精品解析：2024年广东省深圳市光明区实验学校中考三模数学试题

光明区实验学校2023-2024学年第二学期九年级模拟考试数学试卷（三模） 一．选择题（每题3分，共30分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某个几何体三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 32 6. 一元一次不等式组 解集为（ ） A. B. C. D. 7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，面积为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 因式分解：_________. 12. 若分式有意义，则的取值范围是______． 13. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是__m2． 14. 如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 __． 15. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________． 三．解答题（共55分） 16. 计算： 17. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）： ，，，，， 随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ； （2） ，并补全图中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 18. 如图，已知，点M是上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； （2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________． 19. 如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求值． 20. “直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． （1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； （2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． 21. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 22. （1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 光明区实验学校2023-2024学年第二学期九年级模拟考试数学试卷（三模） 一．选择题（每题3分，共30分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘和合并同类项等方面的计算能力，运用相关运算方法进行逐一计算、辨别．关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意， 故选：C． 3. 2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示．绝对值大于等于10的数用科学记数法可表示为的形式，其中，为正整数． 【详解】解：34.45亿． 故选：B． 4. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体． 【详解】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱高度和长方体的高度相当． 故选：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大． 5. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且， ∴，且相似比为， ∴与的周长比为：， ∵的周长为8， ∴的周长为16． 故选：C． 6. 一元一次不等式组 解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解每个不等式的解集，再求两个不等式的解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 同理可得，， 又双翼边缘的端点与之间的距离为， ， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设第一次分钱的人数为x人，根据“第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得： ． 故选：C 9. 如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得到，推出，设，由可得，进而根据锐角三角函数得到，则，根据三角形的面积公式求出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 在和中， ， ， ， ， 即， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项的图象符合题意， 故选：． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 因式分解：_________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再按照平方差公式进行分解即可得到答案； 【详解】解：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，掌握平方差公式是解题的关键； 12. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，要使分式有意义，则，即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义，则， ∴， 故答案：． 13. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是__m2． 【答案】1 【解析】 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为4平方米， 因为小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近， 所以不规则区域的面积约是4×0.25=1平方米． 故答案为：1． 14. 如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，相似三角形点的判定和性质，过点B作轴于点E，设，则点，进而得，由得，证得，则，，可得点，进而得，则，，再根据的面积为1，得，即，由此解出k即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 设， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 的面积为1， ， 即， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点A作于点Q， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵由沿折叠所得， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 三．解答题（共55分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负整指数幂的性质及45°角的正切值计算解题即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、负整指数幂、正切等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）： ，，，，， 随机抽取名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“组”所对应的扇形的圆心角是 ； （2） ，并补全图中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是 分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2），补全如图所示 （3） （4）乙将获得“环保之星”称号 【解析】 【分析】（）直接即可； （）根据“”组即可； （）根据中位数的概念即可； （）根据的权重分别计算即可； 本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数和加权平均数，解题的关键是准确找出相关数据，利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 “组”所对应的扇形的圆心角是:， 故答案为：； 【小问2详解】 ，并补全频数分布直方图如图， 故答案为：； 【小问3详解】 由（）得：，即抽取名学生， 即中位数排在第，位的平均数，为， 故答案为：； 【小问4详解】 甲：， 乙：， ∵， ∴乙将获得“环保之星”称号． 18. 如图，已知，点M是上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； （2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件； （2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算． 【小问1详解】 解：如图，为所作； ； 【小问2详解】 解：∵和为的切线， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的劣弧与所围成图形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算． 19. 如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则根据平行线的判定方法得到，再利用平行线的性质得到，加上，从而得到； （2）根据圆周角定理得，再证明，利用相似三角形的性质得到，则，接着利用正弦的定义得到，然后根据特殊角的三角函数值求解． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：是的直径， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， ． 20. “直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． （1）求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； （2）直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． 【答案】（1）30元 （2）；最大值160元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确列出分式方程，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）由题意得得出与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 商场购进第一批“小金龙”每件的进价为30元． 【小问2详解】 解：由题意得：， 当时，有最大值160元， 答：最大值为160元． 21. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【解析】 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得； （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意； 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 22. （1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2 【解析】 【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°； （2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD= DM=2． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE， ∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=45°， 故答案是：，45°； （2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°， ∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∆ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠DAM=45°，， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM， ∴∆BAD~∆CAM， ∴∠ABD=∠ACM，， 又∵BD=6， ∴CM==3， ∵四边形ABDC内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90° ∴∠ABD+∠BCD=180°， ∴∠ACM+∠BCD=180°， ∴∠DCM=90°， ∴DM=， ∴AD=DM=2， 即A，D两点之间的距离是2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$