2024年全国一卷新高考数学题型细分S2-5——导数大题1 易、基础

2024年全国一卷新高考题型细分S2-5 ——导数——大题（易、基础） 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《导数——大题》题目按难易程度排序：易、基础、中下、中档、中档长题、中上。具体题型有：切线、单调性、极值、最值、单调性分类讨论、恒成立、能成立、零点分析、拓展等，大概167道题。 导数 大题（易）： 1. （2024年苏J05常州调研）15. 已知函数，． （1）若函数在点处的切线过原点，求实数a的值；（[endnoteRef:2]） （2）若，求函数在区间上的最大值． （切线，最值，易；） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出切点，求导，利用导数的意义求斜率，再由点斜式写出直线方程求出； （2）求导，分析单调性，求出最值即可. 【小问1详解】 切点，，． 切线过， ∴，∴． 【小问2详解】 ，， ，或3， 则当或时，,当时，, 在上为减，在为增， ，，∴． ] 2. （2024年浙J35金华义乌三模）15．已知函数在处的切线的方向向量为. (1)求的值；（[endnoteRef:3]） (2)求函数的单调区间与极值. （切线，单调性，极值，易） [3: 15．(1)1 (2)在上递增，在上递减，极大值为，无极小值 【分析】（1）由切线的方向向量可得切线斜率，进而利用导数的几何意义即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性并求极值即可. 【详解】（1）在处的切线的方向向量为，所以在处的切线斜率， 又，则，解得. （2）函数的定义域为， ， 令，解得或（舍去）. 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 在处取得极大值，即，无极小值. 于是在上单调递增，在上单调递减， 极大值为，无极小值. ] 3. （2024年鲁J32潍坊二模）15．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值；（[endnoteRef:4]） (2)求的单调区间和极值． （切线，单调性，极值，易；） [4: 15．(1)， (2)单调递增区间是，，单调递减区间是，极大值为，极小值为. 【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可； （2）求导分析导函数的正负区间进而求解极值即可. 【详解】（1）由题可得， 由题意，故， 又，故. （2）由（1）可得， 令可得或，令可得， 故的单调递增区间是，，单调递减区间是. 则的极大值为，极小值为. ] 4. （2024年粤J102韶关二测）15. 已知函数在点处的切线平行于轴． （1）求实数；（[endnoteRef:5]） （2）求的单调区间和极值． （极值，极值，易；） [5: 【答案】（1）1 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数； （2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值. 【小问1详解】 由可得：， 由题意，，解得； 【小问2详解】 由（1）得，，则， 当时，，则在上是减函数； 当时，，在上是增函数. 故时，函数有极小值为，无极大值. 故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值. ] 5. （2024年冀J26保定十校三模）15．已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2. (1)求的值；（[endnoteRef:6]） (2)求在上的值域. （切线，最值，易；） [6: 15．(1) (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果； （2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，求出，，的值可得结果. 【详解】（1）因为，所以，则. 因为，所以切点坐标为， 所以的图象在点处的切线方程为. 令，得，又，所以，所以. （2）由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增. 令，解得，所以 在上单调递减， 又，，， 所以在上的值域为. ] 6. （2024年浙J23适应）15. 已知函数在处的切线为． （1）求实数的值；（[endnoteRef:7]） （2）求的单调区间和最小值． （切线，最值，易；） [7: 【答案】（1）；（2）的单调减区间为的单调增区间为，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算，可求出a，b的值； （2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；进而可求得函数的最小值. 【详解】（1） 又∵函数在处的切线为， ，解得： （2）由（1）可得：， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 的单调减区间为的单调增区间为， . 【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程确定参数的值，应用导数研究函数的单调性和最值，属于简单题目. ] 7. （2024年冀J01某市一模）15. 已知函数 （1）当时，求函数的极值；（[endnoteRef:8]） （2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； （极值，单调性反求系数，易；） [8: 【答案】（1）极小值为1，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况； （2）由题意得在区间上，参变分离，构造函数，求出最小值，得到答案. 【小问1详解】 时，，定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故在处取得极小值，， 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 在区间上为减函数， ∴在区间上， ， 令，只需， 显然在区间上为减函数， ， ] 8. （2024年闽J19南平三检）15．已知函数，且图象在处的切线斜率为0. (1)求的值；（[endnoteRef:9]） (2)令，求的最小值. （切线，最值，易；） [9: 15．(1)1 (2)0 【分析】（1）对求导，可得，解方程即可得出答案； （2）由（1）知函数，对求导，令，对求导，判断与0的大小得出的单调性，即可求出的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 因为图象在处的切线斜率为0, 所以，即，所以. （2）由（1）知函数， 的定义域为， ， 则，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上递减，在上递增， . ] 导数 大题（基础）： 9. （2024年闽J18福师附模拟）16．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程；（[endnoteRef:10]） (2)若恒成立，求的值 （切线，恒成立，基础；） [10: 16．(1)； (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由，得，当时，不符合题意；当时，最小值为，若恒成立，则，设．根据导数研究的最大值，即可求出的值. 【详解】（1）定义域为，由，得， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）定义域为，， ①当时，，不符合题意． ②当时，令，解得， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为． 所以. ] 10. （2024年苏J21南通二适）16. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间；（[endnoteRef:11]） （2）若且恒成立，求的最小值. （单调性分类讨论，恒成立，基础；） [11: 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 （）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. ] 11. （2024年粤J125新会华侨二模）15．设函数.（[endnoteRef:12]） (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在上的最大值和最小值. （切线，最值，基础；） [12: 15．(1) (2)在上的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）利用导函数与原函数单调性的关系，判断出在上的单调性即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）可知，. 令，则， 当时，，，所以， 所以在上单调递增， 当时，，即， 所以在上单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. ] 12. （2024年苏J01高邮一模）16. 已知函数，其中．（[endnoteRef:13]） （1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求； （2）求函数的单调区间． （切线，单调性分类讨论，基础；） [13: 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义及截距的定义计算即可得； （2）借助导数分类讨论即可得. 【小问1详解】 ，则，， 故曲线在处的切线为， 即， 当时，令，有， 令，有，故，即， 此时，无切线，故不符合要求，故舍去； 当时，此时切线为，符合要求，故 【小问2详解】 ，， 则当时，在上恒成立， 故在上单调递减； 当时，令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. ] 13. （2024年湘J41永州三模）17．已知函数.([endnoteRef:14]) (1)当时，求在的单调区间及极值. (2)若恒成立，求的取值范围. （极值，恒成立，基础；） [14: 17．(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）根据题意，将代入，去掉绝对值符号后求导即可求解； （2）根据题意可得，构造函数，然后去掉绝对值符号利用导数求解函数的最小值即可得到结果. 【详解】（1）当，时，， 则， 令，解得， 令，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，无极大值. （2）依题意可得，对，恒成立， 即，令， 当时，，单调递减， 当时，，则， 令，解得，令，解得， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即， 所以的取值范围为. ] 14. （2024年粤J26深圳华侨城一模）15. 已知函数，a，．若在处与直线相切． （1）求a，b的值；（[endnoteRef:15]） （2）求在（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值． （极值，最值，基础；） [15: 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、的值； （2）由（1）可得的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极小值，再求出区间端点的函数值，即可得解； 【小问1详解】 解：函数，， 函数在处与直线相切， ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值即最大值， 所以，又， 所以 ] 15. （2024年浙J33东阳五月测）16．已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值． (1)求实数a的值；（[endnoteRef:16]） (2)若不等式恒成立，求k的范围． （极值，恒成立，基础；） [16: 16．(1) (2)． 【分析】（1）求导，利用，求出答案； （2）参变分离得到对任意恒成立，令，求导得到函数的单调性和最值，得到. 【详解】（1）∵， ∴， ∵函数在点处取得极值， ∴， ∴，经检验，符合题意， ∴； （2）∵， ∴恒成立， 即对任意恒成立． 令，则． 设，易得是增函数， 而， ∴时，，即， 时，，即， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴， ∴． ] 16. （2024年粤J112广州综合）17. 已知函数，. （1）求的单调区间和极小值；（[endnoteRef:17]） （2）证明：当时，. （极值，恒成立，基础；） [17: 【答案】（1）递增区间为，递减区间为，极小值为1； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值. （2）根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得. 【小问1详解】 函数，，求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以的递增区间为；递减区间为，的极小值为. 【小问2详解】 证明：当时，令， 求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，则，在上单调递增， 因此，所以. ] 17. （2024年浙J38绍兴四月适）17．已知函数.（[endnoteRef:18]） (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围. （切线，恒成立，基础；） [18: 17．(1)； (2). 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）分和讨论，利用导数结合不等式放缩判断导数正负，结合单调性验证恒成立是否满足. 【详解】（1）当时，，则， 所以切线斜率为，又， 所以，切线方程是. （2）①当时，因为，所以， 所以. 记，则， 令，则. 因为当时，，所以在区间上单调递增， 所以，， 所以，在区间上单调递增， 所以，，所以. ②当时，， 因为当时，， 令，则， 若，则，即在区间上单调递增. 若，则， 所以在区间上单调递增. 所以当时，在区间上单调递增. 因为，， 所以，存在，使得， 所以，当时，，即在区间上单调递减， 所以，不满足题意. 综上可知，实数的取值范围为. ] 18. （2024年苏J37苏锡常镇二调）17．已知函数. (1)当时，证明：；（[endnoteRef:19]） (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. （恒成立，零点，基础；） [19: 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明； （2）求导，令，再求导，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数. 【详解】（1）因为函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. 令，则， 则在单调递增， 所以，即. （2）， 令， 则. 所以在单调递增，， ①时，，. 则在为增函数，在上无极值点，矛盾. ②当时，.由（1）知，， ，则，则使. 当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增. 因此，在区间上恰有一个极值点， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. ] 19. （2024年苏J36七市三调）17．已知函数． (1)若，求的最小值；（[endnoteRef:20]） (2)设数列前项和，若，求证：． （最值，恒成立，基础；） [20: 17．(1)0 (2)证明见详解 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，进而可得的最小值； （2）当时显然成立，当，结合（1）可得，进而可得，利用裂项相消法分析证明. 【详解】（1）因为，则， 因为，则，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为， 若，则，满足； 若，由（1）可知：， 即，当且仅当时，等号成立， 令，可得， 且， 可得， 所以； 综上所述：. ] 20. （2024年湘J06雅礼一模）15. 已知函数． （1）若是函数的极值点，求在处的切线方程．（[endnoteRef:21]） （2）若，求在区间上最大值． （切线，最值，基础；） [21: 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程； （2）根据函数单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得. 【小问1详解】 ， 又是函数的极值点， ∴，即 ∴， ∴， 在处的切线方程为，即， 所以在处的切线方程是 【小问2详解】 ，令，得， ∴在单调递减，在单调递增 而， ①当，即时， ②当，即时， 综上，当时，； 当时， ] 21. （2024年湘J05长沙调研）16. 已知函数 （1）当时，求函数的极值；（[endnoteRef:22]） （2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； （极值，单调性，基础；） [22: 【答案】（1）极小值为1，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况； （2）由题意得在区间上，参变分离，构造函数，求出最小值，得到答案. 【小问1详解】 时，，定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故在处取得极小值，， 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 在区间上为减函数， ∴在区间上， ， 令，只需， 显然在区间上为减函数， ， ] 22. （2024年苏J07百师联盟）15. 已知函数． （1）讨论的单调性；（[endnoteRef:23]） （2）若直线与曲线相切，求的值． （单调性分类讨论，切线，基础；） [23: 【答案】15. 答案见解析； 16. . 【解析】 【分析】（1）利用导数法求函数单调性的步骤及分类讨论即可求解； （2）根据导数的几何意义及导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 的定义域为R， , 当时，,单调递减; 当时，令，得, 当时，，单调递减; 当时，，单调递增. 综上，当时，在R 上单调递减； 当时，在单调递减; 在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，， 设切点，则， 易知，故. 又，即，将代入，得. 设，则. 令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 综上，. ] 23. （2024年苏J35南京二模）16．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程；（[endnoteRef:24]） (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． （切线，最值，基础；） [24: 16．(1) (2) 【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程； （2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可． 【详解】（1）当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2），令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． ] 24. （2024年苏J38航附五月测）16．已知． (1)若在恒成立，求a的范围；（[endnoteRef:25]） (2)若有两个极值点s，t，求的取值范围． （恒成立，零点分析，基础；） [25: 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意转化为恒成立，令，求得，再令，利用导数求得，得到在单调递减，即可求解； （2）根据题意，转化为是的两不等正根，即是的两不等正根，结合二次函数的性质，求得，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：由函数，因为在上恒成立， 即在恒成立， 令，可得， 令，可得， 所以在单调递减，所以， 所以恒成立，所以在单调递减，所以， 所以，所以实数的取值范围为. （2）解：因为有两个极值点， 可得是的两不等正根， 即是的两不等正根，则满足，解得， 则 ， 所以的取值范围为． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． ] 25. （2024年苏J34航附二模）16．已知函数，． (1)讨论的单调性；（[endnoteRef:26]） (2)证明：当时，． （单调性分类讨论，恒成立，基础；） [26: 16．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论即可． （2）由（1）知，从而，即证明，再构造新函数，利用导数得证． 【详解】（1）， 当在上恒成立，故在上单调递增； 当时，令得； 令得， 故在上单调递增，在上单调递减． （2）证明：由（1）知，当时，， 所以． 令， 则． 令， 则． 因为，所以， 所以在上单调递增． 又，所以， 所以在上单调递减． 因为，所以， 所以， 即当时，． ] 26. （2024年粤J135茂名二测）16．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)若，求函数在区间上的最大值.（[endnoteRef:27]） （切线，最值，基础；） [27: 16．(1)； (2). 【分析】（1）先求函数的导函数，只需保证，求解即可； （2）构造函数，借助函数导函数分析函数的单调性，应用零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为曲线在点处的切线方程为，切线的斜率为， 所以，得，解得：. （2）当时，令， ， 当时，，单调递增， 又，， 所以至少存在唯一的实数，使得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 又 所以. ] 27. （2024年粤J133江门开平忠源）15．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程； (2)讨论函数的单调性.（[endnoteRef:28]） （切线，单调性分类讨论，基础；） [28: 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程； （2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性. 【详解】（1）， 由已知， ∴得 又 ∴曲线在点处的切线方程为 化简得： （2）定义域为R， ，令得或 ①当即时， 令得或，令得， 故在单调递减，在，上单调递增； ②当即时，恒成立， 故在R上单调递增； ③当即时， 令得或，令得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在单调递减，在，上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； ] 28. （2024年粤J132华师附五月适）15．已知函数． (1)求函数的单调区间；（[endnoteRef:29]） (2)若函数有最大值，求实数的值． （单调性分类讨论，最值，基础；） [29: 15．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，分类讨论可求单调区间； （2）利用（1）的结论可求实数的值． 【详解】（1） 1°当时在区间上单调递增。 2°当时，时，单调递增 时，单调递减 综上，当时，的增区间是， 当时，的增区间是，减区间是 （2）由（1）知当时，无最大值。 当时，，平方有， 解得． ] 29. （2024年鄂J23荆州四适）15．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程；（[endnoteRef:30]） (2)求证：函数的图象位于直线的下方； （切线，恒成立，基础；） [30: 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义求解即可； （2）定义域为，要证函数的图象位于直线的下方，即证，构造函数，通过求解函数的最大值即可证. 【详解】（1），则， 又， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）因为，所以，要证明，只需要证明， 即证， 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故， 所以恒成立，即原不等式成立， 所以函数的图象位于直线的下方. ] 30. （2024年湘J46长沙一中二模）17．设函数. (1)求的极值；（[endnoteRef:31]） (2)若对任意，有恒成立，求的最大值. （求极值，恒成立，基础；） [31: 17．(1)极小值，无极大值； (2). 【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值; （2）分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）. 令，得，令，得. 故在单调递减，在单调递增. 在处取得极小值，无极大值. （2）对恒成立，即对恒成立. 令，则只需即可. . 易知均在上单调递增， 故在上单调递增且. 当时，单调递减； 当时，单调递增. .故，故的最大值为. ] 31. （2024年鲁J31威海二模）17．已知函数． (1)求的极值；（[endnoteRef:32]） (2)证明：． （极值，恒成立，基础；） [32: 17．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案； （2）根据要证明的不等式的结构特点，设，求出其导数，利用导数判断其单调性，结合其最值，即可证明结论. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 则， 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； （2）证明：设， ，令， 则，即在上单调递增， ， 故，使得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故 即，即，则. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$