上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

华东师大二附中2023-2024学年第二学期期末质量检测 高二数学 （满分150分，时间120分钟） 命题人：刘初喜 审题人：阮超峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果。 1．函数的定义域为__________． 2．已知复数，则_________． 3．在的展开式中，常数项为__________． 4．已知平面直角坐标系中，，则三角形面积为__________． 5．已知随机变量X服从二项分布，若，则__________． 6．已知向量，且，则__________． 7．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中．若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则__________． 8．已知为锐角，，则__________． 9．已知，那么_________． 10．设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为__________． 11．如图，已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为__________． 12．在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是__________． 二、选释题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果。 13．下列函数中，既是定义域内严格增函数，又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 14．数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（ ） A． B． C． D． 15．设．己知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（ ）． A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 16．对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”；②； ③对任意，都有． 则称为集合A上的距离，记为．对于命题P、命题Q，下列说法正确的是（ ） 命题P：为 命题2：为 A．命题P是真命题，命题Q是假命题 B．命题P是假命题，命题Q是真命题 C．命题P和命题Q都是真命题 D．命题P和命题Q都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，）考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果。 17．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 已知函数 （1）求函数的单调递增区间： （2）若在区间上的最大值为1，求m的最小值． 18．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． （1）从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 如图所示，在底半径为R（）、高为1的圆锥内部内接一个底半径为r、高为h的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决．甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式，乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式． 竖放 横放 （1）设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径r为自变量分别表示、； （2）试分别求、的最大值、，并比较、的大小． 20．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（2）题8分） 满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． （1）若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； （2）求证：集合的包络曲线E为：； （3）在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 21．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（2）题8分） 函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． （1）求证：为奇函数； （2）当a变化时，求函数不动点个数； （3）若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$华东师大二附中2023-2024学年第二学期期末质量检测 高二数学 (满分150分,时间120分钟) 命题人:刘初喜 审题人:远超峰 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在 答题纸的相应编号位置直接填写结果. _xx+6 1.函数y-) 3.在()# 的展开式中,常数项为 .【答案】20 4.已知平面直角坐标系XOY中,A(1.3),B(2.-4),则三角形AOB面积为 .【答案】5 6.已知向量ā-(-1.2).,-(xv,2).且 cos(2.7>-3},则x- .【答案】1 7.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,其中m.nEN.若这两组数据的中位数相等,平均数也相等,则 .将 _ tan(a+B). 8.已知g,B为锐角,sin(2x+B)=4sin/B,则 tang 9.已知P(A)=0.6.P(BlA)=0.5.PBA)=0.2.那么P(B)= .【答案】0.38 角为B-{,那么么2与,所成角的取值范围为__ .【答案】 _ 曲线的两条渐近线与圆的四个交点以及圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点,则圆的离 心率与双曲线的离心率之和为.【答案】3+ 12. 在数列(a.)中,若存在两个连续的三项a,,与a,a,a相同(ij),则称(a.是“3阶 可重复数列”.已知给定项数为m(meN,m>4)的数列(a.).其中a=(0.1)(i=1.2....,m)一定是 “3阶可重复数列”,则m的最小值是__. 【答案】11 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分)考生应 在答题纸的相应编号位置直接填写结果. 13.下列函数中,既是定义域内严格增函数,又是奇函数的是( ).【答案】D C. f(x)=x-cosx A. f(x)-tanx D.f(x)-x(ex+e-*) 14.数字串2024.依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到 右写成一个新数字串;重复以上工作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字黑洞”,如 果把这个数字设为An别sin{^)一(# ).【答案】D B- D. 15. 设f(x)=ax2+bx+c.(a.b.cER.a:0).已知关于x的方程f(x)=0有纯虚数根,则关于x的方 程/(/(x)=0( ).【答案】D A.只有纯虚数根 B. 只有实数根 C. 有两个实数根,两个纯虚数根 D. 既没有实数根,也没有纯虚数根 16.对于集合A中的任意两个元素x,y,若实数d(x,y)同时满足以下三个条件 ①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”:②d(x.y)=d(y,x): 2 ③对任意zeA,都有d(x,y)<d(x,=)+d(y,=) 则称d(x,y)为集合A上的距离,记为d.对于命题P、命题O,下列说法正确的是( ).【答 案】A 命题P:a(x,y)-x-y为d 命题O:d(x,y)=sinx-sinyl为d. A. 命题P是真命题,命题O是假命题 B. 命题P是假命题,命题O是真命题 C. 命题P和命题O都是真命题 D. 命题P和命题O都是假命题 三、解答题(本大题共有5题,满分78分,)考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果 17.(本题满分14分,第(1)题6分,第(2)题8分) (1)求函数/f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)在区间[0.m]上的最大值为1,求m的最小值 1+cos2x.3 【答案】(1)/(x)-1 因为y-sinx的单调填区回为[2k-2kx+](e2). V$x+2k-,2k+(kce 乙】),得x n-#+(k z) 所以(2)的单述区间问为[--(^]{(e2). (1)因为xt0o),所以2x+{t02m^. 6 6 18.(本题满分14分,第(1)题6分,第(2)题8分) 6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度,计划有1 3 取冰墩墩挂件,则记1分,若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件,则记2分,假设每位顾客能 富取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立,视频率为概率 (1)从顾客中随机抽取3人,记这3人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望 【答案】(1)X的取值为3,4,5,6 所以P(¥-3)-)#-7#P(-4)_##1)#-# #($-5)-3#()#-# P(-)一)#-# 所以X的分布列为 (2)因为这n人的合计得分恰为n土1分,则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂 件, 以P-##)- 2n 3“. 2 2n 2n+3 _ 3-11 3_, 所以.-+B+R.P-31-13). 所以_P-31-2). &4 19.(本题满分14分,第(1)题6分,第(2)题8分) 如图所示,在底半径为R(R>1)、高为1的圆锥内部内接一个底半径为?、高为h的圆柱,甲、乙 两位同学采用两种不同的方法来解决,甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式,乙采用圆柱 母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式. 竖放 横放 (1)设V、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积,用内接圆柱的底半径r为自变量分别表 示V: (2)试分别求V、的最大值(V)、(V),并比较(V)、(V)的大小 【答案】(1)如图是圆锥的轴截面截圆杜得一内接矩形,则AC=1.设CB=R.DE=x.EF=y 根据三角形相似得, R=1 ①若园桂“坚放”,则x-r,h-):h-1-f(0<r<R) -r-#1#-)-#-)0R) ②若回挂“横收”,-,-2-,-2(12(0~) V=h”2R(1-)R(-2) <) (2)①V_2()#, 解得-2 当re[0]时,V→,递增;当re{]时,<o,V递减: .()_→()01-△7_R ②:V'=2R(-6)(<<)由V=(-6)→解得r- 当r[]时,→,递增:当r]时,<o,递减; (.()-#(}R-_R# 20.(本题满分18分,第(1)题4分,第(2)题6分,第(2)题8分) 满足一定条件的全体直线组成集合M,集合M的包络曲线E定义为:集合M中的每一条直线都是 曲线E上某点处的切线,且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线 ($1)若圆E:x2}+(y-2){}=1是集合M=/:mx+ny=1,m,neR 的包络曲线,求m,n满足的关 系式: (2)求证:集合A=(/l:2(a-1)x-y-(a-1)2}=0,(aeR),}的包络曲线E为:y=x2, (3)在(2)的条件下,过曲线E上A.B两点作曲线E的切线l,1.1O1.=P,P在直线y=x-4上 若AB-2AP,求点P的坐标. 【答案】(1)由定义可知,mx+ny=1与x2+(y-2)2-1相切, =1,得m}-3n”-4n+1. 证明:(2)在y=x2上任取一点O(x,x),y=x2在该点处的切线斜率为k-2x, 6 于是可以得到y=x2在O(x,x})点处的切线方程为:y=2xx-x2}, 即2xx-y-x2-0. 今直线族/:2(a-1)x-y-(a-1)2=0中2(a-1)=2x, 则直线为2xx-y-x2-0, 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线 而对任意l:2(a-1)x-y-(a-1)2}=0都是抛物线在点(a-1.(a-1)处的切线. 所以集合A={:2(a-1)x-y-(a-1)}-0,(aeR),}的包络曲线E为y=x?. (3)设A(x,y),B(x,y),P(xo,%),则抛物线E在点A处的切线方程为 y-y=2x(x-x)y=2x.x-2x}+y.y=2xx-2y+y 化简得2xx-y-y=0.同理,抛物线C在点B处的切线方程为2xx-y-y.=0又两切线的交点为 [2xxo-)%-y=0 P(x,y),所以 $2xxn-)%-2=0' ,所以直线AB的方程为2xqx-y-y-0 [2xx-y-y。=0 [x+x2=2xo 因为AB-2AP. 所以1+(2x)21x-x-21+(2x)21x-xol 1+(2×。)1×,-o,-21+(×)×- 1+(2x)1x-x-2、1+(2x)1x-xl 由于x×.≠xx,所以x=-x.又因为x+x=2x,所以x=-3x,所以y=xx=-3x} 故点P(1-3),#(-41). 21.(本题满分18分,第(1)题4分,第(2)题6分,第(2)题8分) 函数F(x)的定义域为DcR,如果存在teD,使得F(t)-1,称t为F(x)的一个不动点. , 函数g(x)=e+(1-e)x-a(aeR,e为自然对数的底数),定义在R上的函数f(x)满足 f(-x)+f(x)-x2,且当xs0时,f(x)<x (1)求证:f(x)-y(x)-为奇函数; (2)当a变化时,求函数g(x)不动点个数; (3)若存在x[x1/(x)+>/(-x)+x,且x为函数g(x)的一个不动点,求a的取值范围. 【答案】(1)由/(-x)+/(x)=x”,知/(-x)-(-x)}+f(x)-¥=0,令f(x)=/(x)-* 则f(一x)+f(x)=0,又因为定义域为R关于原点对称,所以f(x)为奇函数 (2)由g(x)=x得e*-ex=a,设h(x)=e -ex #(x)#=e-##=→×→1,以(x)在-),在#(.#增 (3)当x<0时,f(x)<x,故f(x)-f’(x)-x<0,所以f(x)在(-,0]上单调递减 所以由奇函数的对称性可知,f(x)在R上单调递减 因为存在x×。{(x)+=v(1-)+×,即()+(1-x)+, 则/(xo)-x*>=/(1-xo)-×。*+xo-/(1-x×o)-(1-xo)} 因为x。为函数g(x)一个不动点, 所以g(x)-x在xs#时有解, 令(x)-8(x)-x-6x-a-x5, 所以函数n(1)在xe[-]时单调减,且x→-时,(x)>→+0, 8 所以只”1-.,得# 。