第一讲-勾股定理及其应用2023-2024学年人教版数学八年级下册

第一讲 勾股定理及其应用 姓名： 知识回顾 1.数学家毕达哥拉斯的发现： A B C （1） A、B、C的面积有什么关系？ （2）直角三角形三边有什么关系？ 2.我们通过这个图形就证明了以上命题中直角三角形三边的关系成立。我们知道经过证明被确认为正确的命题叫做定理。因此，这就是我们今天要学习的内容:勾股定理。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为_______。即如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，那么_______。 知识点一：勾股定理及其证明 1.勾股定理 文字语言 符号语言 变式 图示 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么 ; ; 注意：①在直角三角形中；②同一个直角三角形的三条边；③区分直角边和斜边； 例1-1：（难度）在△ABC中，角A，B，C所对的边的边长分别为a,b,c,∠C=90°. (1)若a=6,b=8,则c=_______; (2)若a=5,c=13,则b=_______; (3)若c=34,a:b=8:15,则a=_______;b=_______. 练习1-1：（难度）以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（　　） A．4，6，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12 练习1-2：（难度）一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为 . 2.勾股定理的证明 例1-1（）：：请利用如图验证勾股定理． 知识点二：勾股定理的逆定理 1.勾股定理逆定理 在一个三角形中，若满足两边平方和等于第三边平方，那么这个三角形就是以第三边为斜边的直角三角形。 用数学语言表达：△ABC中，若满足 ，则三角形为以 为斜边的直角三角形。 注意：通常在我们运用定理时，用a、b表示 ，用c表示 ；但若题目设定了a、b、c三边，且未明确三边关系，则考虑是否需要分类讨论。 2.常用勾股数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 常见的勾股数： 3、 4、 5、 13 7、 25 8、 15、 17 9、 40、 41 10、 24、 26 3.需熟记的两种比例关系： 1、 1、 （等腰直角三角形） 1、 、 2（三内角分别为30°、60°、90°） 例2：（难度）判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： ⑴△ABC中，AB=6,BC=8,AC=10; ⑵一个三角形三边长之比为5:12:13； 练习2-1：（难度）：一块地如图所示，已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。 常见考试题型 考点1：勾股定理直接应用 例3：（难度）：如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∠BDE为90°，且B、C、E三点在同一直线上，连接BD，求BD长为 。 练3-1：（难度）如图，△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，已知∠ADE=90°，AE=5，AD=4，连接EB，求DE和EB的长． 考点2：构造直角三角形 例4：（难度）：在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积。 练4-1：（难度）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2，求CD的长和四边形ABCD的面积。 考点3：分类讨论问题 例5：（难度）已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是________________。 练5-1：（难度）已知△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为________________。 考点4：解决有关几何图形面积问题 例6：（难度）如图，已知直角三角形的三边为边长，向外作三个正方形，其面积分别用S1,S2,S3来表示，可得出S1,S2,S3之间的关系为______________。 练6-1：（难度）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，正方形A、B、C的面积分别是8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形D的面积是_______cm2 练6-2：（难度）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC,BC为边向两侧作正方形.若AB=6，BD=2，则图中△BCD的面积为_________。 考点5：解决几何体表面最短距离问题 关键点：（1）正确展开立体图形 （2）两点之间线段最短 （3）正确找出直角三角形 例7：（难度）：如图，圆柱的底面周长为12cm，高为8cm，蚂蚁在圆柱表面爬行.从点A爬到点B的最短路程是多少? 练7-1：（难度）如图，长方体的店面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm。 考点6：图形翻折问题 翻折特点：翻折前后的等量关系，即翻折前后边、角都相等 例8：（难度）如图，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长。 练8-1：（难度）如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长． 练8-2：（难度）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=9，M是BC上的点，且CM=3，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C’处，折痕为MN，则线段AN的长为多少？ 课后作业 姓名： - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $$