精品解析：上海市宝山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期期末考试八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共25题；试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列方程为无理方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理方程的定义，能熟记无理方程的定义是解此题的关键，注意：根号内含有未知数的方程叫无理方程． 根据无理方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； B．根号内含有未知数，方程属于无理方程，故本选项符合题意； C．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； D．根号内不含有未知数，方程属于有理方程，不属于无理方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知，那么的值是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是求函数值，将代入解析式是解题的关键． 将代入，然后依据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（ ） A. 64 B. 32 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 根据菱形的性质可得是等边三角形，求得，再利用勾股定理即可求出菱形的高，进而即可求解． 【详解】解：连接，过点A作交于点E，如图， ∵菱形的边长是8，一个内角是， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴菱形的面积是． 故选：D． 4. 下列事件中，属于确定事件的是（ ） A. 直线与直线有公共点 B. 当a取某个实数值时，关于x的方程有实数根 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上 D. 有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了确定事件、不可能事件以及随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据事件发生可能性的大小判断即可． 【详解】解：A．因为两直线k值相同，所以直线与直线没有公共点，属于不可能事件，故本选项符合题意； B．当a取非负数时，关于x的方程有实数根，属于随机事件，故本选项不符合题意； C．抛掷一枚质地均匀的硬币，结果硬币的正面朝上，此为随机事件，故本选项不符合题意； D．有两条边及其中一边的对角对应相等且为直角时，这两个三角形全等，此为不确定事件，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵该函数的图象经过点． ， 故， 故D正确，不符合题意； ∵该函数的图象不经过第三象限，经过点． ， 故， 故A、B正确，不符合题意； ， ， ， ， 故C错误，符合题意， 故选：C． 6. 如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点E修一条笔直的小路（点F在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 如图，过点C作交的延长线于点H，得出四边形是矩形，，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，从而得出，即可判断①错误；如图，根据题意得平分梯形的面积，得出 ，再结合点E是中点，得出，故点E作交于点G，则四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理算出，即可判断②错误； 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点H， 则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①错误； 如图，根据题意得平分梯形的面积， ∴ ， ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， 故点E作交于点G， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，，故②正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 一次函数图像在y轴上的截距是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数（）的图象与y轴相交于，b即为此函数在y轴上的截距． 先根据一次函数的解析式判断出b的值，再根据一次函数的性质进行解答． 【详解】解：∵一次函数中， ∴此函数图象在y轴上的截距是． 故答案为：． 8. 方程x3＝9解是 ___． 【答案】x=3 【解析】 【分析】将方程两边同时乘以3，再利用立方根的意义即可求解． 【详解】解：方程两边都乘以3，得： x3=27． 两边开立方，得： x=3． 故答案为：x=3． 【点睛】本题主要考查了立方根概念的应用．方程两边都乘以3，去掉分母，这是解题的关键． 9. 方程的根是__________________． 【答案】x=2 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可． 【详解】∵x+1≥0，x-2≥0， ∴x≥2． ∵， ∴x+1=0或x-2=0， ∴x1=-1（舍去），x2=2． 故答案为：x=2． 【点睛】本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点． 10. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法—换元法，换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原． 根据换元法的步骤进行化简即可． 【详解】解：设， 则原方程可化为： 整理，得 故答案为：． 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了向量的线性运算，根据向量的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 13. 如果直线平移后经过点，那么平移后的直线表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握直线平移时k的值不变是解题的关键． 根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可求解． 【详解】解：设平移后的直线表达式是， ∵直线平移后经过点， ∴， 解得， ∴平移后的直线表达式是， 故答案为：． 14. 先后两次掷一枚材质均匀的骰子，第一次掷得的点数记为a，第二次掷得的点数记为b，那么点落在直线上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点恰好在直线上的情况，再利用概率公式求得答案． 【详解】解：列表得： 第一次 第二次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∵共有36种等可能的结果，点恰好在直线上的有：，，， ∴点恰好在直线上的概率是：． 故答案为：． 15. 若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是______边形． 【答案】十## 【解析】 【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和．根据任意凸多边形的外角和都为，内角和都为（其中n为边数），再结合题意列出等式，求出n即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，则依题意得： ， 解得， 故这个多边形是十边形． 故答案为：十． 16. 如图，已知菱形的边长是4，，E、F是边的中点，G、H是线段的中点，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形，则，由点E是的中点得到，由勾股定理得到，证明是的中位线，即可得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵G、H是线段的中点， ∴是的中线， ∴， 故答案为： 17. 在平面直角坐标系中，如果两个点的横坐标、纵坐标都是整数，且这两个点的横坐标与纵坐标的积相等，我们就称这两个点互为等积点．如：点与点互为等积点．那么以点和它的所有等积点为顶点的凸多边形的面积是______． 【答案】16 【解析】 【分析】该题是新定义问题，主要考查了坐标与图形，根据题意得出点的等积点是解题的关键． 先根据等积点的定义得出点的等积点，再画图求解即可 【详解】解：根据互为等积点的定义得出点的等积点为， 故以为顶点的四边形的面积 ． 故答案为：16． 18. 已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分为两种情况分别画图计算．①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则，根据四边形是矩形，得出，根据折叠的性质得，，证明，得出，设，根据等面积法得出，从而得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则，根据四边形是矩形，得出，证出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得，，，在中，根据勾股定理算出，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】解：①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则， ∵四边形是矩形， ， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， 在中，， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 综上，或； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定、三角形面积等知识点，熟练掌握折叠的性质，正确作出图形并分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，其中第19至22题每题10分，第23至24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验． 按照解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： 解得， 经检验，是原分式方程的解． 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键． 由得或，从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可． 【详解】解：， 将变形可得， 即或， 故方程组可变形得或， 解得或， 故原方程组解为或． 21. 如图，中，D、E、F分别是、、三边的中点，连接、，交于点G，设，． （1）试用向量表示______； （2）在图中求作：、．（不要写出过程，只需写出结论即可） 【答案】（1） （2），，画图见解析 【解析】 【分析】此题考查了向量的线性运算，三角形中位线的性质， （1）首先根据中点的性质得到，，然后表示出，得到，然后利用向量的三角形法则求解即可； （2）由题意得到；根据中位线和中点的性质得到，进而得到，然后画图即可． 【小问1详解】 ∵E、F分别是、边的中点，， ∴， ∴ ∵D是的中点， ∴ ∴； 【小问2详解】 如图所示， ； ∵E、F分别是、边的中点， ∴， ∵D是的中点， ∴ ∴ ∴． 22. 暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： （1）每次健身的平常价格是______元； （2）设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x的函数关系式是______． （3）学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 【答案】（1）50 （2） （3）活动一，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）设平常价格为m元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）分别计算出三种活动所需费用，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：设平常价格为m元， 根据题意得 解得 故答案为：50． 【小问2详解】 根据题意得， 故答案为：． 【小问3详解】 活动一：800元 活动二：（元） 活动三：（元） ∵ ∴活动一所需费用最少． 23. 如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． （1）如果，求证：四边形是矩形； （2）如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角形的中位线，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键． （1）先证出，再根据，得到，即可证明； （2）连接，得到是的中位线，从而证得，得出，即可证明． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵E是边的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 连接，如图， ∵E是边的中点，F是边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． （1）求m的值； （2）将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； （3）设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 【答案】（1）0 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据坐标平移规律“左减右加”以及坐标轴上点坐标特征即可求解； （2）根据旋转的性质求得，再利用待定系数法即可求解； （3）先求得，根据平行四边形的性质进行分类讨论，利用平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵将点B向左平移2个单位后落在y轴上 ∴ 解得 【小问2详解】 由（1）可得， ∴ ∴ 如图，根据旋转可得， ∴ 设直线的表达式为（） ∵直线经过点， ∴ 解得 ∴直线的表达式为． 【小问3详解】 由（2）知直线的表达式为， ∴ 连接，如图， ①由平移得直线， 此时即所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ②由平移得直线， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ③由平移得直线轴， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点，旋转的性质，平移的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质与判定，坐标平移规律以及坐标轴上点坐标特征等，根据平移求对应点坐标是解题的关键． 25. 如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． （1）如果，，求的长； （2）如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作交于点M，可证四边形是矩形，根据，平分，得到，然后利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求出，然后表示出、长即可求解； （3）延长交于点N，即可证明四边形是平行四边形，则，再证明，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作交于点M，如图， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵，平分， ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴． 【小问2详解】 由（1）可知， ∵ ∴ ∴ 由勾股定理可得， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得 ∴． 【小问3详解】 延长交于点N，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∵，平分， ∴ ∴ ∴ ∵F是的中点， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ 由勾股定理得，， 即， 解得 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期期末考试八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共25题；试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列方程为无理方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么的值是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 3. 已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（ ） A. 64 B. 32 C. D. 4. 下列事件中，属于确定事件的是（ ） A. 直线与直线有公共点 B. 当a取某个实数值时，关于x的方程有实数根 C. 抛掷一枚质地均匀硬币，结果硬币的正面朝上 D. 有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 5. 下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（ ） A. B. C D. 6. 如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点E修一条笔直的小路（点F在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都错误 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 一次函数的图像在y轴上的截距是______． 8. 方程x3＝9的解是 ___． 9. 方程的根是__________________． 10. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是______． 11. 化简：______． 12. 随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 13. 如果直线平移后经过点，那么平移后的直线表达式是______． 14. 先后两次掷一枚材质均匀的骰子，第一次掷得的点数记为a，第二次掷得的点数记为b，那么点落在直线上的概率是______． 15. 若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是______边形． 16. 如图，已知菱形的边长是4，，E、F是边的中点，G、H是线段的中点，那么______． 17. 在平面直角坐标系中，如果两个点的横坐标、纵坐标都是整数，且这两个点的横坐标与纵坐标的积相等，我们就称这两个点互为等积点．如：点与点互为等积点．那么以点和它的所有等积点为顶点的凸多边形的面积是______． 18. 已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 三、解答题（本大题共7题，其中第19至22题每题10分，第23至24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 解方程：． 20. 解方程组：． 21. 如图，中，D、E、F分别是、、三边的中点，连接、，交于点G，设，． （1）试用向量表示______； （2）在图中求作：、．（不要写出过程，只需写出结论即可） 22. 暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： （1）每次健身平常价格是______元； （2）设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x函数关系式是______． （3）学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 23. 如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． （1）如果，求证：四边形是矩形； （2）如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． （1）求m的值； （2）将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； （3）设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 25. 如图，梯形，，，，，的平分线交边于点E． （1）如果，，求长； （2）如果，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）设F是的中点，连接，如果，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$