精品解析：上海市黄浦区2023～2024学年高一下学期期末考试数学试卷

黄浦区2023学年第二学期高一年级期终调研测试 数学试卷 2024.06 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果． 1. 若扇形的圆心角为，半径为4，则其弧长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】代入弧长公式，即可求解. 【详解】扇形弧长. 故答案为： 2. 已知向量，设，向量，若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示列方程即可求得. 【详解】由，且可得， 解得 故答案为：1 3. 若，则___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用诱导公式即可得到答案. 【详解】， 则， 故答案为：. 4. 在梯形中，，设，若用的线性组合表示，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案. 【详解】， 则， 则， 故答案为：. 5. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将条件等式两边平方，再根据二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】由，两边平方后得， 即，则. 故答案为： 6. 若向量，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标表示即可计算得出结果. 【详解】由可得，且； 所以，又， 可得. 故答案为： 7. 设，若函数的.定义域为，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【详解】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 8. 某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为___________．（结果精确到） 【答案】14.6 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，，，则， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以， 故答案为：14.6. 9. 若，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式，再进行弦化切即可得到答案. 【详解】. 故答案为：3. 10. 已知点，将绕原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数知识即可得到结果. 【详解】设，则 ，， 将绕原点逆时针旋转至，则的倾斜角为， 则， ∴点的纵坐标为， 故答案为 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 11. i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值. 【详解】设，则，整理为， 所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面， ，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图， 的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以. 故答案为： 12. 已知平面非零向量的模均为，若，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，，，，根据向量数量积的坐标表示得到方程则有，再分和讨论即可. 【详解】设，，，，其中， 因为，则；因为，则， 则，又因为， 当时，， 即，即， 因为，则或0，则， 显然当时，，无实数解； 当时，，则或（舍去）， 当时，， 即，即， 因为，则或，则， 显然当时，，无实数解； 当时，，则或（舍去）， 综上所述： 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将向量坐标化，再利用向量数量积的坐标表示得到相关方程，最后分和两种讨论即可. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 则， 即，得，. 故选：A 14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（ ）． A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设，根据偶函数的性质，即可求解函数的解析式. 【详解】设，，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 故选：B 15. 若对任意实数x都有，则角的终边在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式先化简，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可. 详解】， ， 因为，所以角的终边在第四象限. 故选：D. 16. 设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求． 【答案】 【解析】 【详解】解：（4分） 设，则， （12分） ∵，∴（12分） 18. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系可求得，再由二倍角公式计算可得结果； （2）由（1）求得，再利用两角和的正切公式即可计算出. 【小问1详解】 由，且， 可得； 由二倍角公式可得； ； 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 19. （1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 【答案】（1）；（2）机器狗在点处时，离小明最近. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标表示得到方程组，求出点P的坐标； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近，由平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意得， 故，解得； 故点P的坐标为； （2）当机器狗运动到点，⊥时，离小明最近， 设，则， 所以,若⊥， 则，解得， 故当机器狗时，离小明最近. 20. 在中，已知边上的中线长为． （1）求证：； （2）若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 【答案】（1）证明见解析 （2），为钝角 【解析】 【分析】（1）根据两次余弦定理并结合角互补即可即可证明； （2）同（1）得到，，再利用合理变形即可得到m、n、t之间关系式，再通过作差法即可得到的大小关系，则得到为钝角. 【小问1详解】 因为， 则， 则在和利用余弦定理得， 化简得. 【小问2详解】 由（1）知①， 同理可得②，③， ①②③得④， 则m、n、t满足④式， ④①得， 同理可得，， 因为，则 则，则， ，则， 则，则，根据大边对大角，则为钝角. 21. 设． （1）当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． （2）①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）①见解析；②的最小值为3，此时. 【解析】 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【小问1详解】 设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. 【小问2详解】 ①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考察函数零点问题，关键是讨论和两种情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄浦区2023学年第二学期高一年级期终调研测试 数学试卷 2024.06 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果． 1. 若扇形圆心角为，半径为4，则其弧长为___________． 2. 已知向量，设，向量，若，则___________． 3. 若，则___________． 4. 在梯形中，，设，若用线性组合表示，则___________． 5. 若，则___________． 6. 若向量，则___________． 7. 设，若函数的.定义域为，则的值为___________． 8. 某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为___________．（结果精确到） 9 若，则___________． 10. 已知点，将绕原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为______ 11. i为虚数单位，若复数和复数满足，则最大值为___________． 12. 已知平面非零向量的模均为，若，则___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（ ）． A. B. C. D. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为（ ）． A B. C. D. 15. 若对任意实数x都有，则角的终边在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 16. 设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求． 18. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 19. （1）已知P是直线上一点，（ 为实数，且），点的坐标分别为，求点P的坐标． （2）已知平面上三点A、B、C的坐标分别是，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着所在直线来回跑动．当机器狗在什么位置时，离小明最近？ 20. 在中，已知边上的中线长为． （1）求证：； （2）若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 21. 设． （1）当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． （2）①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$