精品解析：福建省泉州市安溪县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

福建省泉州市安溪县2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设代入化简，根据复数求模公式计算即可． 【详解】设，则， 因为， 所以． 故选：D 2. 设向量，，满足，且，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由，得平方得出，从而得. 【详解】∵，∴， 又，，， ∴， ∴. 故选：D. 3. 若不重合的四点满足，，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的减法法则即可得，则. 【详解】由题可知，根据向量的减法有，, 于是有,故， 又因为，所以，即； 故选：B. 4. 在平行六面体中，，，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合空间向量的数量积的定义及运算律求出和，进而结合余弦定理即可求出结果. 【详解】因为， 则，即， , 则 ， 即， 则 故选：C. 5. 在中，，，，则满足条件的（ ） A. 不能确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，结合条件求出边上的高，可判断三角形解的情况. 【详解】因为，，，如图： 所以边上的高， 又，即，则此三角形有一解， 故选：C. 6. 设平面向量，若，则平面向量可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用向量的夹角公式可推出，确定的坐标，求得每个选项中向量的坐标，一一计算验证是否成立，即可求得答案. 【详解】由题意, 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 由题意， 对于A, 若， 则，故A错误; 对于B，若， 则，故B错误； 对于C，若， 则，故C错误; 对于D，若， 则，故D正确， 故选：D 7. 在中，，，、分别为的三等分点，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由得到，再用表示，最后利用夹角公式计算. 【详解】因为， 两边平方后可得， 所以，故，设，因为、分别为的三等分点 则，， 所以， 而，， 所以，故选B. 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是. 8. 设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理的式子，将函数化简为，再根据二次函数的图象与性质加以计算，可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点，可得本题的答案. 【详解】在中，根据余弦定理， ∴， 因此函数可化为：， ∵， ∴函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有公共点. 由此可得，对任意实数x，恒成立. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数在复平面内对应的点为P，则下列结论正确的是（ ） A. 点P的坐标为 B. C. D. z的虚部为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数的几何意义及共轭复数的定义，结合复数的模公式及复数的概念即可求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确； 因为，所以，故B正确； ，故C错误； 的虚部为，故D错误． 故选：AB． 10. 已知，为上一点，且满足. 动点满足，为线段上一点，满足，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为线段BC的中点 B. 当时，的面积为 C. 点到的距离之和的最大值为5 D. 的正切值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用等腰三角形的两底角相等，以及直角三角形的性质即可判断；对B，根据余弦定理可得，进而可得，结合三角形面积公式求解即可；对C，先证明，然后根据两点之间线段最短可证明，再给出取等的例子即可；对D，用余弦定理证明，再得到，最后给出一个取等的例子即可. 【详解】对A，若，则，从而. 再由知. 故，这得到. 所以，从而为线段BC的中点，故A正确； 对B，当时，，则，又， 故，故，故B错误； 对C，由于，故，从而，故. 而，故. 这表明，即，化简即为. 所以，故. 由于，故，从而. 再由，知. 当点在同一条直线上顺次排列，且，，，时，验证知点满足全部条件，且此时有. 所以点到的距离之和的最大值为，故C正确； 对D，一方面由于，，故，从而. 所以，即. 所以 ， 所以. 由，及，可知. 另一方面，如上图所示，考虑一个边长为的正三角形，分别设的中点为，再分别设的中点为. 则，，，，，. 所以满足全部条件，且此时. 综上，的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，在D选项中，需要先用余弦定理考虑的下界，再相应地推出的上界，进而得到的最大值. 11. 在△中，，，，P为△内一点，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. △的面积的最大值为 D. △的面积的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意知在以为直径的圆上，A中由余弦定理在△中求；B中若，在△中由正弦定理可得，即可求；C中要使△的面积的最大则，即可求最大值；D中讨论在圆与的交点上或、重合时求，即可知范围. 【详解】 由题意知：如上图示，在以为直径的圆上， A：时，，，易知，故在△中，则，错误； B：，若，则，， ∴在△中，，即，可得， ∴，正确； C：要使△的面积的最大，则，此时，正确； D：由图知：若在圆与的交点上，，又P为△内一点，所以△的面积的取值范围是，错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位），则复数的模为____ 【答案】5 【解析】 【详解】∵，∴. 13. 在等腰梯形中，∥，，，为的中点，点是边上一个动点，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标运算可得，进而可得结果. 【详解】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则， 设， 可得， 则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 在中，，，且的面积，则边BC的长为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用面积公式，可求解，再由余弦定理 ，可得解. 【详解】由面积公式： 由余弦定理： 故答案为： 【点睛】本题考查了面积公式，余弦定理综合应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【答案】（1）两船相距海里. （2）巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【解析】 【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得. （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向. 【小问1详解】 由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. 【小问2详解】 当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 16. 在平行四边形中，，分别是，上的点且，，与交于点. （1）求的值； （2）若平行四边形的面积为21，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】分析：（1）根据向量共线基本定理，可用表示，再根据平面向量基本定理列出方程组求得向量模的比值． （2）根据三角形面积的比例关系，得到高的比值．进而通过给出的三角形面积求出△BOC的面积． 详解： （1）设，，据题意可得 ，从而有 . 由，，三点共线，则存在实数，使得 ，即 ，由平面向量基本定理，解得，从而就有. （2）由（1）可知，所以∴ . 点睛：本题考查了向量在平面几何中的综合应用，向量共线基本定理、向量共面基本定理是解决问题的关键，属于中档题． 17. 已知函数的一系列对应值如表： … 0 … … 0 1 0 -1 0 … （1）求的解析式； （2）若在中，，，，求的面积. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）观察表格可得出函数的周期为，可得出的值，代入点得出的值，即可确定出函数的解析式； （2）由，求出A的度数，正弦定理求出的值，由，求出的值，最后由面积公式即可求出三角形的面积. 【小问1详解】 由题中表格给出的信息可知， 函数的周期为，且，∴， 由表格得：，又，所以， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵，由， ∴或，即或，都有， 在中，，， 由正弦定理得，∴， ∵，∴，∴， 当时，， ∴， 又，，∴. 当时，， ， 又，，∴. 所以的面积为或. 18. 已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 【答案】## 【解析】 【详解】根据正三角形的性质，求得边上的中线长，即可求解. 【解答】如图所示，因为是正三角形，所以边上的中线向量的模就是三角形的高， 即：，所以边上的中线向量的模为. 19. 已知，，向量与的夹角为150°． （1）计算； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用向量的模的公式求解； （2）由题得，化简即得解. 【小问1详解】 解：，，向量与的夹角为150°， ∴， ∴； ∴. 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 即，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省泉州市安溪县2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，复数（其中为虚数单位），则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 设向量，，满足，且，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3. 若不重合的四点满足，，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 在平行六面体中，，，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 在中，，，，则满足条件的（ ） A. 不能确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解 6. 设平面向量，若，则平面向量可能是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，、分别为的三等分点，则 A. B. C. D. 8. 设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数在复平面内对应的点为P，则下列结论正确的是（ ） A. 点P的坐标为 B. C. D. z的虚部为 10. 已知，为上一点，且满足. 动点满足，为线段上一点，满足，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为线段BC的中点 B. 当时，的面积为 C. 点到的距离之和的最大值为5 D. 的正切值的最大值为 11. 在△中，，，，P为△内一点，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. △的面积的最大值为 D. △的面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位），则复数的模为____ 13. 在等腰梯形中，∥，，，为的中点，点是边上一个动点，则的最小值为______. 14. 在中，，，且的面积，则边BC的长为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 16. 在平行四边形中，，分别是，上的点且，，与交于点. （1）求的值； （2）若平行四边形的面积为21，求的面积. 17. 已知函数的一系列对应值如表： … 0 … … 0 1 0 -1 0 … （1）求的解析式； （2）若在中，，，，求的面积. 18. 已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 19. 已知，，向量与的夹角为150°． （1）计算； （2）若，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $