精品解析：河南省周口市项城市第三高级中学2023-2024学年高二下学期第一次考试数学试题

2023-2024学年度下期第一次考试 高二数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷、第Ⅱ卷的答案都写在答题卷上. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数在处存在导数为，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 4. 函数在上的零点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 7. 设在上为增函数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若函数，则的极大值为1 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点个数可能为0，1，2 B. 若函数有两个极值点，则 C. 若，则函数在上的最小值为 D. 若，则函数在上的最大值为2 11. （多选题）当函数在处的导数为时，那么可以是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，则（     ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为3 D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13. 甲、乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有________种. 14. A，B，C，D，E五人站成一排，那么排法种数为________. 15. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 16. 南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数.若曲线在其上一点处的切线与直线平行，求的坐标. 18. 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有28人，型血的共有7人，型血的共有9人，型血的有3人． （1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 19. 设函数 （1）求的极大值点与极小值点及单调区间； （2）求在区间上的最大值与最小值． 20. 已知函数． （1），求函数的最小值； （2）若在上单调递减，求的取值范围． 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）对于，使得，求实数的取值范围． 22. 已知函数在和处取得极值. （1）求的值及的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下期第一次考试 高二数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷、第Ⅱ卷的答案都写在答题卷上. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数在处存在导数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求解． 【详解】， 故选：A． 2. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，， 则所求切线方程为，即， 故选：A. 3. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，令，求出，再求出. 【详解】因为函数，所以， 令则，，解得， 所以，， 所以，， 所以. 故选：C 4. 函数在上的零点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】时，求导得到单调性，结合零点存在性定理得到存在，使得，并得到，结合指数函数和二次函数的增长速度，得到无零点，从而求出答案. 【详解】画出和的图象， 在上，，故在上单调递减， 又，， 由零点存在性定理可得，存在，使得， 在上，可以看出，， 又比在上增长速度更快，故上无零点， 在上的零点的个数是3. 故选：D 5. 若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由为函数的极值点求得a，再利用导数法求解. 【详解】， 因为是函数的极值点， 所以，则， 所以， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故选：C 6. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 7. 设在上为增函数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题化为在上恒成立求参数范围. 【详解】由题意，在上恒成立，即恒成立， 而，故. 故选：D 8. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小. 【详解】令，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， ，，， 因为，所以. 故选：D. 二、多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若函数，则的极大值为1 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项由导数的定义可验证；由复合导数的运算即可验证B；利用导数求出函数的单调区间，再结合极值的概念即可验证C；先求导，再令即可求得，则D可验证. 【详解】对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由函数，可得，则， 解得，所以B正确； 对于C中，由函数，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以函数的极大值为，所以C错误； 对于D中，由函数，可得， 所以，解得，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的极值点个数可能为0，1，2 B. 若函数有两个极值点，则 C. 若，则函数在上的最小值为 D. 若，则函数在上的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】先对函数求导，对于选项AB，利用函数极值点的定义，将极值点个数转化成通过方程的解来判断，并且解的两侧导数值符号要异号，从而可判断出选项的正误；对于选项CD，可通过直接求出最大值和最小值，从而判断出选项的正误. 【详解】依题意， 选项A，因为的解的个数为0，1，2，根据函数极值点的定义知，当方程无解时，恒成立，此时函数无极值点，当方程只有一个解时，解的左右两侧导数值均大于0，此时函数无极值点，当方程有两解时，函数有两个极值点，故选项A错误； 选项B，若函数有两个极值点，则有两个不同的解，由，解得，故选项B正确； 选项CD，当时，，由，得到或，由，得到，即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，， 故函数在区间上的最小值为0，最大值为2，故C错误，D正确； 故选：BD. 11. （多选题）当函数在处的导数为时，那么可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由列方程来求得. 【详解】由，解得. 故选：AC 12. 已知函数，则（     ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为3 D. 若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用判断A选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D. 【详解】对于A，，故，又其定义域为R， 故为奇函数，故A正确； 对于B，，所以在上，，单调递减； 在和上，，单调递增，故B错误； 对于C，由B知，在处取极小值，极小值，故C错误； 对于D，方程恰有3个不等的实根，即恰有3个解， 且在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以，即，故D正确. 故选：AD 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13. 甲、乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有________种. 【答案】6 【解析】 【分析】利用排列知识进行求解. 【详解】甲、乙两人从3门课程中各选修1门，所选的课程不相同的选法有种. 故答案为：6 14. A，B，C，D，E五人站成一排，那么排法种数为________. 【答案】120 【解析】 【分析】利用全排列公式即可得到答案. 【详解】由五人站成一排，进行全排列有种. 故答案为：120. 15. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 依题意，不等式在上有解，等价于在上有解， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：． 16. 南阳素有“月季花城”的美誉，是“中国月季之乡”和世界月季名城.某社区对一个街心公园进行改造，在公园中央有一个正方形区域如图示，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该区域种植月季，有5种不同的月季可供选择，要求相邻区域种植的月季不同.在所有的种植方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种月季的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出用了种，种，种月季时的种植方案数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】对该区域种植月季，有种不同的月季可供选择， 当只选择种或种月季种植，不可能相邻区域种植的月季不同； 当选择种月季种植时， 第一步：先种植①④⑤区域，有种种植方法； 第二步：再种植②区域，必和④区域相同，只有种种植方法； 第三步：种植③区域，必和①区域相同，只有种种植方法； 故选择3种月季种植时，有种种植方法； 当选择种月季种植时， 第一步：先种植①④⑤区域，用了种月季中的种，有种种植方法； 第二步：再把还没有用过的种月季选种植下去，有②③两个区域可供种植， 有种种植方法； 第三步，种植最后一个区域，只有种种植方法， 故选择种月季种植时，有种种植方法；， 当选择全部的种月季种植时，有种种植方法； 所以该方案恰好只用到四种月季的概率是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于染色问题，相邻区域要不同的颜色，我们可利用所用颜色的数量进行分类求解，有时候会比较方便快捷. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数.若曲线在其上一点处的切线与直线平行，求的坐标. 【答案】或 【解析】 【分析】首先求导，利用导数的几何意义结合切线斜率为4即可求得切点横坐标，代入曲线方程即可求得Q点坐标. 【详解】由题意可知：， 设，因为直线的斜率为4， 所以， 解得或2. 且，. 所以点的坐标为或. 18. 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有28人，型血的共有7人，型血的共有9人，型血的有3人． （1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）共有种不同的选法 （2）共有种不同的选法 【解析】 【详解】试题分析：（1）由分类加法计数原理得共有种不同的选法；（2）由用分步乘法计数原理得共有种不同的选法． 试题解析：从型血的人中选1人有28种不同的选法．从型血的人中选1人有7种不同的选法，从型血的人中选1人有9种不同的选法，从型血的人中选1人有3种不同的选法． （1）任选1人去献血，即无论选择哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有种不同的选法． （2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有种不同的选法． 【点睛】解此类题型关键是判定所求题目是符合分类原理，还是符合分步原理，再求得各类（步）的方法数，然后再各类相加，或各步相乘，即可求得正解. 19. 设函数 （1）求的极大值点与极小值点及单调区间； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）极大值点，极小值点；单调递增区间为，单调递减区间为， （2）最大值为63，最小值为0 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系求函数的极大值点与极小值点以及单调区间； （2）利用导数求出极值，端点的函数值，然后求函数的最大值和最小值． 【小问1详解】 函数的导数为． 令，解得，． 由，得，即的单调递增区间为， 由，得或，即的单调递减区间为，． 的极大值点，极小值点． 【小问2详解】 列表 当x变化时，，的变化表为： x 0 － 0 ＋ 极小值 当时，， 当时，， 当时，． ∴在区间上的最大值为63，最小值为0. 20. 已知函数． （1），求函数的最小值； （2）若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用二次求导法进行求解即可； （2）运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，则有， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此当时，则有， 因此当时，则有， 当时， 显然， 于是有当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 所以； 【小问2详解】 由， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 由， 设，则有， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 要想在上恒成立， 只需，因此的取值范围为. 21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）对于，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性； （2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围. 【小问1详解】 由题设且， 当时在上递减； 当时，令， 当时在区间上递减； 当时在上递增． 所以当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由题设知对恒成立． 当时，此时，不合题设，舍去． 当时，在上递增，只需符合． 综上：． 22. 已知函数在和处取得极值. （1）求的值及的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），．单调递增区间为，；函数单调递减区间为． （2）,,． 【解析】 【分析】（1），根据函数在和处取得极值．可得导数值为0，即可求解，．进而得出函数的单调区间． （2）由（1）可得，利用函数在上单调性，可得的最大值，利用即可得出的取值范围． 【小问1详解】 ， 函数在和处取得极值． ，， 联立解得：，． ， 令，解得和， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增． 故和是的极值点， 故函数单调递增区间为，；函数单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知在单调递减，在单调递增， 要使得对任意，不等式恒成立，则需且， 故且， 解得，或， 的取值范围是,,． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $