精品解析：河南省驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

河南省驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 命题人：庞文朝 审题人：李冬梅 一、单项选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知等比数列的公比为，则（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列性质运算求解. 【详解】由题意可知， 所以. 故选：D. 2. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得都是二等品的概率为，求解计算即可. 【详解】全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为. 故选：D. 3. 已知数列满足，且，若，则m的值可能为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】写出数列的前几项，得出周期，结合选项可得答案. 【详解】数列的递推公式为，由， 则有，，，， ，则是以4为周期的周期数列， ，有，，故m的值可能为2024， 故选：D． 4. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则期望 C. 已知随机变量的分布列为，则 D. 从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质判断A，根据二项分布的期望公式判断B，根据分布列的性质求出，即可判断C，根据古典概型的概率公式判断D. 【详解】对于A：随机变量且， 则，故A正确； 对于B：随机变量，则期望，故B正确； 对于C：因为，所以，，， 所以，解得，所以，故C错误； 对于D：从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率，故D正确； 故选：C 5. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A. 64 B. 96 C. 128 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为， 因为，，可得， 可得， 又由长与宽之比都相等，且，可得，所以. 故选：C. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用累乘法计算出答案. 【详解】 故选：B 7. 已知等差数列和的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列下标和进行转化，构造出前项和的形式求解即可. 【详解】易知. 故选：A 8. 下列说法错误的是（ ） A. 对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 B. 若随机变量服从两点分布，且，则 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5 D. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点； 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，可判断正确； 对于B，由两点分布的期望与方差公式，和，可判断； 对于C，由对数的运算性质可求c，k的值； 对于D，由回归直线相关知识可判断. 【详解】A：，，，因此A正确． B：由题可知： ，，．因此B正确． C：对两边同时取对数，得到， 设，则，即，，因此C正确． D： 回归直线方程恒过样本中心点，但不一定过样本点．因此D错误． 故选：D 二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对部分得分，不选或者有错选的得0分） 9. 若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接代入递推公式求得，可知A正确；根据递推式求，构造数列为常数列，求得数列的通项，得，B正确；代入等差数列求和公式可得，C错误；先放缩，再利用裂项相消求和可证明D正确. 【详解】，故A正确； 由知，， 两式相减得， 故，故当时，为常数列， 故，故，故，故B正确； ，故C错误； ， 故，故D正确. 故选：ABD. 10. 设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若（A，B为常数），则是等差数列 C. 若，则是等比数列 D. 若是等比数列，则也成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC：根据与之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D：根据等比数列的和项性质分析判断. 【详解】对于选项A: 因为，即，可知数列是等差数列， 当时，数列不是等比数列，故A错误； 对于选项B：因为， 当时，； 当时，； 可知时，符合上式， 综上所述：， 可得，所以数列是等差数列，故B正确； 对于选项C: 因为， 当时，； 当时，； 可知时，符合上式， 综上所述：， 可得，所以数列是等比数列，故C正确； 对于选项D: 当数列是等比数列时，取，则， 此时显然，，不是等比数列，故D错误； 故选：BC. 11. 对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ） A. 若数列是递减数列，则为常数列 B. 若数列是递增数列，则有 C. 若，且满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8 D. 若，记为的前n项和，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由“M值数列”的定义，对选项中的结论进行判断. 【详解】若数列是递减数列，则是，，…，中最大值（）（）， 所以， 为常数列，A选项正确； 若数列是递增数列，则是，，…，中最大值（）（）， 所以，即，B选项正确； 满足为2，3，3，5，5，则，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5， 所有数列的个数为，C选项错误； 若，则数列中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数， 则有， 所以，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量满足，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式及方差性质计算即得. 【详解】由，得，由，得， 所以. 故答案为：8 13. 已知数列，则数列的通项公式________． 【答案】 【解析】 【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解． 【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列， 得，即， 故答案为： 14. 设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 【答案】91 【解析】 【分析】方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解. 【详解】方法一：等比数列中，，，成等比数列， 则，，成等比数列，∴，∴， ∴. 方法二：设公比为，由题意显然且,所以， ∴， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 记递增的等差数列的前项和为，已知，且. （1）求和； （2）设.求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． 【小问2详解】 ， 所以 ． 16. 鞍山市普通高中某次高三质量监测考试后，将化学成绩按赋分规则转换为等级分数（赋分后学生的分数全部介于30至100之间）．某校为做好本次考试的评价工作，从本校学生中随机抽取了50名学生的化学等级分数，经统计，将分数按照，，，，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生分数的中位数； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从分数在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）；68. （2）的分布列为： 0 1 2 3 ；【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率和为1可求的值. （2）先按抽样比算出各层样本数，因为服从超几何分布，写出分布列，算出期望即可. 【小问1详解】 由. 又∵，. 所以，估计这50名学生分数的中位数为：. 【小问2详解】 因为， ，三组的频率之比为 所以从，，三组中抽取的人数分别为7，3，1. 由题意可取0，1，2，3 且；；；. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 某高三理科班共有60名学生参加某次考试，从中随机挑选出5名学生，他们的数学成绩与物理成绩的统计数据如下表所示： 数学成绩/分 145 130 120 105 100 物理成绩/分 110 90 102 78 70 数据表明与之间有较强的线性相关关系. （1）求关于的经验回归方程. （2）该班一名学生的数学成绩为110分，利用（1）中的经验回归方程，估计该学生的物理成绩. （3）本次考试中，规定数学成绩达到125分以上（包括125分）为优秀，物理成绩达到100分以上（包括100分）为优秀.若该班数学成绩优秀率与物理成绩优秀率分别为50%和60%，且除去挑选的5名学生外，剩下的学生中数学成绩优秀但物理成绩不优秀的共有5人.填写列联表，并依据的独立性检验分析能否认为数学成绩与物理成绩有关？ 单位：人 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 不优秀 合计 参考公式：，. 附：，，. 【答案】（1）； （2）该学生的物理成绩约为82； （3）列联表为： 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 24 6 30 不优秀 12 18 30 合计 36 24 60 可以认为数学成绩与物理成绩有关. 【解析】 【分析】（1）根据题设数据，结合，的公式计算，即得解； （2）代入（1）中的回归方程计算即可； （3）根据题设数据完成列联表，计算值，与临界值比较即可. 【详解】（1）由题意，可知，， 故， ， 故经验回归方程为. （2）当时，， 故该学生的物理成绩约为82. （3）由题意，可知该班数学成绩优秀的学生人数为30，物理成绩优秀的学生人数为36. 挑选的5名学生中，数学成绩优秀但物理成绩不优秀的有1人，故全班数学成绩优秀但物理成绩不优秀的共6人，于是可以得到下面列联表： 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 24 6 30 不优秀 12 18 30 合计 36 24 60 零假设为：数学成绩与物理成绩无关.根据列联表中的数据，经计算得到 ， 因此依据的独立性检验，可以推断不成立，因此可以认为数学成绩与物理成绩有关. 18. 设Sn为正项数列{an}的前n项和，且（n∈N*）．数列{bn}满足：b1＝2，（n∈N*）． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．； （3）设，问是否存在整数t（t≠0），使数列{dn}为递增数列？若存在求t的值，若不存在说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）存在，． 【解析】 【分析】 （1）当n＝1时， a1＝1，当n≥2时，由，得，两式作差，解出an；由得，利用等比数列的通项公式求出； （2）利用错位相减法求和即可； （3）数列{dn}为递增数列，即dn+1＞dn对任意n∈N*恒成立，分为奇数和为偶数求出得范围，进而得出值． 【详解】（1）当n＝1时，解得a1＝1， 当n≥2时，由，得， 相减得，由正项数列{an}，解得an﹣an﹣1＝1，故an＝n． 由得，又b1+1＝3， 故，所以． （2）由（1）得． 所以 相减得 从而 （3），若存在t≠0，满足{dn}为递增数列， 即dn+1＞dn对任意n∈N*恒成立， 由3n+1+（﹣1）n+2•t•2n+1＞3n+（﹣1）n+1•t•2n 得 当n为奇数时，由得t＜1， 当n为偶数时，由得， ， 故 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列求和，考查数列单调性的应用，考查递推关系式，属于中档题． 19. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【答案】（I），； （II）（i）由题意，， 所以， 所以，且， 所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式； （II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛： 最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店经济开发区高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 命题人：庞文朝 审题人：李冬梅 一、单项选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知等比数列的公比为，则（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 2. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）. A. B. C. D. 3. 已知数列满足，且，若，则m的值可能为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 4. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则期望 C. 已知随机变量的分布列为，则 D. 从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为 5. 《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A. 64 B. 96 C. 128 D. 160 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列和的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法错误的是（ ） A. 对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 B. 若随机变量服从两点分布，且，则 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5 D. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点； 二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对部分得分，不选或者有错选的得0分） 9. 若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则既是等差数列又是等比数列 B. 若（A，B为常数），则是等差数列 C. 若，则是等比数列 D. 若是等比数列，则也成等比数列 11. 对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ） A. 若数列是递减数列，则为常数列 B. 若数列是递增数列，则有 C. 若，且满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8 D. 若，记为的前n项和，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量满足，若，则__________. 13. 已知数列，则数列的通项公式________． 14. 设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 记递增的等差数列的前项和为，已知，且. （1）求和； （2）设.求数列的前项和. 16. 鞍山市普通高中某次高三质量监测考试后，将化学成绩按赋分规则转换为等级分数（赋分后学生的分数全部介于30至100之间）．某校为做好本次考试的评价工作，从本校学生中随机抽取了50名学生的化学等级分数，经统计，将分数按照，，，，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生分数的中位数； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从分数在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望． 17. 某高三理科班共有60名学生参加某次考试，从中随机挑选出5名学生，他们的数学成绩与物理成绩的统计数据如下表所示： 数学成绩/分 145 130 120 105 100 物理成绩/分 110 90 102 78 70 数据表明与之间有较强的线性相关关系. （1）求关于的经验回归方程. （2）该班一名学生的数学成绩为110分，利用（1）中的经验回归方程，估计该学生的物理成绩. （3）本次考试中，规定数学成绩达到125分以上（包括125分）为优秀，物理成绩达到100分以上（包括100分）为优秀.若该班数学成绩优秀率与物理成绩优秀率分别为50%和60%，且除去挑选的5名学生外，剩下的学生中数学成绩优秀但物理成绩不优秀的共有5人.填写列联表，并依据的独立性检验分析能否认为数学成绩与物理成绩有关？ 单位：人 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 不优秀 合计 参考公式：，. 附：，，. 18. 设Sn为正项数列{an}的前n项和，且（n∈N*）．数列{bn}满足：b1＝2，（n∈N*）． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．； （3）设，问是否存在整数t（t≠0），使数列{dn}为递增数列？若存在求t的值，若不存在说明理由． 19. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $