精品解析：2024年湖北省武汉市光谷实验中学中考模拟数学试题

2024年武汉市中考适应性考试数学试卷 亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，24小题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在试卷上无效． 4．作答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．答在试卷上无效． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列国产新能源汽车图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件：①守株待兔；②2024年6月20日是晴天；③任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形．其中属于随机事件的是（ ） A. ①②③ B. 只有① C. 只有② D. ①② 4. 计算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图是一个中国古代高脚杯，关于这个几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 6. 如图为商场某品牌一张椅子的侧面图，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场只设1、2、3、4四个跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是 A. 1 B. C. D. 8. 某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（ ） A. 癸亥年 B. 己丑年 C. 癸酉年 D. 甲子年 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置） 11. 已知反比例函数的图象在二、四象限，则m可能的值为____． 12. 日前，中国科学技术大学在二维材料的非线性量子光源研究中首次实现超薄的量子光源，厚度可低至46纳米，已知，数据用科学记数法表示为，则_____． 13. 计算的结果是______． 14. 如图，一架无人机位于雷达的南偏东方向，距离雷达千米的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于雷达的北偏东方向上的处，此时无人机与雷达的距离约为_______千米．（参考数据：，，，结果保留一位小数） 15. 抛物线的对称轴为直线，与轴有两个交点，与y轴的正半轴相交，有下列结论： ①；②；③当时，；④若，（）是方程的两根，则方程的两根m，n（）满足且；其中，正确结论是___________． 16. 如图，直线，与的距离是1，与的距离是3，点A、B、C分别在直线、、上．若是等边三角形，则的面积是____． 三、解答题（共8小题，共72分，下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 求满足不等式组的整数解． 18. 如图，已知平行四边形中，M，N是上两点，且，连结，． （1）求证：； （2）连结，，请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要说明理由） 19. 2024年是总体国家安全观提出周年，为全面贯彻习近平总书记关于国家安全的重要论述，切实推动国家安全教育进校园．某校对七、八两个年级学生进行了国家安全教育知识测试，所有学生的测试成绩均不低于分（满分分）．现从这两个年级各随机抽取了名学生的成绩进行分析（数据分组为组：，组：，组：，组：，表示测试的成绩）．并绘制成了如下不完整的统计图： （1）图①中组的人数为 个，图②中组所在扇形的圆心角度数为 ； （2）若八年级B组测试成绩为，，，，，．八年级组成绩的众数为 ，八年级这名学生成绩的中位数为 ； （3）该校七、八年级各有名学生，若分以上为“国家安全教育知识达人”，估计七、八年级的学生中“国家安全教育知识达人”共多少名？ 20. 如图，已知是的直径，，点E是线段延长线上一点，连接并延长交于点F． （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： （1）如图（1），将线段AC绕着点A逆时针旋转得到线段AD； （2）如图（1），在边上找一点，连接，使； （3）如图（2），画出点关于的对称点，连接，在射线上取点，使得，画出点． 22. 随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键，某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速会降低，该型号汽车刹车时速度为刹车后速度为行驶的距离为与刹车后汽车的行驶时间之间的关系如表所示：其中s与t满足的关系式为(p，q为常数)． t … 1 1.5 2 2.5 v … 16 15 14 13 s 17 24.75 32 38.75 （1） ，v与t的函数关系式为 ，s与t的函数关系式为 ． （2）假设汽车在行驶的过程中安全车距为．现有一人驾驶这种型号的汽车以的速度行驶在公路上，突然发现前方处沿同一方向有一辆车以的速度匀速行驶，此人随即开始刹车，请问能否确保安全？ （3）普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是（）一位普通司机驾驶该型号汽车以的速度行驶，突然发现导航提示前面处路面变窄，需要将车速降低到以下安全通过，司机紧急刹车，能够在到达窄路时将车速降低到以下吗？请通过计算说明． 23. 已知菱形，点E是边所在直线上的点． （1）点E在边的延长线上， ①如图1，连交于点G，求证：； ②如图2，连，点F是上的点，且，连交于点G，若，求的值； （2）如图3，H是菱形所在平面内一点，，当取最小值时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，点T是x轴上一动点，将顶点M绕点T旋转刚好落在抛物线上的点N处，求点T的坐标； （3）点P为抛物线的对称轴上一定点，过点P的直线交抛物线于点E、F(点E在F的左侧)．若恒为定值m，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年武汉市中考适应性考试数学试卷 亲爱的同学，在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，24小题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在试卷上无效． 4．作答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．答在试卷上无效． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 下列国产新能源汽车图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 下列事件：①守株待兔；②2024年6月20日是晴天；③任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形．其中属于随机事件的是（ ） A. ①②③ B. 只有① C. 只有② D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，正确理解定义是解题的关键． 根据可能发生的事件叫做随机事件判断即可． 【详解】①守株待兔，是随机事件， ②2024年6月20日是晴天，随机事件； ③任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形，是必然事件． 即属于随机事件的是①②， 故选：D． 4. 计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了积的乘方, 根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图是一个中国古代高脚杯，关于这个几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 主视图和左视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了画三视图的知识．根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图相同． 故选：B． 6. 如图为商场某品牌一张椅子的侧面图，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据三角形内角和定理可求得结果，正确求出角度是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：C． 7. 甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场只设1、2、3、4四个跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是 A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解∵只设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况， ∴甲抽到1号跑道的概率是：． 故选D． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 8. 某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表： 尺码 衣长 若小明需要定制，则他的衣长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，根据题意当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解． 【详解】解：根据题意，当尺码增加，则衣长增加， 到，增加了个尺码， ∴， ∴他的衣长可能是； 故选：B． 9. 如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：C． 10. 干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（ ） A. 癸亥年 B. 己丑年 C. 癸酉年 D. 甲子年 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了周期性问题，分别计算天干与地支是本题解题的关键． 天干年为一周期，地支年为一周期，计算出从年到年过了多少年，然后进行解答． 【详解】解：(年), ， ， ∴天干为己，地支为丑， ∴1949年应为己丑年. 故选: B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置） 11. 已知反比例函数的图象在二、四象限，则m可能的值为____． 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限；（2），反比例函数图象在第二、四象限内． 根据反比例函数的性质列式计算即可得解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 则m可能的值为 故答案为：． 12. 日前，中国科学技术大学在二维材料的非线性量子光源研究中首次实现超薄的量子光源，厚度可低至46纳米，已知，数据用科学记数法表示为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂．根据题意表示出，即可得出n的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， ∴． 故答案为：． 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的加法运算，通分化为同分母分式进行求和即可． 【详解】解： 故答案为： 14. 如图，一架无人机位于雷达的南偏东方向，距离雷达千米的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于雷达的北偏东方向上的处，此时无人机与雷达的距离约为_______千米．（参考数据：，，，结果保留一位小数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，由题意可得 千米， 则，在中，利用正弦函数求解即可． 【详解】如图所示标注字母， 根据题意得， 千米， ， ， 在中， ， ∴(千米)， 即：此时与灯塔的距离约为千米. 故答案为： . 15. 抛物线的对称轴为直线，与轴有两个交点，与y轴的正半轴相交，有下列结论： ①；②；③当时，；④若，（）是方程的两根，则方程的两根m，n（）满足且；其中，正确结论是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握，，正负性的判断和函数与直线的交点是解题的关键. 根据题意得出： ，根据，，的正负性可得出①正确；根据得出②错误；根据二次函数对称性，得出③正确；根据二次函数与直线的交点，通过作图得出④正确. 【详解】由题意得：， 故①正确； 即 故②错误； ∵对称轴为直线 ∴关于对称轴的对称点为 且， 故③正确； 由题意得：是抛物线与轴的交点横坐标，是抛物线与直线的交点横坐标， 且 ，故④正确； 故答案为： ①③④. 16. 如图，直线，与的距离是1，与的距离是3，点A、B、C分别在直线、、上．若是等边三角形，则的面积是____． 【答案】## 【解析】 【分析】作于点，于点，于点，综合相似三角形的判定与性质，等边三角形“三线合一”的性质进行分析求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点，作于点，于点，于点， ∵与的距离是1，与的距离是3， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，由“三线合一”得： ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴，， 由勾股定理，，即：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及勾股定理等，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 三、解答题（共8小题，共72分，下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 求满足不等式组的整数解． 【答案】3，4 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解法，先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集求出整数解． 【详解】解：， 由①得： ， 由②得，， 故不等式组的解集为：， 则不等式组的整数解为： 3，4． 18. 如图，已知平行四边形中，M，N是上两点，且，连结，． （1）求证：； （2）连结，，请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ； （2）（等均可） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； （1）由平行四边形的性质可知，，进而得到即可证明； （2）由（1）可证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定添加条件，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连结，， 由（1）知，，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． （或，有一个角为直角的平行四边形是矩形等）， 添加条件（等均可），可使得四边形为矩形． 19. 2024年是总体国家安全观提出周年，为全面贯彻习近平总书记关于国家安全的重要论述，切实推动国家安全教育进校园．某校对七、八两个年级学生进行了国家安全教育知识测试，所有学生的测试成绩均不低于分（满分分）．现从这两个年级各随机抽取了名学生的成绩进行分析（数据分组为组：，组：，组：，组：，表示测试的成绩）．并绘制成了如下不完整的统计图： （1）图①中组的人数为 个，图②中组所在扇形的圆心角度数为 ； （2）若八年级B组测试成绩为，，，，，．八年级组成绩的众数为 ，八年级这名学生成绩的中位数为 ； （3）该校七、八年级各有名学生，若分以上为“国家安全教育知识达人”，估计七、八年级的学生中“国家安全教育知识达人”共多少名？ 【答案】（1）人，； 补全图①中的条形统计图， （2）分，分 （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，条形统计图； （1）先求出图①中组的人数，即可补全图①中的条形统计图，先求出图②中组成绩的百分比，从而可算出组的扇形的圆心角； （2）根据众数和中位数的定义即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解即可． 【小问1详解】 解：图①中组的人数为（人）， ∵八年级组成绩占比为：， ∴扇形统计图中，组扇形的圆心角是：， 故答案为：，； 【小问2详解】 八年级组测试成绩为，，，，，．则众数为分； ∵八年级学生成绩由高到低排名第，为的分数分别为，， ∴八年级这名学生成绩的中位数为（分）， 故答案为：，； 【小问3详解】 估计七年级的学生中“国家安全教育知识达人”共（人）， 估计八年级的学生中“国家安全教育知识达人”共%（人）， （人）， 答：估计七、八年级的学生中“国家安全教育知识达人”共人． 20. 如图，已知是的直径，，点E是线段延长线上一点，连接并延长交于点F． （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：延长交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质，圆周角定理及推论的应用，垂径定理的应用，解直角三角形的应用． （1）延长交于点H，先证明，再证，从而得出即可证明结论； （2）先由题意求出，进而求出，证明，根据性质列方程求出，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是的直径， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， 解得：，经检验是原方程的解， ， ． 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题： （1）如图（1），将线段AC绕着点A逆时针旋转得到线段AD； （2）如图（1），在边上找一点，连接，使； （3）如图（2），画出点关于的对称点，连接，在射线上取点，使得，画出点． 【答案】（1） 如图1中，线段即为所求；     （2） 如图1中，点即为所求； （3） 如图2中，点，点即为所求．   【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，相似三角形的性质与判定； （1）利用旋转变换的性质作出点的对应点即可； （2）取格点，，连接交于点，连接（利用相似三角形的性质证明：：：，可得）； （3）取格点，作射线（），取格点，，连接交于点，取格点，，作直线，交射线于点，点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图1中，线段即为所求； 【小问2详解】 如图1中，点即为所求； 【小问3详解】 如图2中，点，点即为所求． ∵, ∴， 在中，， ∵（平行四边形）， ∴， ∴， ∴． 22. 随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键，某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速会降低，该型号汽车刹车时速度为刹车后速度为行驶的距离为与刹车后汽车的行驶时间之间的关系如表所示：其中s与t满足的关系式为(p，q为常数)． t … 1 1.5 2 2.5 v … 16 15 14 13 s 17 24.75 32 38.75 （1） ，v与t的函数关系式为 ，s与t的函数关系式为 ． （2）假设汽车在行驶的过程中安全车距为．现有一人驾驶这种型号的汽车以的速度行驶在公路上，突然发现前方处沿同一方向有一辆车以的速度匀速行驶，此人随即开始刹车，请问能否确保安全？ （3）普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是（）一位普通司机驾驶该型号汽车以的速度行驶，突然发现导航提示前面处路面变窄，需要将车速降低到以下安全通过，司机紧急刹车，能够在到达窄路时将车速降低到以下吗？请通过计算说明． 【答案】（1），， （2）能确保安全 （3）能够在到达窄路时将车速降低到以下 依题意，， 当时，， 从发现情况到刹车的反应时间（）， 接到提示到紧急刹车所行驶的路程范围是，即， 当时，，解得， 刹车后行驶的距离为（米）， 到达窄路前行驶的距离范围是，即， ∵， ∴能在到达窄路时将车速降低到以下． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用； （1）根据表格数据，随着的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为，利用待定系数法即可求解，再求出时的函数值即可得到，再利用待定系数法求解s与t的函数关系式即可； （2）求出两车速度相同时的距离，比较后即可得到答案； （3）先求出接到提示到紧急刹车所行驶的路程范围，再求出到达窄路前行驶的距离范围，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格数据，随着的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为， 将代入得， 解得： ∴与的函数关系式为， 当，， 即； 将代入， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，， 【小问2详解】 当时，，解得， 当时，， 当时，， 即相距时，两车速度相同， ∵， ∴此人随即开始刹车，能确保安全； 【小问3详解】 略 23. 已知菱形，点E是边所在直线上的点． （1）点E在边的延长线上， ①如图1，连交于点G，求证：； ②如图2，连，点F是上的点，且，连交于点G，若，求的值； （2）如图3，H是菱形所在平面内一点，，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） ①证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴， 即，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可证得，，有，，合，即可得到结论；②延长交的延长线于点H，先证明，则有，，，再证，得到，设，则，，求得，，接着证明，可得，即，进而有，再证明，可得，则，问题随之得解； （2）将绕点A逆时针旋转，得到，则，，那么和为等边三角形，所以，根据垂线段最短，可知当点和点E共线时取得最小值，过点作交、和分别为点N，M和F，取得最小值为，且点E即为点F，设菱形的边长为，则，，，那么，进而可得：，，即可求得． 【小问1详解】 ①略 ②延长交的延长线于点H，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， ∴，解得， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 即， ∵， ∴， ∴， 则， ∴ ∵，， ∴； 【小问2详解】 将绕点A逆时针旋转，得到，则，，，，那么和为等边三角形， ∴， 根据垂线段最短，可知当点，，和点E共线时取得最小值， 过点作交、和分别为点N，M和F，如图， 此时，取得最小值为，且点E即为点F， 如图， 设菱形的边长为， 在菱形中，有， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则，， ∴， 在中，，， ∴， 则， 则有：， 那么，（点E即为点F，）， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、垂线段最短以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和构造线段最短的方法． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，点T是x轴上一动点，将顶点M绕点T旋转刚好落在抛物线上的点N处，求点T的坐标； （3）点P为抛物线的对称轴上一定点，过点P的直线交抛物线于点E、F(点E在F的左侧)．若恒为定值m，求m的值． 【答案】（1） （2）或或或； （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）求解，如图，当绕逆时针旋转得到点，且在抛物线上，过作轴的平行线，分别过作平行线的垂线，垂足分别为，证明， 可得，，则，再建立方程求解即可，如图，当绕顺时针旋转得到点，且在抛物线上，同理可得答案； （3）如图，过作轴于，过作轴于，对称轴与轴的交点记为，可得，可得，，可得设，直线为，，，再结合根与系数的关系进一步解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过， ∴， ∵抛物线与轴交于点两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 如图，当绕顺时针旋转得到点，且在抛物线上， ∴，， 过作轴的平行线，分别过作此平行线的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴，而，， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或； 第二个点如图示： 如图，当绕逆时针旋转得到点，且在抛物线上， 同理可得：， ∴，即， 解得：， ∴或； 综上：或或或； 【小问3详解】 解：如图，过作轴于，过作轴于，对称轴与轴的交点记为， ∴， ∴，， ∵， ∴ 设，直线为，，， ∴， ∴， ∴直线为， ∴， 整理得：， ∴，， ， 而，，， ， ∴ ， 设，由为定点，则为定值， ∴， ∴，而为定值，则的值与无关， ∴， ∴，而，， ∴，即， ∴， 整理得：， 解得：；（不符合题意的根舍去） 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查求解二次函数的解析式，二次函数与旋转及角度问题，平行线分线段成比例的应用，定值的应用，熟练的利用数形结合的方法以及根与系数的关系解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $