图形． 【变式训练5 已知平移后的坐标求原坐】 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·全国·课后作业）一只蚂蚁先向上爬4个单位长度，再向左爬3个单位长度后，到达，则它最开始所在位置的坐标是 ． 4．（22-23七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系内，把点P先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是（-5，3）则点P的坐标是 ． 5．（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ABC A（2，4） B（5，b） C（c，7） △A'B'C' A'（a，1） B'（3，1） C'（4，4） (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a= ，b= ，c= ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A'B'C'； (3)连接BB' 和CC'，求出四边形BB'C'C的面积． 6．（22-23七年级下·广东广州·期末）如图，△ABC的顶点都在网格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请根据如图所示的平面直角坐标系，写出△ABC各点的坐标，并求出△ABC的面积． （2）把△ABC平移到△A1B1C1，使点B1与原点O重合，按要求画出△A1B1C1，并写出平移过程． （3）已知P是△ABC内有一点，平移至△A1B1C1后，P点对应点的坐标为P1 (a,b)，试写出P点的坐标． 1．（23-24七年级下·四川德阳·期中）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·山东临沂·期末）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（    ） A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8） 3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，．把沿x轴向右平移得到，如果点D的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在的网格中，把平移后得到，平移方法正确的是（    ） A．左平移4个单位，再下平移1个单位 B．左平移1个单位，再下平移4个单位 C．右平移4个单位，再上平移1个单位 D．右平移4个单位，再下平移1个单位 5．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，将一块直角三角尺的直角顶点与原点重合，另两个顶点的坐标分别为，．现将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2024七年级下·上海·专题练习）直角坐标平面内点向左平移个单位得到的点的坐标为 ． 7．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是 8．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，将线段平移至，若，，则的值是 ． 9．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，已知点，若将线段平移至，其中点，则的值为 ． 10．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，的坐标为、，若将线段平移至，则的值为 ． 11．（22-23八年级下·广东揭阳·期中）已知点和点，将线段平移至，点于点对应，若点的坐标为． (1) 是怎样平移的； (2)求点的坐标． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，机械手要将一个工件从图中处移动到处，但是这个工件不能碰到图中的红色障碍，试用坐标写出一条机械手在移动中可能要走过的路线． 13．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为． (1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）； (2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形，则点，，的坐标分别是（______），（______），（______）； (3)计算三角形的面积． 14．（22-23七年级下·重庆江北·期中）如图，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向上平移个单位长度得到，请画出； (2)请直接写出的坐标； (3)求的面积． 15．（22-23七年级下·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 图形在坐标系中的平移（2大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型二 由平移方式确定点的坐标 题型三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型四 已知图形的平移，求点的坐标 题型五 已知平移后的坐标求原坐标 知识点01 平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 ① 水平线段，铅锤线段；②两点之间的距离公式：. ③中点公式：. 知识点02 点的平移与对称 （1）点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. （2）点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 【典型例题一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 1．（23-24七年级下·北京·期中）将点向上平移3个单位长度，则对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移．根据点的坐标平移规律进行求解即可：右加左减横坐标，上加下减纵坐标． 【详解】解：将点向上平移3个单位长度得到点，则的坐标是，即． 故选：B． 2．（23-24八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标平移的特征：左减右加，上加下减；根据此特征即可确定点M平移后点N的坐标． 【详解】解：点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N的坐标为； 故选：A． 3．（23-24七年级下·广东惠州·期中）将点向下平移3个单位，向右平移2个单位后，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化－平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：将点向下平移3个单位，向右平移2个单位后，得到点， 根据题意，将点向上平移3个单位，向左平移2个单位后，得到点， 所以点的坐标是，即， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）已知平面直角坐标系内的一点，将点A 先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度，其对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；依此即可求解． 【详解】解： 点A 先向右平移3个单位长度， 横坐标变为， 点A再向上平移2个单位长度， 纵坐标变为， 点的坐标为． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，线段的两个端点分别是，．将线段先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，点A，B的对应点分别为C，D．      (1)点C的坐标是__________，点D的坐标是___________； (2)请求出四边形的面积是多少． 【答案】(1)， (2)四边形的面积是24 【分析】（1）直接根据平移的方式确定点的坐标即可； （2）根据平移的性质，平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将线段先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点A，B的对应点分别为D，C， ，， ， 即， 故答案为：，； （2）解：，， ， 向上平移4个单位， 四边形的高是4， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、平面直角坐标系中点的平移、平行于坐标轴的线段的长度，掌握平移的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，点、、都落在网格的顶点上．    (1)把先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，点、、的对应点分别为、、，在平面直角坐标系中画出； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平移的性质找到点、、的对应点、、，然后顺次连接即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）根据坐标系可得：． 【点睛】本题考查了平移作图，写出点的坐标，掌握数形结合是解题的关键． 【典型例题二 由平移方式确定点的坐标】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）点向右平移3个单位后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：点向右平移3个单位后的坐标是， 故选：D． 2．（2024·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移与坐标变换，熟记坐标平移变化规律是解题的关键．将点往右平移个单位时，点坐标为，将点坐标往下平移个单位时，点坐标为，结合坐标平移变化规律，根据题意写出答案即可． 【详解】将点向右平移3个单位长度， 此时坐标为，即 再将向下平移5个单位长度后得到点， 点坐标为，即 故选：A． 3．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）将点向右平移个单位长度得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此解答即可． 【详解】解：将点向右平移个单位长度得到的点的坐标为，即． 故答案为：． 4．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·广西百色·期末）点先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度得到点，求x，y的值． 【答案】x的值为，y的值为2 【分析】根据点平移的坐标变化规律：左减右加纵不变，上加下减横不变，列出等式求解即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∴， ∴x的值为，y的值为2． 【点睛】本题考查点平移的坐标变化规律，要熟记点在平面直角坐标系内平移时“左减右加纵不变，上加下减横不变” ． 6．（22-23七年级下·吉林四平·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，1），B（－3，－2），C（1，－2），若先将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，请解答下列问题： (1)写出点，，的坐标； (2)在图中画出平移后的三角形； (3)三角形的面积为 ． 【答案】(1)（0，4），（－1，1），（3，1） (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据坐标的平移规律：横坐标向左平移减，向右平移加；纵坐标向上平移加，向下平移减；解答即可； （2）根据坐标描点作图即可； （3）根据坐标计算三角形的底和高，再求面积即可. 【详解】（1）解：点A（－2，1）、B（－3，－2）、C（1，－2）向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，所得坐标为：点（0，4）、（－1，1）、（3，1）； （2）解：如图三角形即为所求； （3）解：∵三角形的底B1C1=4，高为3， 三角形的面积==6, 故答案是：6． 【点睛】本题考查了坐标平移的规律，坐标的性质；掌握平移的规律是解题关键． 【典型例题三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）将某图形的横坐标都减去2，纵坐标不变，则该图形（    ） A．向右平移2个单位长度 B．向左平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【答案】B 【解析】略 2．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）点是由点经过什么变换得到的（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度 D．先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移．点的平移规律：向右（左）平移，横坐标加（减）平移单位长度，纵坐标不变；向上（下）平移，横坐标不变，纵坐标加（减）平移单位长度．根据点的平移规律即可求解． 【详解】解：∵，， ∴点是由点先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的． 故选：C． 3．（22-23七年级下·重庆长寿·期末）已知，在平面直角坐标系中两点、，连接，平移线段得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平移的性质，结合已知点A，的坐标，知点A的横坐标加上了3，纵坐标减小了1，所以A点的平移方法是：先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案． 【详解】解：∵平移后对应点的坐标为， ∴A点的平移方法是：先向右平移3个单位，再向下平移1个单位， ∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的， ∴平移后的坐标是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减． 4．（23-24八年级下·四川巴中·期中）将点先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度后，其坐标的变化是． 【答案】 右 2 上 9 【分析】本题考查了点的平移坐标变化规律，掌握规律是解题的关键．根据点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，即可求解． 【详解】解：将点先向右平移2个单位长度，再向上平移9个单位长度后，其坐标的变化是． 故答案为：右，2，上，9（答案不唯一） 5．（22-23七年级下·上海宝山·期末）平面直角坐标系中，点，如果的两个平方根分别是与． （1）求点的坐标； （2）点沿轴的方向向右平移多少个单位后落在第一和第三象限的平分线上？ 【答案】（1）；（2）向右平移1个单位 【分析】（1）根据平方根的概念求解即可； （2）根据第一和第三象限的平分线上点的坐标特点求解即可； 【详解】（1）根据题意得： ∴， 所求的点的坐标为， （2）根据题意得： 点沿轴的方向向右平移1个单位后落在第一和第三象限的平分线上． 【点睛】此题考查了平方根的概念和第一和第三象限的平分线上点的坐标特点，解题的关键是根据所需的知识点找到等量关系列出方程． 6．（22-23七年级下·四川南充·期末）如图，正方形ABCD的顶点A，C的坐标分别为（﹣5，6）和（﹣1，2）． （1）画出平面直角坐标系，并写出点B，D的坐标； （2）将正方形平移，使4个顶点到原点的距离相等，并写出平移方式．    【答案】（1）画图见解析，，；（2）将正方形向右平移个3单位，再向下平移4个单位．（也可将正方形ABCD向下平移个4单位，再向右平移3个单位．） 【分析】（1）正方形ABCD的顶点A，C的坐标分别为（﹣5，6）和（﹣1，2），利用一点的坐标即可画出平面直角坐标系，并写出点B，D的坐标； （2）将正方形平移，使4个顶点到原点的距离相等，可得出A点平移后的坐标为（﹣2，2），从而可得平移方式． 【详解】解：（1）由C的坐标为（﹣1，2），可画平面直角坐标系如图，由图可得，； （2）将正方形平移，使4个顶点到原点的距离相等，可得如图，由图可得A点平移后的坐标为（﹣2，2），从而可得平移方式为：将正方形向右平移个3单位，再向下平移4个单位．（也可将正方形ABCD向下平移个4单位，再向右平移3个单位．）    【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标及图形的平移，解题的关键是利用好数形结合的思想． 【典型例题四 已知图形的平移，求点的坐标】 1．（2024·陕西商洛·一模）把函数的图象向上平移个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数平移规律及函数图像上点满足函数解析式，解题的关键是得到平移后的函数； 根据函数平移规律上加下减，左加右减求出新函数，逐个选项代入判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，平移后函数为：， 当时，，故A不符合题意， 当时，，故B符合题意，D符合题意， 当时，，故C不符合题意， 故选：D． 2．（2024·山东青岛·二模）已知点，，将线段平移至，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，点的横坐标为，点的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形中的平移规律．根据规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可． 【详解】解：点，，段平移至，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 点的横坐标加5，点的纵坐标减3， ， ． 故选：C． 3．（22-23七年级下·北京海淀·期中）平面直角坐标系中，把点向上平移5个单位长度后点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将点向上平移5个单位长度后，横坐标不变，纵坐标加上5即可． 【详解】将点向上平移5个单位长度后，横坐标不变，纵坐标加上5，则平移后的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标系中点的平移，熟练掌握坐标系中点平移的知识是解决本题的关键． 4．（23-24七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点O平移到点， ∴将沿x轴正方向向右平移4个单位长度， ∴点平移至点C的坐标为，即． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系的位置如图．将向左平移4个单位长度得到，分别为A，B，C的对应点． (1)画出； (2)直接写出的坐标． 【答案】(1)作图见详解； (2) 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）（2）先利用点的坐标平移规律写出点的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：由图可知，三个顶点的坐标分别为 向左平移4个单位后，对应顶点的坐标分别为，描出这三个点，连线，如图，为所作； （2）点的坐标为． 6．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，， (1)画出向上平移2个单位，向左平移3个位置后的； (2)写出A、C的对应点、的坐标； 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质. （1）将的三个顶点分别向上平移2个单位，向左平移3个位置得到对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据所作图形即可得出答案； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由作图可得：，； 【典型例题五 已知平移后的坐标求原坐标】 1．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1） 【答案】A 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 2．（22-23七年级·广东·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段AB经过平移得到的，已知点A（-2，1）的对应点为A′（1，-2），点B的对应点为B′（2，0）．则B点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对应点A、A′找出平移规律，然后设点B的坐标为（x，y），根据平移规律列式求解即可． 【详解】解：∵点A（-2，1）的对应点为A′（1，-2）， ∴-2+3=1，1-3=-2， ∴平移规律是横坐标向右平移3个单位，纵坐标向下平移3个单位， 设点B的坐标为（x，y）， 则x+3=2，y-3=0， 解得x=-1，y=3， 所以点B的坐标为（-1，3）． 故选C 【点睛】本题考查了平移变换与坐标与图形的变化，根据已知对应点A、A′找出平移规律是解题的关键，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 3．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到点，则点A坐标为 ． 【答案】 【分析】将点B反向平移求出点A坐标； 【详解】点B（0，2）像上平移2个单位，向左平移三个单位后点坐标为（-3，4）， 故A（-3，4）． 【点睛】本题考查了点的平移规律，熟练掌握坐标中点的平移规律是解题的关键． 4．（22-23八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解． 【详解】解：设原来的位置坐标是， ∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是， ∴，， 解得：，， ∴原来的位置坐标是． 故答案为：． 5．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（1，﹣3），将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△ ,其中点 分别是点A,B,C的对应点. （1）请你在给出的坐标系中画出和写出点A′，C′的坐标； （2）若△ABC内的一点P经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示P点的坐标 ；（直接写出结果即可） （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）图详见解析，A′（1, 2），C′（6， 0）；（2）P（）；（3）8.5. 【分析】（1）根据平移规律，坐标的平移规律与图形的平移规律相同，将三个顶点坐标分别进行平移得到对应点的坐标，然后依次连线，写出点的坐标即可. （2）根据坐标的平移规律，用平移后的点按照相反的方向进行平移，即可找到平移前的对应点. （3）利用割补法，将三角形补成矩形，然后用矩形面积分别减去其它三角形的面积即可得到三角形ABC的面积. 【详解】解：(1)根据坐标平移规律，分别将A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（1，﹣3），向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度,，依次连线即可. 即 （2）△ABC内的一点P经过上述平移后的对应点为，其平移规律为向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所以要求P点坐标，要按照相反的方向平移，即向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，即P点坐标为（） (3)如图，将△ABC补成矩形BEGF, 【点睛】本题考查了坐标平移规律，平移作图，用割补法求图形面积，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规律，能够根据图形进行割补，将非规则图形割补成规则图形以便求解. 6．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴平移后的如图所示： （2）由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为． 【变式训练1 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 1．（23-24七年级下·海南海口·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，根据点的平移规律：左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标），即可求解，掌握点平移的规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，向上平移，纵坐标为：， ∴平移后的坐标为：， 故选： ． 2．（23-24七年级下·广西防城港·期中）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据点与点的相对位置即可求解． 【详解】解：由图可知：点向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度即可得到点， 故点C的坐标为，即：， 故选：D 3．（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位后，它的坐标变为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查对坐标与图形变化-平移的理解和掌握．根据平移的性质得出所对应的点的横坐标是，纵坐标不变，求出即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位， ∴所对应的点的横坐标是，纵坐标不变， ∴所对应的点的坐标是， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位，向左平移7个单位，平移后所得的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－平移．根据平移中点的变化规律是：横坐标右加左减，纵坐标上加下减求解即可． 【详解】解：将点向上平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度得到的点的坐标是，即． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标； (2)若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； (3)若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了点的坐标特征以及点的平移等知识． （1）根据点A在x轴上，则点A的纵坐标为0，进而可求出x的值以及点A的坐标． （2）点A在过点B且与x轴平行的直线上，则点A的纵坐标为，进而可求出x的值以及点A的坐标． （3）根据平移得特点，分两种情况当点A在x轴负半轴时以及当点A在x轴正半轴时，分别解出x即可． 【详解】（1）解：∵若点A在x轴上， ∴， 解得：， ∴， 故． （2）∵点A在过点B且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， 故． （3）当点A在x轴负半轴时，， 解得：． 当点A在x轴正半轴时，， 解得：． 故x的值为：或． 6．（22-23八年级上·广西梧州·期中）如图 ，在中，A，B两点的坐标分别是，，将向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到，求、、的坐标，并在图中画出．    【答案】，，，图见解析 【分析】根据平移中点的坐标变换规律： 横坐标右移加， 左移减；纵坐标上移加， 下移减， 找到出平移后的对应点的坐标， 依次为，，；根据点的坐标描点， 顺次连接即可 ． 【详解】解： 根据平移规律可得，，， 如图所示，即将所画．    【点睛】本题考查点的坐标，平移作图，熟练掌握平移中点的坐标变换规律是解题的关键． 【变式训练2 由平移方式确定点的坐标】 1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，轴，，若点，点B在点A的上方，则点B的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系的简单计算，理解平面直角坐标系的坐标特征是解题关键． 因为轴，所以点B的横坐标与点A相同．又因为且点B在点A的上方，所以点B的纵坐标为． 【详解】因为点，点B在点A的上方且，所以点B的坐标为． 故选A． 2．（23-24七年级下·广东惠州·期中）把点向下平移3个单位得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移的点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 直接利用平移的点的变化规律求解即可． 【详解】解：点向下平移3个单位得到的点的坐标为，即， 故选：C． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，将点先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的平移，根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算即可得解． 【详解】解：∵点)向下平移3个单位长度后，再向右平移2个单位长度， ∴，， ∴点 N的坐标为， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·甘肃定西·期中）若将甘肃省生态环境保护吉祥物“沙小驼”图标放在平面直角坐标系中，已知该图标所在点的坐标是，将该图标向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的平移，根据点的坐标的平移规则：左移减、右移加，上移加、下移减，即可得出答案． 【详解】解：该图标所在点的坐标是，将该图标向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，则点的坐标是， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．若将平移后得到三角形，且点C的对应点为，点A、B的对应点分别是、． (1)画出三角形； (2)写出点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)、 【分析】本题主要考查平移作图和点的坐标： （1）利用点平移的坐标变换规律在平面直角坐标系找出点，，然后描点得到； （2）根据平面直角坐标系写出点，的坐标即可 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：点、的坐标分别为、 6．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． (1)点B的坐标为__________； (2)当P点移动了4秒时，点P的坐标为多少？ (3)在移动过程中，当点P到轴距离为5个单位长度时，则点P移动的时间为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了直角坐标系中点的平移、直角坐标系中点的性质，熟练掌握坐标系中点的平移性质是解题关键． （1）直接利用坐标系中点的性质得出； （2）先确定移动后点的位置，即可确定坐标； （3）分两种情况讨论：点P在上和点P在上，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵长方形中，，， ∴点和点横坐标相同，点和点纵坐标相同， ∵，， ∴； （2）∵P点移动了4秒，速度为每秒2个单位长度， ∴点P移动的距离为：， ∵， ∴点P在上，且， ∴； （3）①当点P在上时，则点P移动的距离为， ∴点P移动的时间为， ②当点P在上时，点P移动的距离为， ∴点P移动的时间为， 综上所述，点P移动的时间为或． 【变式训练3 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（22-23七年级下·广西钦州·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移得到点，则平移的单位长度个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】点A纵坐标不变，横坐标由2变为，据此可求出平移长度． 【详解】解：将点向左平移得到点，平移的单位长度为：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 2．（22-23七年级下·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，将点平移到点，经过的平移变换为（    ） A．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查点的平移．根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点； 故选C． 3．（22-23七年级下·山东临沂·期末）点 M(−6，−2) 向 平移 个单位所对应的点的坐标是(−6，4)． 【答案】 上 6 【分析】找到横纵坐标的变化情况，分析即可． 【详解】解：横坐标没有变化； 纵坐标的变化为：4-（-2）=6，说明向上平移了6个单位长度． 故答案为：上，6． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化－平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加． 4．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的“密码”图，利用平移对应文字，“今天考试”解密为“祝你成功”，用此“钥匙”解密“遇水架桥”的词语是 ． 【答案】中国崛起 【分析】先建立平面指标坐标系，根据“今”和“天”对应的“祝”和“你”的坐标，找出对应关系，再写出“遇水架桥”的坐标，根据对应关系写出对应坐标，还原为相应汉字即可得出答案． 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可得：“今”的坐标为(3,2)，对应“祝”的坐标为(4,4); “天”的坐标为(5,1)，对应“你”的坐标为(6,3)； 可知，对应关系为：向右平移一个单位，向上平移两个单位， 故“遇水架桥”对应的坐标分别为(4,2)，(5,6)，(7,2)，(2,4)， 根据对应关系可得对应坐标分别为(5,4)，(6,8)，(8,4)，(3,6)， 故真实意思为：中国崛起． 故答案为：中国崛起． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系，正确得出坐标之间的变化规律是解决本题的关键． 5．（23-24八年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点P的坐标为． (1)若点P到x轴的距离等于它到y轴距离，求点P的坐标； (2)怎样平移，可以将点P变换成点？ 【答案】(1)或； (2)见解析 【分析】（1）根据到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据点的坐标平移规律进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点到x轴的距离等于它到y轴距离， ∴， ∴或 当，解得，此时，            当，解得，此时， 综上所述，点P的坐标为或； （2）解：点先向左平移5个单位，再向下平移4个单位得到（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标与图形变化—平移，熟知到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值是解题的关键． 6．（22-23七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，线段平移得到的线段记为线段．其中点A的对应点是点C，点B的对应点是点D． (1)若，，，则点D的坐标为 ． (2)已知，，，，请写出m和n之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】（1）设点D的坐标为，根据平移的性质列出方程组，解方程组即可； （2）根据平移的特点得出，整理即可得出答案． 【详解】（1）解：设点D的坐标为，根据题意得： ， 解得：， ∴点D的坐标为． 故答案为：． （2）解：；理由如下： ∵线段平移得到的线段记为线段，其中点A的对应点是点C，点B的对应点是点D， ∴， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了坐标平移的特点，解题的关键是熟练掌握坐标平移的性质，列出相应的等式． 【变式训练4 已知图形的平移，求点的坐标】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，把点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，掌握平移的变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”是解答本题的关键． 【详解】解：∵点向下平移2个单位，再向左平移1个单位， ∴所得到的点的横坐标是，纵坐标是， ∴所得点的坐标是． 故选：D． 2．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）如图，点的坐标分别为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移与坐标，根据对应点的坐标确定平移方式即可求解． 【详解】解：由、可得平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴的坐标为， 即：， 故选：A． 3．（22-23七年级下·吉林松原·阶段练习）点向右平移2个单位长度得到，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据点向右平移，横坐标加上平移单位长度即可． 【详解】因为点 向右平移个单位长度 所以点的坐标是 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化——平移，熟记规律：横坐标右加左减是本题解题的关键． 4．（22-23七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A、B的坐标分别为（3，2）、（4，0）， （1）如图，若把△OAB沿x轴向右平移到△CDE，点D的坐标为把（6，2），则点E的坐标为 ． （2）若把△OAB沿x轴平移2个单位得到△CDE，则点D的坐标为 ． 【答案】 （7,0） （5,2）或（1,2） 【分析】（1）由A、D点的坐标可以得到平移的方向及距离，从而由C点的坐标可得点E的坐标； （2）把△OAB沿x轴平移2个单位得到△CDE，有两种情况，可能向左，也可能向右，分别求解即可得点D的坐标． 【详解】解：（1）由题可知，A、D两点的横坐标之差为:6-3=3， 由平移性质可知:C、E两点横坐标与A、D两点横坐标之差相等，设点E的横坐标为a， 则a-4=3，所以a=7，所以E点的坐标为(7,0)； 故答案为：(7,0)． （2）当把△OAB沿x轴向右平移2个单位得到△CDE时， ∵A的坐标分别为（3,2）， 3+2=5 ∴点D的坐标为（5,2）； 当把△OAB沿x轴向左平移2个单位得到△CDE时， ∵A的坐标分别为（3,2）， 3-2=1 ∴点D的坐标为（1,2）； 由上可知点D的坐标为（1,2）或（5,2）． 【点睛】本题主要考查图形的平移，解题的关键是结合图形把握平移的方向． 5．（2024七年级下·云南·专题练习）三角形如图所示，将三角形水平向左平移个单位，再竖直向下平移个单位可以得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形三个顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】此题主要考查了作图--平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置． （1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，然后再连接即可； （2）根据坐标系可得答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：，，． 6．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，格点三角形经过平移得到格点三角形．其中点平移后对应点坐标为．    (1)三角形可以先向______(填“上”或“下”)平移______个单位长度，再向______(填“左”或“右”)平移______个单位长度，得到三角形； (2)请画出平移后的图形． 【答案】(1)下；；右； (2)见解析 【分析】本题考查作图-平移变换， （1）根据平移的坐标变化得出平移规律即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点即可． 【详解】（1）解：，． ，， 即三角形可以先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形； 故答案为：下；；右；； （2）如图所示：三角形即为所求； 【变式训练5 已知平移后的坐标求原坐】 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可． 【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得， ∵得到的， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 2．（22-23七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点向左平移个单位长度后点的坐标为，根据点在轴上知，据此知，再代入即可得． 【详解】解：将点向左平移个单位长度后点的坐标为 点在轴上， 即， 则点的坐标为． 故选：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了轴上的点横坐标为的特征． 3．（22-23七年级下·全国·课后作业）一只蚂蚁先向上爬4个单位长度，再向左爬3个单位长度后，到达，则它最开始所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】先将最开始的位置设出来，根据平移规律建立方程，解方程即可． 【详解】设它最开始所在位置的坐标为， 由题意，得 它最开始所在位置的坐标力． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 4．（22-23七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系内，把点P先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是（-5，3）则点P的坐标是 ． 【答案】（-3，-1） 【分析】设点P的坐标为（x，y），根据向左平移，横坐标减，向上平移，纵坐标加，列出方程求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为（x，y）， ∵点P先向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是（-5，3）， ∴x-2=-5，y+4=3， 解得x=-3，y=-1， ∴点P的坐标为（-3，-1）． 故答案为：（-3，-1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 5．（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ABC A（2，4） B（5，b） C（c，7） △A'B'C' A'（a，1） B'（3，1） C'（4，4） (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a= ，b= ，c= ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A'B'C'； (3)连接BB' 和CC'，求出四边形BB'C'C的面积． 【答案】(1)0，4，6 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由点A（2，4）到（a，1）可知，点由A向下平移3个单位得到，得； （2）直接画图即可； （3）将四边形BB'C'C放在长方形中利用面积之差即可求出结果． 由B（5，b）到B'（3，1）可知，点由B向左平移2个单位得到，得,，． 【详解】（1）解：由题意，△A'B'C'是由△ABC向下平移3个单位、向左平移2个单位得到； ∴，，； 故答案为：0，4，6 （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】本题考查直角坐标系中的点坐标平移、面积的求法，根据点坐标确定平移的规律和利用割补法求面积是解题的关键． 6．（22-23七年级下·广东广州·期末）如图，△ABC的顶点都在网格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请根据如图所示的平面直角坐标系，写出△ABC各点的坐标，并求出△ABC的面积． （2）把△ABC平移到△A1B1C1，使点B1与原点O重合，按要求画出△A1B1C1，并写出平移过程． （3）已知P是△ABC内有一点，平移至△A1B1C1后，P点对应点的坐标为P1 (a,b)，试写出P点的坐标． 【答案】（1），；（2）图见解析，平移过程为：先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度；（3）． 【分析】（1）直接根据平面直角坐标系即可得出A,B,C三点的坐标，然后利用矩形的面积减去三个三角形的面积即可求出的面积； （2）通过B点的平移，即可得到平移方式和距离，从而可得到A,C平移后的坐标和 ； （3）根据（2）中的平移方式即可得出答案． 【详解】（1）根据平面直角坐标系可知，， ； （2）如图： 平移过程为：先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度； （3），将点P先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点， ． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和图形的平移，掌握图形的平移规律是解题的关键． 1．（23-24七年级下·四川德阳·期中）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解答． 【详解】解：将点沿轴先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 故选：B． 2．（22-23七年级下·山东临沂·期末）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（    ） A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8） 【答案】D 【分析】让点B先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得到点A的坐标，让点B的横坐标减2，纵坐标加3即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5）， ∴点A的横坐标为﹣1﹣2＝﹣3，纵坐标为5+3＝8， ∴A点坐标为（﹣3，8）． 故选D． 【点睛】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．解决本题的关键是得到由点B到点A的平移过程． 3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，．把沿x轴向右平移得到，如果点D的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．利用平移的性质结合图象求得平移距离，解决问题即可． 【详解】解：，， 向右平移3个单位得到， ， ． 故选：． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在的网格中，把平移后得到，平移方法正确的是（    ） A．左平移4个单位，再下平移1个单位 B．左平移1个单位，再下平移4个单位 C．右平移4个单位，再上平移1个单位 D．右平移4个单位，再下平移1个单位 【答案】C 【分析】此题考查了图形的平移，根据平移后得到的的位置求解即可． 【详解】根据题意可得， 把平移后得到，平移方法正确的是右平移4个单位，再上平移1个单位． 故选：C． 5．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，将一块直角三角尺的直角顶点与原点重合，另两个顶点的坐标分别为，．现将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：∵将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合， ∴三角尺沿轴向左平移2个单位长度， ∴点的对应点的坐标是， 即：点的坐标是， 故选：A． 6．（2024七年级下·上海·专题练习）直角坐标平面内点向左平移个单位得到的点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：把点向左平移个单位得到的点的坐标为． 故答案为：． 7．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是 【答案】 【分析】根据坐标的平移变换规律，把得到的点倒推即可求解． 【详解】解：由题意得： 点，先向由平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，得到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的平移变换，熟练掌握坐标的平移变换的规律是解题的关键． 8．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，将线段平移至，若，，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查平移的坐标与图形变化，根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”得出平移规律解答即可． 【详解】解：由题可得，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，已知点，若将线段平移至，其中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题． 【详解】解：∵点平移后得到点， ∴线段的平移的过程是：向上平移1个单位，再向左平移3个单位， ∴, ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，的坐标为、，若将线段平移至，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平移变换、代数式求值，确定点的坐标是解题关键．首先确定线段的平移方式，再确定点的坐标，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴点向右移动1个单位长度，向上移动1个单位长度得到点， ∵将线段平移至， ∴， ∴． 故答案为：3． 11．（22-23八年级下·广东揭阳·期中）已知点和点，将线段平移至，点于点对应，若点的坐标为． (1) 是怎样平移的； (2)求点的坐标． 【答案】（1）先向右平移2个单位，再向下平移3个单位；（2） 【分析】（1）点的平移遵从“左减右加，下减上加”原则，由此可得AB的平移方法； （2）根据（1）中AB的平移方法，按步平移可得B′的坐标． 【详解】（1）点的平移遵从“左减右加，下减上加”原则 ，平移后所对应的，平移方法为：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位； （2）点，按照（1）的方法进行平移后得：先向右平移2个单位得，再向下平移3个单位得； 所以的坐标为． 【点睛】本题考查了点在坐标系中的平移，熟知点的平移规则是解题的关键． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，机械手要将一个工件从图中处移动到处，但是这个工件不能碰到图中的红色障碍，试用坐标写出一条机械手在移动中可能要走过的路线． 【答案】可以依次走下列各点：，，，，． 【分析】利用已知图形得出A点移动的路径即可． 【详解】解：如图所示：A先向左平移3个单位，再向上平移9个单位，再向右平移4个单位，再向下平移3个单位，即可得出B点位置．坐标变化为（-4，-2）→（-7，-2）→（-7，7）→（-3，7）→（-3，4）． 【点睛】此题主要考查了平移设计图案，利用网格结合题意得出运动路径是解题关键． 13．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为． (1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）； (2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形，则点，，的坐标分别是（______），（______），（______）； (3)计算三角形的面积． 【答案】(1)， (2)，， (3)5 【分析】本题考查了坐标与图形、平移等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据直角坐标系中三点的位置即可求解； （2）根据平移方向和距离即可求解； （3）利用“割补法”即可求解； 【详解】（1）解：根据直角坐标系中三点的位置可得：，， 故答案为：，； （2）解：∵将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴，，， 即：，，， 故答案为：，，； （3）解：三角形的面积． 14．（22-23七年级下·重庆江北·期中）如图，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向上平移个单位长度得到，请画出； (2)请直接写出的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)的面积为 【分析】（1）根据图形平移的方法即可求解； （2）图形结合，根据坐标与图形的关系即可求解； （3）运用割补法将补成梯形，根据几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：向上平移个单位长度， ∴根据图形平移的规律，如图所示， ∴即为所求图形． （2）解：由（1）中的图形的位置可得，，，． （3）解：如图所示，将补成梯形， ∴，，，，， ∴，，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握画平移图形，点坐标的性质以及三角形面积的求法，正确得出平移后的对应点是解答本题的关键． 15．（22-23七年级下·河北沧州·期中）如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3），平行且相等 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积； （2）利用点P和P1的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律作图即可； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的性质判断线段MM1，PP1之间的关系． 【详解】解：（1）△ABC的面积＝； （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)， 由平移的性质知，MM1与PP1平行且相等． 故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等． 【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握由点的坐标确定平移的方向与平移距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$