2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册第1-2章综合测试

第一、二章综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D C B A A C BC ABD BD 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 即，解得， 则. 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题的否定为. 3. 若，则函数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】D 由题意可得：， ∵，则， 故，当且仅当，即时，等号成立. 4. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即. 5. 下列命题中正确的个数是（ ） ①若，则 ②若，则 ③若，，则 ④若，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】B 对于①，由于，则，且，同乘以即可得，故①正确； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，符合不等式的性质，故③正确； 对于④，当时，，故④错误. 6. 已知命题，.则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A ，，即 ，即，，则，即， ∴是的充分不必要条件. 7. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【解析】A 当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是. 8. 已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由题意知：不等式恒成立， 即， ， 即：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，当且仅当即 时等号成立. ∴当时，取得最小值为8. ∴解得：. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“集合中只有一个元素”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【解析】BC 可得出，所以“”是“”的充分条件， ，满足，但得不出，所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 当时，方程为，，解得，所以集合只有一个元素， 所以是集合只有一个元素的充分条件， 当，方程只有一个解，集合只有一个元素， 当，因为只有一个元素，所以，解得， 所以只有一个元素，可得或， 所以“”是“集合中只有一个元素”的充分不必要条件，故B正确； 如“，但推不出， 所以“”是“”的不充分条件， 显然能得出，所以“”是“”的必要条件，故C正确； 由，可得且， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 10. 已知，，且，则（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为3 C. 的最大值为 D. 【解析】ABD ，，则，得，等号成立时， 故mn的最大值为，故A正确； 因，则， 当时，有最小值，故B正确； ， 等号成立时， 则的最大值为，故C错误； 因，则， 因方程的，则，则， 故D正确. 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【解析】BD 关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为__________. 【解析】，化简得，解得. 所以原不等式解集为. 13. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______． 【解析】由，得． 由题意可得，使得成立， 即，使得成立． ，当且仅当时等号成立，故． 14. 设，已知，则的最小值为______． 【解析】由,,可得，则， 故 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，若集合，． （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由可得，解得或， 所以或， 当时，， 则或. （2）当时，，即， 此时满足； 当时，要使， 则，解得； 综上所述，实数的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得为方程的两个根， 则，解得； （2）由（1）得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 要想恒成立，只需，解得， 故实数的取值范围是. 17. 已知全集，集合，集合． （1）若时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，得到，即，解得，所以， 由，得到， 因为，则的解集为，所以， 则； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 又，， 若，则，此时不满足是的真子集， 若，则，此时不满足是的真子集， 若，则，又是的真子集，则， 综上所述，实数的取值范围为． 18. 设矩形ABCD（）的周长为12cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.设 cm. （1）用x表示AP，并求出x的取值范围； （2）求△ADP的最大面积，及相应x的值. 【解析】（1）画出折叠后的平面图形如下： 设，由题意得， 矩形ABCD的周长为12cm， 又故，又,， ， 在中，解得， 故,. （2）由（1）得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大面积为，相应的值为． 19. 已知有限集，定义集合且，表示集合中的元素个数． （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 【解析】（1）根据定义直接得，， 则，所以. （2） 表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一、二章综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则函数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的个数是（ ） ①若，则 ②若，则 ③若，，则 ④若，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知命题，.则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“集合中只有一个元素”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知，，且，则（ ） A. mn的最大值为 B. 的最小值为3 C. 的最大值为 D. 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为__________. 13. 若对，使得成立，则实数的取值范围为______． 14. 设，已知，则的最小值为______． 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，若集合，． （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知全集，集合，集合． （1）若时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 设矩形ABCD（）的周长为12cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.设 cm. （1）用x表示AP，并求出x的取值范围； （2）求△ADP的最大面积，及相应x的值. 19. 已知有限集，定义集合且，表示集合中的元素个数． （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $