精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

实验中学2023-2024学年度第二学期期中考试试题 高一（数学） 命题人：武小强 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A 2. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 1或6 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算. 【详解】由题意可得：且，则. 故选：D. 3. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 4. 设是方程的两个根，则的值为 A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）= -3，故选A. 考点：两角和与差的正切函数公式 点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键． 5. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A选项，，所以共线，不能作为基底； 对于B选项，，所以共线，不能作为基底； 对于C选项，，所以共线，不能作为基底； 对于D选项，易知不共线，可以作为基底. 故选：D. 6. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 7. 在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案. 【详解】因为 所以， 整理得， 即的形状是等腰三角形. 故选：A. 8. 在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，结合图象可得，即可得答案. 【详解】解：如图，，过作于， 则， 以为圆心，为半径画圆弧， 要使有两个解， 则圆弧和边应该有两个交点， 故且， 即， 解得． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（ ） A. 若且，则 B. C. 若，且，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由向量判断；B.由向量的运算律判断；C.由数量积的运算律判断；D.由向量共线判断. 【详解】A.若向量，则不一定平行，故错误； B.根据向量的运算律可知，B正确； C. ，且，所以或，故错误； D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误. 故选：ACD 10. 已知，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则至少有1个为0 D. 若是两个虚数，，，则为共轭复数 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据除法运算结合共轭复数概念分析判断；对于C：根据复数乘法结合复数相等分析判断；对于D：根据复数的四则运算结合复数的相关概念分析判断. 【详解】设， 对于选项A：例如，则， 显然，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 可得； 又因为， 可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 可得，解得或， 即或，所以至少有1个为0，故C正确； 对于选项D：若是两个虚数，则， 因为，则，即， 又因为， 则，即，可得， 所以，即为共轭复数，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是（ ） A. 若,则一定为等腰三角形 B. 若则 C. 若,则的最大内角为 D. 若为锐角三角形,则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A由正弦定理角化边即可判断;对于B根据余弦函数的单调性即可判断;对于C先确定最大角,再利用余弦定理求解即可;对于D,先根据为锐角三角形得到,再利用正弦函数的单调性即可判断. 【详解】对于A,由正弦定理得:,所以一定为等腰三角形,故A正确; 对于B,因,又在时为减函数,所以,故B错误; 对于C,因为,所以角为最大角, 设,由余弦定理得: , 因为,所以,故C正确; 对于D,若为锐角三角形,则, 即, 因为, 所以, 因为函数在时为增函数, 所以,故D正确. 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若在中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积定义和余弦定理可求的值. 【详解】 , 故答案为：. 13. 函数的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意利用倍角公式可得，结合正弦函数的性质分析求解. 【详解】由题意可得：， 令，解得， 可知当，取得最大值. 故答案为：. 14. 已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界），注意到三点共线，结合数量积的几何意义分析求解. 【详解】由题意可知：在复平面内对应的点为， 因为，， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界）， 因为，即，可知三点共线， 且， 设在方向上的投影向量为，则， 可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1） （2） （3） 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的性质分析求解即可； （2）根据复数的乘法运算分析求解； （3）根据复数的除法运算结合倍角公式分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：. 【小问2详解】 由题意可得：. 【小问3详解】 由题意可得： ， 所以. 16. 如图，在平面四边形中，，，的面积为． ⑴求的长； ⑵若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式求得，再由余弦定理即可得到的长； （2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的长． 【详解】⑴∵，，的面积为 ∴ ∴ ∴由余弦定理得 ∴ ⑵由（1）知中，， ∴ ∵,∴ 又∵ ， ∴在中，由正弦定理得 即,∴ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 17. 已知复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，复数 （1）求，的值； （2）求，的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念以及几何意义可得和，即可得结果； （2）根据（1）中结果，利用两角和差公式分析求解，注意角之间的关系. 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上， 则，可得； 又因为复数， 则，可得. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 所以； . 18. 如图在中，，，设， （1）用表示向量． （2）若，，，求． （3）若，，求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算分析求解即可； （2）根据题意可得，根据模长公式结合数量积的运算律分析求解； （3）根据垂直关系分析可得，，结合夹角公式分析求解. 【小问1详解】 由题意可知： 所以； . 【小问2详解】 由题意可知：，则， 可得， 所以. 【小问3详解】 若， 则， 整理可得， 又因，且， 整理可得， 则，可得，即， 所以. 19. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案. （2）计算，得到，得最值. 【小问1详解】 由，在直角中，，； 在直角中，， ； ， 所以当，即时，的最大值为， 即时，工艺礼品达到最佳观赏效果． 【小问2详解】 在直角中，由， 可得； 在直角中，， 所以，， 所以 ， 所以当时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时取得最大值，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学2023-2024学年度第二学期期中考试试题 高一（数学） 命题人：武小强 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 1或6 C. D. 1 3. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 4. 设是方程的两个根，则的值为 A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 5. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. 3 D. 6 7. 在中，其内角A，B，C对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（ ） A. 若且，则 B. C. 若，且，则 D. 10. 已知，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则至少有1个0 D. 若是两个虚数，，，则为共轭复数 11. 已知的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是（ ） A. 若,则一定为等腰三角形 B. 若,则 C. 若,则的最大内角为 D. 若为锐角三角形,则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若在中，，则______. 13. 函数最大值是______． 14. 已知复数在复平面内对应点为，且满足，为原点，，求的取值范围______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1） （2） （3） 16. 如图，在平面四边形中，，，的面积为． ⑴求的长； ⑵若，，求的长． 17. 已知复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，复数 （1）求，的值； （2）求，的值． 18. 如图在中，，，设， （1）用表示向量． （2）若，，，求． （3）若，，求． 19. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $