重难点02 抽象函数定义域和函数值域的求法-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修第一册）

2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 重难点02 抽象函数定义域和函数值域的求法 考点一 抽象函数定义域的求法 考点二 函数值域的五种求法 一、抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 二、函数值域的求法 ①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； ②配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； ③分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域. ④换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 注：求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【题型一 抽象函数定义域的求法】 一、填空题 1．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 2．（23-24高一上·四川资阳·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 3．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 4．（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域是，则函数的定义域是 . 5．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【题型二 函数值域的五种求法】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若，函数的值域为 . 6．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 7．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 三、解答题 8．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 重难点02 抽象函数定义域和函数值域的求法 考点一 抽象函数定义域的求法 考点二 函数值域的五种求法 一、抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 二、函数值域的求法 ①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； ②配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； ③分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域. ④换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 注：求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【题型一 抽象函数定义域的求法】 一、填空题 1．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以函数有意义应满足，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 2．（23-24高一上·四川资阳·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可. 【详解】因为的定义域为，则， 所以的定义域为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域为，求出的范围，再得出函数的定义域，最后求出函数的定义域． 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 即函数的定义域为， 则，解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 4．（23-24高一下·河南·开学考试）函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数和具体函数的形式，求解函数的定义域. 【详解】由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 5．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】因为函数的定义域是，即，所以. 由，得或， 所以的定义域是. 故答案为： 【题型二 函数值域的五种求法】 一、单选题 1．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 故选：B. 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域. 【详解】令得，，故定义域为， . 故选：A 3．（23-24高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数变现为，结合反比例函数的性质计算可得. 【详解】因为，又因为，所以， 所以，所以，所以函数，的值域为． 故选：A． 4．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 二、填空题 5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若，函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 7．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可. 【详解】令，则原函数化为函数 函数图像如下：    由对勾函数性质得在上单调递增， 所以当时，函数取最小值 故答案为：2 三、解答题 8．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$