重难点04 二次函数和分段函数的单调性问题-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 重难点04 二次函数和分段函数的单调性问题 考点一 二次函数单调性 考点二 分段函数单调性 一、基本初等函数的单调性 1．正比例函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 2．一次函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 3．反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间. 4．二次函数 若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 二、二次函数的单调性与最值 1.一元二次函数 时，函数有最小值；离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 时，函数有最大值，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大； 2.一元二次函数在区间[m,n]上的最值。 当 ， 当， 当时， 时， 三、分段函数中的单调性 （1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递增 ②在上单调递增 ③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值） （2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递减 ②在上单调递减 ③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值） （3）由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 【题型一 二次函数单调性】 策略方法 (1)研究二次函数的单调性,首先应明确二次函数图象的开口方向(二次项系数的正负)与二次函数图象的对称轴方程. (2)“函数在某一个区间I上单调”与“函数的单调区间是I”是两个不同的概念.前者是函数相应单调区间的子集,而后者就是函数的单调区间. 一、单选题 1．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、填空题 6．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 7．（2017高三·上海·学业考试）若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为 三、解答题 8．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)记的最小值为，求的解析式； (2)记的最大值为，求的解析式． 9．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数． (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在区间上的最小值． 10．（23-24高一上·北京昌平·期中）二次函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)当时，求函数的最小值的解析式. 【题型二 分段函数单调性】 一、单选题 1．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·山东日照·期中）函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一） 重难点04 二次函数和分段函数的单调性问题 考点一 二次函数单调性 考点二 分段函数单调性 一、基本初等函数的单调性 1．正比例函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 2．一次函数 当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数. 3．反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间. 4．二次函数 若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 二、二次函数的单调性与最值 1.一元二次函数 时，函数有最小值；离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 时，函数有最大值，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大； 2.一元二次函数在区间[m,n]上的最值。 当 ， 当， 当时， 时， 三、分段函数中的单调性 （1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递增 ②在上单调递增 ③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值） （2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递减 ②在上单调递减 ③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值） （3）由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 【题型一 二次函数单调性】 策略方法 (1)研究二次函数的单调性,首先应明确二次函数图象的开口方向(二次项系数的正负)与二次函数图象的对称轴方程. (2)“函数在某一个区间I上单调”与“函数的单调区间是I”是两个不同的概念.前者是函数相应单调区间的子集,而后者就是函数的单调区间. 一、单选题 1．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：C 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性判断. 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 4．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得. 【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：D 5．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可. 【详解】函数的对称轴为， 当函数在区间上单调递增时，有， 因此“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 二、填空题 6．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数的单调减区间是 ，在区间的最大值是 ． 【答案】 4   【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值． 【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线， 对称轴是直线，因此减区间是， 在区间上，时，递增，时，递减，因此， 故答案为：；4. 7．若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为 【答案】 【分析】函数的对称轴为，分两种情况：和讨论函数的最值，从而求得结果. 【详解】的对称轴为 （1）当时，即， ，解得：不符合题意，舍去； （2）当，即， ，符合题意，故； 综上可知，的取值范围为 故答案为： 【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值. 三、解答题 8．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)记的最小值为，求的解析式； (2)记的最大值为，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的图像和性质，分类讨论单调性和最小值，求出，最后写成分段函数的形式即可； （2）结合二次函数的图像和性质，分类讨论函数最大值，求出，最后写成分段函数的形式即可． 【详解】（1）二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线， （）当，即时，此时在区间上单调递增，所以的最小值； （）当，即时，此时在区间上单调递减，所以的最小值； （）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时的最小值； 综上所述，. （2）二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线， （）当，即时，右端点距离对称性较远，此时的最大值； （）当，即时，左端点距离对称轴较远，此时的最大值； 综上所述，. 9．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知函数． (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数的性质得到对称轴的位置，从而列式得解； （2）利用二次函数的性质，分类讨论的范围，从而得解. 【详解】（1）因为函数在上不单调，对称轴， 所以，即，解得， 故实数的取值范围为； （2）因为开口向上，对称轴， 当时，函数在上单调递减， 所以； 当时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以； 故. 10．（23-24高一上·北京昌平·期中）二次函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)当时，求函数的最小值的解析式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题设条件中、，结合待定系数法，运算即可得解. （2）利用二次函数的图象与性质分析运算即可得解. （3）利用二次函数的图象与性质，分类讨论，运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，∵，∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，解得：，则，. （2）解：由题意，关于的方程在上有解， 即在上有解，则， ∵，∴，则， 解得：，即实数的取值范围为. （3）解：    如上图，函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线， 当时，函数在上单调递增，则； 当即时，函数在上单调递减，则； 当即时，； 综上，. 【题型二 分段函数单调性】 一、单选题 1．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的单调性可得答案. 【详解】因为是R上的增函数， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解. 【详解】因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，当即时，在上单调递减， 函数是定义域上的减函数，则，解得. 故选：A. 3．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，对，且都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：B 4．（22-23高一上·山东日照·期中）函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值的性质把函数的解析式化为分段函数的形式，结合二次函数的单调性求出函数的单调性，再根据题意进行求解即可. 【详解】函数， 故当时，函数的图像开口向上 关于对称，所以函数在上递增； 故当时，函数的图像开口向下且关于对称， 所以函数在递增；在上递减； 所以若函数在上递减，则有，得． 故选：D． 5．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $$