精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

2023-2024学年度第二学期开学考试试卷 高二数学 时间：120分钟；分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 乘积式展开后的项数是（ ） A. 8 B. 9 C. 18 D. 27 2. 已知为数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 5. 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 7. 设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ） A. 32 B. 56 C. 72 D. 84 8. 甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ） A. 240 B. 192 C. 96 D. 48 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知方程，则 A. 当时，方程表示椭圆 B. 当时，方程表示双曲线 C. 当时，方程表示两条直线 D. 方程表示的曲线不可能为抛物线 10. 在的展开式中，下列叙述中正确的是（ ） A. 二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为0 C. 常数项为15 D. 的系数为15 11. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. “调和数列”被称为“和谐的数列”，在数学中的地位非常重要，广泛应用于音乐创作和建筑设计中．若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知为正项调和数列，是的前项和，则（ ） A. 若，则的最大值为1 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则中存在三项构成等比数列 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 数列满足，且，则它的通项公式______． 14. 双曲线的渐近线方程为______． 15. 的展开式中的系数为_____________．（用数字作答） 16. 如图，“神舟十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e．设地球半径为r，该飞船远地点离地面的距离为R，则该卫星近地点离地面的距离为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题为10分，其余各题12分． 17. 某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和2个小品节目，问： （1）若2个小品节目彼此要隔开，有多少种排法？ （2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ 18. 已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的 （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程． 19. 已知等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值及相应的的值. 20. 已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 21. 已知数列的前项和为，设是首项为1，公差为1的等差数列 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项的和. 22. 已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标； （3）过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期开学考试试卷 高二数学 时间：120分钟；分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 乘积式展开后的项数是（ ） A. 8 B. 9 C. 18 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意从第一个括号中选一个字母有种方法， 从第二个括号中选一个字母有种方法， 从第三个括号中选一个字母有种方法， 按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项. 故选：C 2. 已知为数列的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到公比，利用求出首项，利用求和公式求出答案. 【详解】因为，所以数列为等比数列，公比， 所以，解得：， 所以 故选：D 3. 若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率. 【详解】抛物线的焦点坐标为，由已知可得，可得， 因此，该椭圆的离心率为. 故选：B. 4. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项的性质可求得的值，再由可求得结果. 【详解】由等比中项的性质可得，解得， 又，， 故选：C. 5. 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得双曲线的一条渐近线的斜率为，然后分双曲线的焦点在x轴上和焦点在y轴上，两种情况求解即可 【详解】直线的斜率为，由题意可知，双曲线的一条渐近线的斜率为， 若双曲线C的焦点在x轴上，设双曲线C的方程为，则，离心率； 若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线C的方程为，，所以，所以离心率. 故选：C 6. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 【详解】因为为等比数列，其前n项和为， 故为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故选：B. 7. 设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ） A. 32 B. 56 C. 72 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案. 【详解】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个； 若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个； 若1,8在集合A内，则还有一个元素为10； 共有6+5+4+3+2+1=21个. 若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个； 若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个； 若2,8在集合A内，则还有一个元素为10； 共有5+4+3+2+1=15个. 若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个； 若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个； 若3,8在集合A内，则还有一个元素为10； 共有4+3+2+1=10个. 若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个； 若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个； 若4,8在集合A内，则还有一个元素为10； 共有3+2+1=6个. 若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个； 若5,8在集合A内，则还有一个元素为10； 共有2+1=3个. 若6,8,10在集合A内，只有1个. 总共有21+15+10+6+3+1=56个 故选：B. 8. 甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ） A. 240 B. 192 C. 96 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人. 【详解】丙在正中间（4号位）； 甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况， 考虑到甲､乙的顺序有种情况； 剩下的4个位置其余4人坐有种情况； 故不同的坐法的种数为. 故选：B. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知方程，则 A. 当时，方程表示椭圆 B. 当时，方程表示双曲线 C. 当时，方程表示两条直线 D. 方程表示的曲线不可能为抛物线 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 取，此时表示圆，错误； B. 当时，方程表示焦点在轴或轴上的双曲线，正确； C. 当，时，方程不成立，错误； D. 方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确； 故选：. 【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解. 10. 在的展开式中，下列叙述中正确的是（ ） A. 二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为0 C. 常数项为15 D. 的系数为15 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的二项式系数的性质，可判定选项A错误；令，求得展开式的各项系数和，可判定B正确；求得二项式展开式的通项，结合通项，可判定C、D正确. 【详解】解：因为二项式系数和为，故选项A错误； 令，得二项式各项系数之和为0，故选项B正确； ，令，得常数项，故选项C正确； 令，得，故选项D正确． 故选：BCD. 11. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC，利用展开式的通项公式可判断BD. 【详解】令，得，则A正确； ，因为展开式的通项，令，得，则，所以，故B错误； 令，得，则，从而，故D正确； 令，得，因为， 所以，则C正确. 故选：ACD. 12. “调和数列”被称为“和谐的数列”，在数学中的地位非常重要，广泛应用于音乐创作和建筑设计中．若数列满足（为常数），则称数列为“调和数列”．已知为正项调和数列，是的前项和，则（ ） A. 若，则的最大值为1 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则中存在三项构成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，可知是正项等差数列，根据等差数列的求和公式得，结合基本不等式可判断A；根据等差数列片段和性质，可判断B；借助，裂项相消法求和判断C；反证法判断D. 【详解】根据题意，为正项调和数列，则，可知是正项等差数列． 对于A，，即，则， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，设，，由等差数列前项和的性质可得， ，，所以，故B错误； 对于C，由，得．当时，； 当时，， 则， 综上，C正确． 对于D，由，得， 假设中存在三项构成等比数列， 不妨设，则，即， 化简得，则，即， 这与矛盾，故D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 数列满足，且，则它的通项公式______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答. 【详解】因数列满足，即， 因此数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 14. 双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】将双曲线方程化成标准方程，得到且，利用双曲线渐近线方程，可得结果． 【详解】把双曲线化成标准方程为， 且， 双曲线的渐近线方程为，即 故答案为 【点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求渐近线方程，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．若双曲线方程为，则渐近线方程为；若双曲线方程为，则渐近线方程为. 15. 的展开式中的系数为_____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出的展开式通项，结合乘积形式写出含的项，即可得结果. 【详解】由展开式通项为， 所以含的项为，则其系数为. 故答案为： 16. 如图，“神舟十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e．设地球半径为r，该飞船远地点离地面的距离为R，则该卫星近地点离地面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设及椭圆的几何性质可得，再由近地点距地面距离为，即可求结果. 【详解】由题设，若椭圆轨道对应方程为且， 椭圆的几何性质知：，则， 又近地点离地面的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题为10分，其余各题12分． 17. 某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和2个小品节目，问： （1）若2个小品节目彼此要隔开，有多少种排法？ （2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ 【答案】（1）72； （2）36. 【解析】 【分析】（1）先对3个唱歌节目作全排列，再利用插空法列式计算即得. （2）取两个唱歌节目分别排在第一和最后，再排余下节目，并利用分步乘法计数原理计算即得. 【小问1详解】 依题意，3个唱歌节目的全排列为，把2个小品节目插入4个间隙中，有种方法， 所以不同排法种数为. 【小问2详解】 取两个唱歌节目分别排在第一和最后，有种方法，其他个节目排在中间，有种， 所以不同排法种数是. 18. 已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的 （1）求直线的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程； （2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程． 【详解】解（1）直线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为，斜率为， 又直线过点， ∴直线的方程为，即； （2）设直线的方程为，则点到直线的距离 ， 解得或 ∴直线的方程为或 19. 已知等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值及相应的的值. 【答案】（1） （2）当或时，有最大值是20 【解析】 【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. 【小问1详解】 在等差数列中，∵, ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ， ∴当或时，有最大值是20 20. 已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上求得方程，结合椭圆、的关系求出椭圆的方程； （2）利用椭圆的定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 因为在上，则，可得， 所以椭圆的方程为，故长轴长为，离心率为， 设椭圆的方程为， 故中，且，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，在中，而， 又， 所以，故， 所以. 21. 已知数列的前项和为，设是首项为1，公差为1的等差数列 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质求解得，即，结合与即可求得的通项公式； （2）直接应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 解：因为是首项为1，公差为1的等差数列 所以，则 于是当时， 当时， 则符合上式，所以. 【小问2详解】 解： 则 . 22. 已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标； （3）过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为，设、， 联立方程组得，则，可得， 则③，④， 接下来证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立，可得，即， ， 又因为，即点在直线上， 所以，曲线在点处的切线方程为， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 联立，解得， 则，所以点的坐标为， 所以点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）分析可知，点的轨迹是以为焦点的抛物线，即可得出曲线的方程； （2）设、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，根据求出的值，可得出点的坐标，设、，则，利用平面内两点间的距离公式结合为定值，可求得的值，即可得出点的坐标； （3）设直线的方程为，设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，写出抛物线在点、的切线方程，联立两切线方程，求出点的坐标，即可证得结论成立. 【小问1详解】 解：由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以，点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以的方程为， 【小问2详解】 解：设、，设直线的方程为， 联立方程组，得，，可得， 所以①，② ， 即， 将①②代入得，因为，所以，所以点的坐标为， 设、，则， 使为定值，需满足，即， 因为，所以，则，所以点坐标为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $