专题06 集合与常用逻辑用语54道必考压轴题型专训（9大题型）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

专题06 集合与常用逻辑用语54道必考压轴题型专训（9大题型） 题型一 元素与集合的关系压轴题 题型二 根据集合间的关系求参数 题型三 交、并、补集的混合运算 题型四 根据集合的运算结果求参数 题型五 集合新定义压轴题 题型六 充分条件与必要条件压轴题 题型七 根据命题的真假求参数 题型八 全称量词与必要量词压轴题 题型九 集合与常用逻辑用语综合 【经典例题一 元素与集合的关系压轴题】 1．（23-24高一上·北京·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023高一·全国·专题练习）已知，集合，，若存在正数，对任意，都有，则的所有可能的取值组成的集合为 ． 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 5．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合的生成集． (1)当时，写出集合的生成集； (2)若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由． 6．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. 【经典例题二 根据集合间的关系求参数】 1．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 4．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 5．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知集合为非空数集，定义： (1)若集合，请直接写出集合： (2)若集合，且，求证：； 【经典例题三 交、并、补集的混合运算】 1．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知且，其中，若，且的所有元素之和为56，则 . 3．（23-24高一上·四川·阶段练习）设全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知. (1)若，求实数的取值集合； (2)若，求实数的取值集合. 5．（23-24高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合，，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·四川资阳·期中）已知全集集合，． (1)求，； (2)若求实数的取值范围. 【经典例题四 根据集合的运算结果求参数】 1．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·全国·课后作业）已知集合． （1）若，则实数a的取值范围是 ． （2）若，则实数a的取值范围是 ． （3）若，则实数a的取值范围是 ． 3．（22-23高一上·浙江·期中）已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 4．（22-23高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，其中． (1)若，求，的值； (2)若对，有，求，的取值范围． 5．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 6．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求； (2)若，且，求a的值； (3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值. 【经典例题五 集合新定义压轴题】 1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 3．（2024高二·全国·专题练习）设集合，定义与的一个运算“”为：，其中． (1)试举出两组集合M、N，分别计算； (2)对上述集合M、N，计算，由此你可以得到什么一般性的结论？ (3)举例说明与之间的关系． 4．（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 6．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 【经典例题六 充分条件与必要条件压轴题】 1．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 2．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 3．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·黑龙江·期中）设集合，. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围. 6．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题： 已知集合． (1)当时，求； (2)若选______，求实数的取值范围． 【经典例题七 根据命题的真假求参数】 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 3．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 4．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”． (1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 5．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 6．（22-23高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且，为真命题，求的取值范围. 【经典例题八 全称量词与必要量词压轴题】 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·四川泸州·阶段练习）已知命题P：“对任意，存在，使得”为假，则实数m的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 5．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）命题：，使得；命题：，函数至少与轴有一个交点. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若，有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 6．（22-23高二下·四川绵阳·阶段练习）设命题 ​: 实数​满足​， 命题​: 实数​满足​. (1)若命题“ ​”是真命题， 求实数​的取值范围; (2)若命题 ​是命题​的必要不充分条件， 求实数​的取值范围. 【经典例题九 集合与常用逻辑用语综合】 1．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 3．（2023春·福建南平·高二校考期中）已知集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 4．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题： 已知集合， (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 集合与常用逻辑用语54道必考压轴题型专训（9大题型） 题型一 元素与集合的关系压轴题 题型二 根据集合间的关系求参数 题型三 交、并、补集的混合运算 题型四 根据集合的运算结果求参数 题型五 集合新定义压轴题 题型六 充分条件与必要条件压轴题 题型七 根据命题的真假求参数 题型八 全称量词与必要量词压轴题 题型九 集合与常用逻辑用语综合 【经典例题一 元素与集合的关系压轴题】 1．（23-24高一上·北京·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据，得出，即； ②根据，证明，即； ③根据，，证明． 【详解】解：集合，，， 对于①，，， 则恒有， ，即，，则，①正确； 对于②，，， 若，则存在，使得， ， 又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除， ，即，②正确； 对于③，，， 可设，，、； 则 那么，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选． 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 2．（2023高一·全国·专题练习）已知，集合，，若存在正数，对任意，都有，则的所有可能的取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合A的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： ①当时，因为，则， 且，可得， 又因为，则且， 可得：， 则，解得； ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去； ③当，即时，可得：且， 可得，解得； 综上所述：或. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题. 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【答案】(1)，，． (2)，． 【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可； （2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可. 【详解】（1）∵，∴． ∵,∴． ∵，∴． 综上，，，． （2） 任取，设，， 则， 其中，，∴． ∵， 其中，，∴． 综上，，． 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 5．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合的生成集． (1)当时，写出集合的生成集； (2)若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)不存在，理由见解析. 【分析】(1)根据直接写出集合中元素； (2)设，且，利用生成集的定义分析中元素大小关系，不相等的元素至少有7个，再举例即可求解； (3)不存在，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾即可. 【详解】（1），所以. （2）设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以生成集B中元素个数的最小值为7. （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 也有，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 6．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由①②得，进而可得，根据③即可证结论； （2）若结合②③得，即可得，再由可得，进而确定即可证结论. 【详解】（1）由，由②知：， 由③知：； （2）先证：若，则， 由②知：若，且，又，则； 由③知：，则， 所以， 综上，， 再证：若则， 由，则， 所以， ，由③知：， ， . 【经典例题二 根据集合间的关系求参数】 1．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 【答案】B 【分析】不妨设，则，根据集合相等的定义可得，分析可得为偶数，从而可得可得为奇数，再分析计算即可得出答案. 【详解】解：不妨设，则， 因为，，，，， 所以， 因为为偶数， 所以，，必为两奇一偶，从而可得为奇数， 又因为，所以为不小于3的奇数， 若，则，，，，， 故，且，所以，不符合要求， 若，则，，，，，故，解得， 此时，， 所以的最小值是1297. 故选：B. 【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设，判断，，三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力. 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 【答案】16 【分析】先根据中的数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案. 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， ∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16. 故答案为： 【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案. 3．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由题，集合最多两个元素，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，即可求解； （2）分类讨论：为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可. 【详解】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：； （2）由题，中最多两个元素，对于方程 当集合时： ，即时，方程无解，，符合题意； 当集合中只有一个元素时： ，即时，方程的解为，，符合题意； 当中有两个元素时： ，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素， 此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：； 综上所述：或. 【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏. 4．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 5．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知集合为非空数集，定义： (1)若集合，请直接写出集合： (2)若集合，且，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题目中的定义直接写出两个集合即可； （2）由，可得，写出的所有可能取值，再根据集合相等的定义即可得证. 【详解】（1）解：因为， ， 所以； （2）证明：由， 得， 则可取， 又因为， 所以， 剩下的元素满足， 所以. 6．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值； （2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可. 【详解】（1）易知集合，由得： 或，解得：. （2）（1）当时满足； （2）当时 ①当即时，满足，. ②当即时，，不满足. ③当即时，满足，只能， 无解. 综上所述：或. 【经典例题三 交、并、补集的混合运算】 1．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知且，其中，若，且的所有元素之和为56，则 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，分和，两种情况讨论，结合题意，求得的值，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 因为，所以， 因为，所以， ①若，由，可得，则， 所以，，所以，即， 所以，所以， 即或，与矛盾. ②若，则，从而， 所以，即，所以， 所以，所以或， 又因为，所以， 则，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·四川·阶段练习）设全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由集合利用交集、补集运算法则即可求得结果； （2）化为，再利用子集计算即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以. （2）因为，所以. 当时，，此时成立； 当时，由得：，所以. 综上，的取值范围是. 4．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知. (1)若，求实数的取值集合； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题设易知是的两解，应用根与系数关系求参数，即可得集合； （2）由题设，讨论或依次求出对应参数a的范围，即可得集合. 【详解】（1）因为或，则， 则是的两解，则且，解得； 综上，. （2）由（1），而，则， 所以或满足条件， ①当时，则方程无解， 因此，解得； ②当时，则方程有两个相等的解0， 因此且，解得. ③当时，则方程有两个相等的解8， 因此且，无解. ④当时，则方程有两解0和8， 因此且，解得； 综上，或， 故实数的取值集合或. 5．（23-24高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合，，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）当时，可确定集合，利用集合的运算求解； （2）由条件先确定集合、的关系，再结合两集合的关系，分和两种情况讨论求解. 【详解】（1）当时，集合，或. 所以：，. （2）∵，∴. 若，则，此时成立； 若，则. 综上：或. 所以的取值范围为：. 6．（23-24高一上·四川资阳·期中）已知全集集合，． (1)求，； (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1)；或. (2) 【分析】（1）利用集合的运算求解即可； （2）利用集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）集合， ,且全集 或， 或. （2）, 若 当时，; 当时，，解得； 综上得，实数的取值范围是 【经典例题四 根据集合的运算结果求参数】 1．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据集合与集合的交集和并集运算结果，确定集合与集合中元素，再根据元素与集合的关系求解参数即可. 【详解】，， 得，解得. 故. 又因为，所以得. 代入得，解得：， 综上可得：. 故选：C. 2．（2023高一·全国·课后作业）已知集合． （1）若，则实数a的取值范围是 ． （2）若，则实数a的取值范围是 ． （3）若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用集合间的关系，即可得出答案. 【详解】（1）若，得， 所以实数a的取值范围是. （2），即，所以， 所以实数a的取值范围是. （3）若，即，所以， 则实数a的取值范围是. 故答案为：；；. 3．（22-23高一上·浙江·期中）已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)条件选择见解析，. 【分析】(1)取化简，化简A，再根据交集的定义求； (2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围. 【详解】（1）由题意得，． 当时，， ∴； （2）选择①． ∵，∴， 当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去． 综上，实数的取值范围为． 选择② ∵，∴， 当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去． 综上，实数的取值范围为． 选择③ ∵，∴， 当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去． 综上，实数的取值范围为． 4．（22-23高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，其中． (1)若，求，的值； (2)若对，有，求，的取值范围． 【答案】(1)，，或， (2)或或或 【分析】（1）解得：，或，若，则，将代入可得答案； （2）若对，有，则集合，分和讨论满足条件的，的值，综合讨论结果，可得答案． 【详解】（1）解：集合， ，其中． 解得：或．           若，则，           将代入得：，           则． 则，则， 当时，，解得， 综上，，或，． （2）解: 若对，有，则， 当时，，，，，           或时，，，；           当，即，或时，则，由（1）得：，；         当时，即时，，对，故成立，           综上，或或或． 5．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 6．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求； (2)若，且，求a的值； (3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）求出全集和集合A，根据补集的运算即可求得答案； （2）根据元素和集合的关系即可求得答案； （3）判断C中的元素个数，确定，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，， 故； （2）由，且，可得若，则，不合题意； 若，则，又，故； （3）由于， 集合，C的真子集共有3个， 则C中必有2个元素，故. 【经典例题五 集合新定义压轴题】 1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【详解】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C 2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 【答案】90 【分析】由题意，任意一个元素只能在集合之一中，求出这5个元素在集合中的个数，再求出分别为空集的种数，从而即可得解． 【详解】任意一个元素只能在集合之一中， 则这5个元素在集合中，共有种； 其中为空集的种数为，为空集的种数为， ∴均为非空子集的种数为， 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：90． 3．（2024高二·全国·专题练习）设集合，定义与的一个运算“”为：，其中． (1)试举出两组集合M、N，分别计算； (2)对上述集合M、N，计算，由此你可以得到什么一般性的结论？ (3)举例说明与之间的关系． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)，答案见解析. 【分析】（1）先举出两组满足题意的集合M、N；再根据题目中定义的运算即可得出答案. （2）先根据题目中定义的运算计算；再结合（1）的结果即可得出；最后根据题目中的集合M、N及定义的运算即可得出一般结论. （3）先举出三组满足题意的集合，再根据题目中定义的运算即可得出答案. 【详解】（1）不妨设， 则； 或设， 则等． （2）对， 则； 对， 则． 由（1）知，. 由此猜测，对任意集合，总有． 证明如下： 对任意，有，其中； 又，则．于是． 对任意，有，其中； 又，则．于是． 因此. （3）设， 则，于是； 又，于是． 因此． 4．（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由函数的新定义求解即可； （2）先求出集合，再由可得，即，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由，可知：，， （2）由可得：， 由题意可知， 由可知； 所以，解得， 所以 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得. （2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得. （3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及不等式性质求解即得. 【详解】（1）因为， 所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设，因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有，因此， 则，解得， 所以“复活集” . 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，合理利用定义，结合相关的其它知识，进行推理判断解决. 6．（23-24高一上·河南洛阳·期中）若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”． (1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由． (2)设集合A是“好集”，求证：若，则． (3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由． 【答案】(1)有理数集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)命题“若，则”为真命题，理由见解析 【分析】利用“好集”的定义，结合元素与集合的关系解决即可. 【详解】（1）集合B不是“好集”，理由如下： 因为，，， 所以集合B不是“好集”． 有理数集Q是“好集”，理由如下： 因为，，对任意，，都有，且时，， 所以有理数集Q是“好集”． （2）因为集合A是“好集”，所以． 若，则，即， 所以，即，命题得证． （3）命题“若，则”为真命题，理由如下： 当x，y中有0或1时，显然有． 当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，， 所以，所以． 所以由（2）可得，同理得， 当或时，显然有． 当或时，显然有， 所以，所以， 由（2）得，所以． 综上得时，． 【经典例题六 充分条件与必要条件压轴题】 1．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 2．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，都是实数，试从①；②；③；④中选出满足下列条件的式子，用序号填空： （1）使，都不为0的充分条件是 ． （2）使，至少有一个为0的充要条件是 ． 【答案】 ④ ① 【分析】分别求出条件①②③④的充要条件，然后由充分条件、充要条件的定义即可求解. 【详解】由题意有：①或，即，至少有一个为0； ②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正数一负数； ③，为任意实数或，均为0； ④或，即，都不为0． 综上可知：（1）使，都不为0的充分条件是④；（2）使，至少有一个为0的充要条件是①． 故答案为：④；①． 3．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并集运算直接得结果； （2）根据必要条件可得集合的关系，对集合分类讨论即可得结论. 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 4．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，根据得到，解得答案. （2）确定是的非空真子集，得到，解得答案. 【详解】（1）由不等式，解得，则， 或，，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）或，， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 又由题意知，所以是的非空真子集，， 解得，所以实数的取值范围为. 5．（23-24高一上·黑龙江·期中）设集合，. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把题意转化为集合的关系，然后根据集合关系列不等式求解即可； （2）根据交集运算结果得，然后根据和分类讨论，列不等式组求解即可. 【详解】（1）由是的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， 故，所以，即实数的取值范围为. （2）因为，所以， 当时，，所以，满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 6．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题： 已知集合． (1)当时，求； (2)若选______，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用并集的概念计算即可； （2）若选①，判定得，由集合的关系求参数即可；若选②，判定得，由集合的关系求参数即可；若选③，由集合的关系求参数即可. 【详解】（1）当时，, 则； （2）选①，由题意可知，则，解得， 当时，，合乎题意， 当时，，合乎题意. 综上所述，； 选②，由题意可知，则，解得， 所以，； 选③，，则或，解得或. 所以，a的取值范围为{或}. 【经典例题七 根据命题的真假求参数】 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出为真命题时的范围，进一步可得答案． 【详解】由，得， ，， 则当时，取最小值2，所以， 命题，则，即， 若命题均为假命题，则且，即， ∴实数的取值范围为． 故选：B. 2．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出，为真命题时的取值范围，可得与同时为真命题时的取值范围，进而即得. 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为： 3．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用子集的定义即可列出不等式求解. （2）将真命题转化为，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （2）命题“，则”是真命题，所以. 当时，，解得； 当时，，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 4．（22-23高一上·河南·阶段练习）已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”． (1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，化简、，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果. （2）先根据条件化简、得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】（1）当时，由， 得，即：若为真命题，则； 若为真命题，即恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得， 故． 故若为假命题，为真命题， 则，解得， 即实数的取值范围为． （2）对于，且． 对于，，则：或． 因为是的充分不必要条件， 所以，解得． 故的取值范围是. 5．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1），可转化个； （2），可转化成方程有两不等实根； （3），即p或q为真命题，结合（1）（2）即可得到答案 【详解】（1）若命题p为真命题，则对恒成立， 即，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. （2）若命题q为真命题，则方程有两不等实根， 所以，则，解得或. 因此，实数m的取值范围是或. （3）若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题， 则结合（1）（2）得或， 因此，实数m的取值范围是 6．（22-23高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且，为真命题，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）利用补集的定义可求得集合，利用补集和交集的运算可求得集合； （2）分析可知，分、两种情况讨论，根据已知条件可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：由已知可得，或， 因此，或. （2）解：由题意可知. 当时，，即，； 当时，由可得，或，解得， 综上，的取值范围为或. 【经典例题八 全称量词与必要量词压轴题】 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为命题p“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 令，其对称轴为， 当，即时，，解得，此时； 当，即时，，解得，此时无解； 当，即时，，即，此时， 综上：实数a的取值范围是， 故选：B 2．（22-23高一上·四川泸州·阶段练习）已知命题P：“对任意，存在，使得”为假，则实数m的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据含量词命题的否定得到真命题，转化为，不等式求解即可. 【详解】“对任意，存在，使得”为假， 则“存在，对任意的，使得”为真， 即，故，解得. 故答案为：. 3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 5．（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）命题：，使得；命题：，函数至少与轴有一个交点. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若，有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式即可求出的范围； （2）由（1）为假命题时，的范围，再分别求出为真命题和假命题时的范围，最后分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）当为真命题时， 则，解得， ∴的取值范围为. （2）由（1）得当为假命题时，则 若命题q为真命题， 当时，函数有一个零点，则p真， 当且，则p真， ∴命题q为真时，； ∴命题q为假命题时，则或， ∵p，q有且只有一个真命题， ∴p真q假，或p假q真， 当p真q假时，且或，解得：， 当p假q真时，，解得：， 综上可知，或， 故所求实数m的取值范围是. 6．（22-23高二下·四川绵阳·阶段练习）设命题 ​: 实数​满足​， 命题​: 实数​满足​. (1)若命题“ ​”是真命题， 求实数​的取值范围; (2)若命题 ​是命题​的必要不充分条件， 求实数​的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，然后根据求解即可； （2）命题 ​是命题​的必要不充分条件,然后按照​是​的真子集求解即可； 【详解】（1）因为命题" ​"是真命题，所以​， 所以 ​解得​，即实数​的取值范围是​. （2）命题 ​是命题​的必要不充分条件,所以​是​的真子集， 若 ​即​， 此时​，满足​是​的真子集， 若 ​即​，因为​是​的真子集， 所以, ​解得​， 经检验 ​时，​满足​是​的真子集， 综上，实数 ​的取值范围是​. 【经典例题九 集合与常用逻辑用语综合】 1．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 【解题思路】首先判断出，对列不等式计算求解可得的取值范围. 【解答过程】由于命题：“，”是真命题， 所以， ，则 解得 综上，的取值范围是. 2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【解答过程】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 3．（2023春·福建南平·高二校考期中）已知集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可； （2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案 【解答过程】解：（1）①当B为空集时，成立. ②当B不是空集时，∵，，∴ 综上①②，. （2），使得，∴B为非空集合且. 当时，无解或，， ∴. 4．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案； （2）结合题意推出且，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案. 【解答过程】（1）因为为真命题，所以方程有解，即， 所以，即； （2）因为是的必要不充分条件，所以且， i）当时，，解得； ii）当时，，且等号不会同时取得， 解得， 综上，. 5．（2023·全国·高三专题练习）在①；②“”是 “”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题： 已知集合， (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）化简集合与之后求二者的并集（2）先判断集合与的关系，再求的取值范围 【解答过程】（1）当时，集合，， 所以； （2）若选择①A∪B＝B，则， 因为，所以， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 若选择②，““是“”的充分不必要条件，则， 因为，所以， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 若选择③，， 因为，， 所以或， 解得或， 所以实数的取值范围是． 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1349 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1），， 集合，集合. （2），，且， T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足， ； （3）设集合满足题意，其中， 则 ， ， ，由容斥原理，， 的最小元素为0，最大元素为，， 解得 实际上时满足题意，证明如下： 设， 则， 题意有，即， m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多， 即时满足题意 综上，的最大值为1349. 【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$