精品解析：上海市静安区2023-2024学年高二下学期期末教学质量调研数学试题

静安区2023学年第二学期教学质量调研 高二数学试卷 本试卷满分100分，考试时间90分钟． 2024.06 一、填空题（每小题4分，满分28分）考生应在答题纸的相应编号后填写答案. 1. 的展开式中的系数是___________. 【答案】40 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，即得解 【详解】因为，所以的展开式中的系数是40. 故答案为：40 2. 圆在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 3. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，结合导数的运算、直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】由， 所以在点处切线的斜率为， 因此切线方程为：， 故答案为： 4. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为______，离心率______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据渐近线可设双曲线的标准方程为，代入即可得方程；结合方程分析可知，进而可求离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线的标准方程为， 代入，可得， 所以双曲线的标准方程为，可得； 可知双曲线焦点在x轴上，且， 所以离心率. 故答案为：；. 5. 圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画出______个圆内接三角形；请编写一个排列数的问题，其答案为，这个问题可以是______． 【答案】 ①. 10 ②. 由可以组成多少个没有重复数字的三位数.(答案不唯一) 【解析】 【分析】利用组合数知识解决第一空，设出问题解决第二空即可. 【详解】易知圆上的点必定不共线，故三点可以构成一个三角形， 故一共可画的三角形的个数为， 显然这个问题可以是由可以组成多少个没有重复数字的三位数. (答案不唯一) 故答案为：10；由可以组成多少个没有重复数字的三位数.(答案不唯一) 6. 自由落体运动中，物体下落的距离（单位：米）与时间（单位：秒）近似满足函数关系，则______，其实际意义为______． 【答案】 ①. ②. 物体在时的瞬时速度为m/s. 【解析】 【分析】根据导函数定义求解即可； 【详解】因为，，所以； 其实际意义为物体在时的瞬时速度为m/s； 故答案为：；物体在时的瞬时速度为m/s. 7. 同时投掷2枚硬币，若事件的概率，则事件为______（写出一个事件即可）；若事件的概率，则事件为______（写出一个事件即可）． 【答案】 ①. 两枚硬币同时正面向上 ②. 两枚硬币中至少有一枚正面向上 【解析】 【分析】利用互相独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解. 【详解】同时投掷2枚硬币，设事件两枚硬币同时正面向上，则; 同时投掷2枚硬币，设事件为两枚硬币中至少有一枚正面向上，则包含两个正面、一正一反、一反一正三种情况，. 二、选择题（每小题4分，满分8分）考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 8. 为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数n是 A 30 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知：则底部周长小于110cm段的频率为（0.01+0.02+0.04）×10=0.7， 则频数100×0.7=70人． 故选C． 9. 已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，满分64分）考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 10. 记．求函数的导数，讨论函数的单调性和极值． 【答案】答案见详解 【解析】 【分析】根据导数的求导法则求，利用导数求的单调性，进而可得极值. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数的极大值为，极小值为. 11. 甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如右： （1）求甲、乙两名选手射击的平均环数； （2）请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员外出参加比赛． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用平均数公式求解即可. （2）利用方差公式分别求解方程，依据方差大小分析稳定性，再选人即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 由可知甲、乙两位运动员的平均成绩一致； 而即甲的射击成绩的离散程度较小，乙的射击成绩的离散程度较大， 因此甲的成绩较稳定，所以选甲代表射击队出去参加比赛. 12. （1）请写出由拋物线的定义推导抛物线的标准方程的过程； （2）设直线与抛物线交于两点，且，求的值． 【答案】（1）答案见解析（2） 【解析】 【分析】（1）首先写出抛物线的定义，然后利用等量关系建立方程，化简即可. （2）联立方程组后利用弦长公式建立方程，求解参数即可. 【详解】 （1）抛物线定义：平面上到定点和到定直线(不在上)距离相等的点的轨迹. 如图，抛物线的顶点为原点O，以向量的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系. 设焦点到准线的距离 则焦点F的坐标是准线l的方程为 设为抛物线上任意一点，点P到直线l的距离为d， 则 由抛物线定义知于是有 化简得得证. （2）设点联立直线与抛物线的方程 求得方程根据韦达定理可知 由已知得有即解得或 (舍). 故的值为1. 13. 口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2． （1）第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由； （2）第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为放回口袋里后第二次再任意取一球，根据题意利用列表法，结合古典概型分析判断； （2）因为不放回口袋里后第二次再任意取一球，根据题意利用列表法，结合古典概型分析判断. 【小问1详解】 记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为， 则， 因为放回口袋里后第二次再任意取一球，则有： 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 2 3 3 4 4 2 3 3 4 4 可知：， 所以当时，其发生的概率最大，最大为. 【小问2详解】 记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为 则， 因为不再放回口袋里，第二次再任意取一球，则有： 1 1 2 2 1 ╱ 2 3 3 1 2 ╱ 3 3 2 3 3 ╱ 4 2 3 3 4 ╱ 可知：， 所以大于2的概率. 14. 如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． （1）请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； （2）某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系后利用圆和椭圆的方程求解即可. （2）依据题意得到方程，求出截面边长最值即可. 【小问1详解】 【小问1详解】 如图，以矩形ABCD 的对称中心为原点建立平面直角坐标系 则半圆的方程为设椭圆的标准方程为： 则由已知，有， 得出所以，椭圆部分的方程为： 水平线AB的方程为： 【小问2详解】 提前告诉搬运公司：正方形截面的边长的最大值为3.2米； 三角形截面的边长的最大值为米. 若为正方形截面，设正方形边长为，如图所示放置时正方形截面的边长的最大值 则点在圆上,即，解得 所以正方形截面的边长的最大值为3.2米； 若为等边三角形截面，如图放置： 解法一：因为直线倾斜角为， 所以直线的斜率为，且直线过定点，故直线的方程为， 联立整理得： 解得和 (舍). 所以三角形截面的边长的最大值为米 解法二： 设正三角形边长 ,则点 在椭圆 上， 由 得 ， 即，解得和(舍) 所以三角形截面的边长的最大值为米. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理设出边长，然后表列出方程求解边长最值，计算得到所要求的数值即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 静安区2023学年第二学期教学质量调研 高二数学试卷 本试卷满分100分，考试时间90分钟． 2024.06 一、填空题（每小题4分，满分28分）考生应在答题纸的相应编号后填写答案. 1. 展开式中的系数是___________. 2. 圆在点处的切线方程为______． 3. 曲线在点处的切线方程为______． 4. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则双曲线标准方程为______，离心率______． 5. 圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画出______个圆内接三角形；请编写一个排列数的问题，其答案为，这个问题可以是______． 6. 自由落体运动中，物体下落的距离（单位：米）与时间（单位：秒）近似满足函数关系，则______，其实际意义为______． 7. 同时投掷2枚硬币，若事件的概率，则事件为______（写出一个事件即可）；若事件的概率，则事件为______（写出一个事件即可）． 二、选择题（每小题4分，满分8分）考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 8. 为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数n是 A. 30 B. 60 C 70 D. 80 9. 已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 三、解答题（本大题共5题，满分64分）考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 10. 记．求函数的导数，讨论函数的单调性和极值． 11. 甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如右： （1）求甲、乙两名选手射击的平均环数； （2）请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员外出参加比赛． 12. （1）请写出由拋物线定义推导抛物线的标准方程的过程； （2）设直线与抛物线交于两点，且，求的值． 13. 口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2． （1）第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由； （2）第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率． 14. 如图实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． （1）请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； （2）某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$