精品解析：山东省泰安市泰山中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

山东省泰山中学2023级高一下学期3考月份月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 【多选题】已知，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若向量与向量夹角为钝角，则的取值范围为 10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则只有一解 11. 已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（ ） A. 的面积最大值为2 B. 的取值范围为 C. D. 取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，______. 13. 已知，，则在方向上投影向量是__________. 14. 如图，在菱形ABCD中，，，若菱形的边长为6，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 在中，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状． 17. 如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为，，，现计划沿直线AC开挖一条穿山隧道DE，经测量AD=150 m，BE=33 m，BC=100 m． （1）求PB的长： （2）求隧道DE的长． （结果精确到1 m，附：，） 18. 已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，. （1）用，表示向量，； （2）若，，求的余弦值. 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若的中线长为，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省泰山中学2023级高一下学期3考月份月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 2. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合平面向量的线性运算法则，化简计算可得出的表达式. 【详解】由，得 ， 故选：C. 3. 平面向量，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律以及定义式，结合向量夹角的计算方法，可得答案. 【详解】向量，则，即， 因此，而，则， 所以与的夹角是. 故选：C. 4. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积为，得到，利用余弦定理得到，最后根据正弦定理求. 【详解】由，得， 因为，，所以. 由余弦定理得，解得， 所以. 故选：C. 5. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 6. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理得到，结合两角和的正弦公式即可得到答案. 【详解】，则， 即， 因为，所以，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7. 为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 所以， ， 在中，， 所以， 即此建筑物的高度是. 故选：A. 8. 在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】因为三角形中，， 所以是边长为2的等边三角形，则 以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图， 则，设，则， 故， 显然当时，取得最小值， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 【多选题】已知，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 最小值为2 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论. 【详解】已知， 若，则，解得，A选项正确； 若，则，解得，B选项正确； ，， 当时，有最小值，C选项错误； 当时，，， 向量与向量的夹角为，D选项错误. 故选：AB 10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则只有一解 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解； 对于B，利用正弦定理的角化边即可求解； 对于C，利用向量的数量积的定义即可求解； 对于D，利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解. 【详解】对于A，因为的三个角满足，所以由正弦定理化简得，设，为最大边，由余弦定理得，所以为钝角，所以是钝角三角形，故A正确； 对于B，由及正弦定理，得,解得，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，所以为锐角，但无法确定和是否为锐角，故C错误； 对于D，由正弦定理得，解得，因为,所以，所以只有一解，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（ ） A. 的面积最大值为2 B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出面积的最大值；B选项，由正弦定理得到，结合平面向量数量积公式得到，根据为锐角三角形得到，从而得到的取值范围；C选项，由正弦定理和正弦和角公式可得；D选项，变形得到，由，求出答案. 【详解】A选项，由余弦定理得，即， 所以，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 此时为锐角三角形，满足要求， 故，解得，故，A错误； B选项，由正弦定理得， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以，， 解得， 则，，，B正确； C选项，， 由正弦定理得，C正确； D选项，， 由C选项可知，所以， 故，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，______. 【答案】 【解析】 【分析】确定，，再计算模长得到答案. 详解】，则，，则. 故答案为：. 13. 已知，，则在方向上的投影向量是__________. 【答案】 【解析】 【分析】在方向上的投影向量为，代入数据即可得到答案. 【详解】由题意知，在方向上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图，在菱形ABCD中，，，若菱形的边长为6，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的运算法则以及向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可. 【详解】依题意， 因为在菱形ABCD中，，， 所以， 所以 ， 因为，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出的值； （2）根据向量垂直的坐标表示得出的值． 【小问1详解】 由得，∴，∴ 【小问2详解】 由已知， 又，∴，解得 16. 在中，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状． 【答案】（1）； （2）直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）由，可得，即有，，即可得结论. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 解：因为，，且， 所以， 所以， 所以或（舍）， 当时，， 所以为直角三角形． 17. 如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为，，，现计划沿直线AC开挖一条穿山隧道DE，经测量AD=150 m，BE=33 m，BC=100 m． （1）求PB的长： （2）求隧道DE的长． （结果精确到1 m，附：，） 【答案】（1） m （2） m 【解析】 【分析】（1）求出角，在中由正弦定理即可得结果； （2）在中求出，从而求解得. 【小问1详解】 由题意，，， 所以，，，， 所以，即， 解得m. 【小问2详解】 因为，，所以，， 又由（1）知， 所以在中，， 即， 所以m. 18. 已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P.记，. （1）用，表示向量，； （2）若，，求的余弦值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算定义进行求解即可； （2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，， 所以， 把代入式，得， 19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若的中线长为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可； （2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：， 而， 所以， 化简得， 因为，则，， 即，所以， 又因为，所以，即. 【小问2详解】 由是的中线，可知， 所以，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积， 即面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$