精品解析：湖北省十堰市东风高级中学2023-2024学年高一下学期6月阶段性考试数学试题

东风高中2023级高一数学下学期期末 （2024年6月16日） 一、单选题 1. 复数(其中，为虚数单位)，若复数的共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 平均数 B. 第50百分位数 C. 极差 D. 众数 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 不确定 6. （ ） A. B. C. D. 2 7. 在中，，、分别在、上，，，将沿折起，连接，，当四棱锥体积最大时，二面角的大小为 A. B. C. D. 8. 阆中熊猫乐园承载着许多人的回忆，将乐园的摩天轮图（1）所示抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．则摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度（ ） A 50米 B. 60米 C. 65米 D. 75米 二、多选题 9. 若m，n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若，，，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，，则面积没有最大值 11. 在正三棱柱中，，，E，F分别是棱BC，AC上的动点（不包括端点），且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 存点E，使得 B. 直线与异面 C. 三棱锥体积最大值为 D. 二面角的最大值为60° 三、填空题 12. 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长为___． 13. 已知，是球的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，，则球的表面积为__________. 14. 已知，则_________________． 四、解答题 15. （1）已知满足，求实数，的值． （2）已知向量，，求在上的投影向量的坐标． 16. 已知函数． （1）求的单调增区间； （2）当时，求的值域． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点N，为等腰直角三角形，，点M为棱的中点. （1）证明：//平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表． 组号 分组 频数 频率 1 5 0.05 2 a 0.35 3 30 b 4 20 0.20 5 10 0.10 合计 100 1 （1）求a，b值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）； （2）根据频率直方图估计该组数据众数及中位数（中位数精确到0.01）； （3）现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数，方差，第5组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？ 19. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东风高中2023级高一数学下学期期末 （2024年6月16日） 一、单选题 1. 复数(其中，为虚数单位)，若复数共轭复数的虚部为，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数z，再求得其共轭复数，令其虚部为，解得，代入求解即可. 【详解】由题意得， ∴，又复数的共轭复数的虚部为， ∴，解得. ∴，∴复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选A. 【点睛】本题考查了复数乘法运算，考查了复数的基本概念及复数的几何意义，属于基础题. 2. 有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 平均数 B. 第50百分位数 C. 极差 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出平均数、第50百分位数、极差、众数，即可得到答案 【详解】平均数为； ，则第50百分位数为； 极差为； 众数为 故平均数最大 故选：A. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，再考虑特殊点代入检验，即得. 【详解】依题意得，函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，排除B,D两项， 又，排除C项，所以只有A选项符合. 故选:A． 4. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且, 则青铜器的体积为， 故选：D 5. 已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系和余弦定理即可求出第三边的取值范围. 【详解】由题意，设三角形为， 由三角形的几何性质， ∴， ∵三角形是锐角三角形，， ∴只需要为锐角， ∵，即， ，即， 联立解得：， 故选：C 6. （ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：B 7. 在中，，、分别在、上，，，将沿折起，连接，，当四棱锥体积最大时，二面角的大小为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：在做题的过程中，需要弄明白翻到什么程度四棱锥的体积达到最大值，之后要找出二面角的平面角，然后将角放到三角形中，借着题中所给的条件，对角的三角函数值进行求解即可得结果. 详解：根据题意可知翻折后所得的四棱锥的底面是一个等腰梯形，当其体积达到最大时，可知平面平面，根据题意，取中点，在三角形（翻折前）中，连接，交于，翻折后连结，根据二面角的平面角的定义，可知即为所求，而，所以二面角的大小为，故选C. 点睛：该题属于探索型问题，关键是需要弄明白在满足四棱锥的体积达到最大值时翻折的程度，之后要弄清楚二面角的平面角是哪个，从而放到三角形中，利用解三角形来达到求角的目的，在此过程中，平行线分线段成比例就显得尤为重要. 8. 阆中熊猫乐园承载着许多人的回忆，将乐园的摩天轮图（1）所示抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．则摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度（ ） A. 50米 B. 60米 C. 65米 D. 75米 【答案】C 【解析】 【分析】由图易得振幅，平衡轴，周期，再由题意知函数经过点，代入解得初相，从而可得函数，即可得当分钟时，点距离地面的高度米. 【详解】由题意知：摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米）与转动时间（单位：分钟）之间的关系为． 所以由图可知，，，于是， 由于点是从摩天轮的最低点处开始按逆时针开始转动，则当时，， 代入点得，，又，解得， 又由函数的周期，解得，则， 当（分钟）时，（米）. 故选：C 二、多选题 9. 若m，n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A可由线面垂直的判定定理进行证明；B由线面垂直的性质定理可得结论正确；C可在内找的平行线进行证明；D可举反例当和确定的平面平行于. 【详解】对于A，，则垂直于内的两条相交直线，因为，所以也垂直于这两条直线，故，故A正确； 对于B，由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确； 对于C，，所以存在直线，且，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，例如和确定的平面平行于，则，故D不正确. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查空间的线面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题. 10. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若钝角三角形，则 D. 若，，则面积没有最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可检验；结合正弦定理及三角形大边对大角可检验选项；结合余弦定理可检验选项；结合余弦定理及基本不等式，三角形的面积公式可检验选项． 【详解】，正确； 因为，，，由正弦定理得，， 故，因为，所以，故有两角，正确； 为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角， 则不一定成立，不符合题意； 因为，，由余弦定理得，， 当且仅当时取等号，故， 面积，即最大值为，不正确． 故选：AB． 11. 在正三棱柱中，，，E，F分别是棱BC，AC上的动点（不包括端点），且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点E，使得 B. 直线与异面 C. 三棱锥体积最大值为 D. 二面角的最大值为60° 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理即可判断A；取时，可得，即可判断B；结合余弦定理及三棱锥体积公式运算即可判断C；由二面角的定义确定平面角，即可判断D. 【详解】由正三棱柱，平面，且平面，可得， 又，时，因为，，则，即，而，是平面内的两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得平面， 而平面，则，即存在点E，使得，故A正确； 当时，，故B错误； 如图，在中， 由余弦定理得，，， 当且仅当时，等号成立， 所以，故C正确； 如图，过点F作，垂足为D，则平面， 过点D作，垂足为G，连结FG， 则就是二面角的一个平面角，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，确定相关线段长，即可求得答案. 【详解】还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以， 还原回原图形后， ，， 原图形为平行四边形， 所以原图形的周长为（）． 故答案为： 13. 已知，是球的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合球体和圆的性质，分别求出和，然后利用勾股定理求球的半径，最后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】由题意，取的中点，连接，，，，如下图所示： 由球体性质可知，四边形为矩形， 因为，，， 所以，且为正三角形， 故，， 从而球的半径， 故球的表面积为. 故答案为：. 14. 已知，则_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用两角和差公式，再利用二倍角公式即可求得函数值； 【详解】 故答案为：. 四、解答题 15. （1）已知满足，求实数，的值． （2）已知向量，，求在上的投影向量的坐标． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将带入方程，根据复数相等的条件，即可求得答案. （2）根据题意，求得，进而可得在上的投影，进而可得答案. 【详解】（1）由题意得：， ∴，即， ∴，解得，. （2）， ∴在上的投影为， ∴在上的投影向量的坐标 16. 已知函数． （1）求的单调增区间； （2）当时，求值域． 【答案】（1）单调增区间；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】（1）． ∴， ∵，∴ ∴的单调增区间． （2）∵，∴，∴． ∴， ∴的值域为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，交于点N，为等腰直角三角形，，点M为棱的中点. （1）证明：//平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理作答. （2）取的中点F，利用面面垂直的性质推理，结合余弦定理、直线与其平行平面间距离求解作答. 【小问1详解】 在四棱锥中，菱形的对角线，交于点N，则N是的中点， 而M为棱的中点，于是，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点F，连接，，，如图， 菱形中，由，得是正三角形，有， 由，得，又平面平面，平面平面， 而平面，平面，因此平面，平面， 设，则，，， 在中，由余弦定理得， 则，因为，平面，平面， 于是平面，则点C到平面的距离， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 18. 2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表． 组号 分组 频数 频率 1 5 0.05 2 a 0.35 3 30 b 4 20 0.20 5 10 0.10 合计 100 1 （1）求a，b的值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）； （2）根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）； （3）现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数，方差，第5组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？ 【答案】（1）；；作图见解析 （2）众数的估计值为7.5；中位数的估计值为11.67 （3）平均数为7，方差为1.67 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，以及频数之和为样本容量，即可求解. （2）根据频率分步直方图，可求众数以及中位数. （3）根据平均数和方差的公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴． ∵，∴． 频率直方图如下： 【小问2详解】 该组数据众数的估计值为7.5． 易知中位数应在内，设中位数为x， 则，解得，故中位数的估计值为11.67． 【小问3详解】 ∵第4组和第5组的频数之比为2∶1，∴从第4组抽取4人，第5组抽取2人． ∴这6人得分的平均数， 方差， 即这6人得分的平均数为7，方差为1.67． 19. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【小问1详解】 因为，所以，解得：． 【小问2详解】 由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$