精品解析：江西省上饶市余干县私立蓝天中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年度高二数学第一次月考考试卷 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ） A. B. C. D. 2. 若数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 5. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则值为（ ） A 50 B. 70 C. 90 D. 110 6. 新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来的（ ）倍 A. 10 B. 16 C. 32 D. 63 7. 等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（ ） A. 0或 B. 2或 C. 2 D. 0或2 8. 已知数列的前项和，则数列的前10项和为（ ） A. 65 B. 67 C. 61 D. 56 二、多选题（共20分） 9. 下列数列中，是等差数列的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，， 10. 已知无穷等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 在数列中，最大 B. 在数列中，或最大 C. D. 当时， 11. 下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 12. 设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（ ） A. B. 的公比为2 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共20分） 13. 在数列中，，且，则__________. 14. 已知数列前n项和为，那么该数列的通项公式为_______. 15. 在等比数列中，，则数列的公比______． 16. 已知数列满足，则数列的通项公式为__________． 四、解答题（共70分） 17. 小张买了一辆价值10万元新车，根据市场行情，该款车每年按的速度折旧． （1）用一个式子表示年后这辆车的价值； （2）如果他打算使用6年后卖掉这辆车，他大概能得多少万元？（保留小数点后两位） 18. 已知数列满足，且成等比数列， （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 19. 在等比数列中. （1）若它的前三项分别为5，－15，45，求； （2）若an＝625，n＝4，q＝5，求； （3）若a4＝2，a7＝8，求an. 20. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 21. 已知数列中，. （1）若数列是等差数列，求的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式. 22. 某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增. （1）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式； （2）问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度高二数学第一次月考考试卷 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得. 【详解】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 2. 若数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用裂项相消求和可得答案. 【详解】， 则. 故选：A. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以. 故选：C 4. 已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质即可求解. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，所以，所以. 故选：B 5. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ） A. 50 B. 70 C. 90 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的片段和性质列式计算即可. 【详解】由等比数列的片段和性质得，，成等比数列 所以 所以， 解得. 故选：B. 6. 新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来的（ ）倍 A. 10 B. 16 C. 32 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列求和公式即得. 【详解】根据题意，设每天新冠患者的确诊人数组成数列， 则是公比为2的等比数列，所以5天后的新冠患者人数为， 所以5天后的患者人数将会是原来的63倍. 故选：D. 7. 等差数列首项为1，公差为，若成等比数列，则（ ） A. 0或 B. 2或 C. 2 D. 0或2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项及等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为成等比数列， 所以， 因为等差数列的首项为1，公差为， 所以，即，解得或. 故选：A. 8. 已知数列的前项和，则数列的前10项和为（ ） A. 65 B. 67 C. 61 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】首先运用，求出，判断正负情况，再求和. 【详解】当时，， 当时，， 故， 据通项公式得， ． 故选：B． 二、多选题（共20分） 9. 下列数列中，是等差数列的是（ ） A ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果. 【详解】根据等差数列的定义，可得： A中，满足(常数)，所以是等差数列； B中，满足(常数)，所以等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足(常数)，所以是等差数列. 故选：ABD. 10. 已知无穷等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 在数列中，最大 B. 在数列中，或最大 C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件推得数列公差，故最大，A项正确，B项错误；对与作差，化简，通过举特例否定恒成立；根据推得，将通项表达式放大，由题设分析即得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，又由 可得：，即，故数列单调递减，最大，即A项正确，B项错误； 对于C项，由，由A项可知故，故C项正确； 对于D项，由上分析知，则，故，因，，故有，即D项正确. 故选：ACD. 11. 下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对于一次函数，二次函数及指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 由二次函数的单调性可得数列为递增数列； 对于B，因为， 由一次函数的单调性可得数列是递减数列； 对于C，因为， 由指数函数的单调性可得数列是递减数列； 对于D，因为， 当时，数列是递增数列， 当时， 数列为递增数列， 而，所以数列是递增数列. 故选：AD. 12. 设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（ ） A. B. 的公比为2 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令求出，由分别求出，由等比性质求出，进而求出和，结合等比通项公式可求. 【详解】因为，所以． 因为是等比数列，所以，即，解得，则错误； 的公比，则B正确； 因为，所以，则C正确； 因为，所以，所以，则D错误． 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题（共20分） 13. 在数列中，，且，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】由可证明数列是等差数列，利用通项公式可得15. 【详解】将同时除以2，得出， 即数列是以为首项，公差的等差数列， 则. 故答案为：15 14. 已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，数列的前n项和为， 当时，； 当时， 将代入上式可得，即时，适合上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 15. 在等比数列中，，则数列的公比______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列性质求得，进而求得 【详解】，故， 所以，所以. 故答案为：2 16. 已知数列满足，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得. 【详解】数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 四、解答题（共70分） 17. 小张买了一辆价值10万元的新车，根据市场行情，该款车每年按的速度折旧． （1）用一个式子表示年后这辆车的价值； （2）如果他打算使用6年后卖掉这辆车，他大概能得多少万元？（保留小数点后两位） 【答案】（1）， （2）万 【解析】 【分析】（1）根据题意找出递推关系，结合等比数列的通项公式可得答案； （2）根据数列的通项公式可得答案. 【小问1详解】 设第年后车辆的价格为，由题意，即； 因为一年后的价格为， 所以，. 【小问2详解】 由（1）得（万）. 所以使用6年后卖掉这辆车，他大概能得万. 18. 已知数列满足，且成等比数列， （1）求通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 【答案】（1） （2）最小值为, 【解析】 【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）求出，求出最小值及的值. 【小问1详解】 由知为等差数列，设的公差为，则， 成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； 【小问2详解】 由(1)得， 所以当时，取得最小值，最小值为 19. 在等比数列中. （1）若它的前三项分别为5，－15，45，求； （2）若an＝625，n＝4，q＝5，求； （3）若a4＝2，a7＝8，求an. 【答案】（1）405 （2）5 （3）an＝ 【解析】 【分析】考查等比数列的通项公式，利用通项公式进行计算即可. 【小问1详解】 易知，，故. 【小问2详解】 由. 【小问3详解】 .所以. 20. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 解：且，有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，适合， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 21. 已知数列中，. （1）若数列是等差数列，求的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）先由得出，即可得出的值； （2）令，由题意得出，由等差数列的性质得出，即可得出数列的通项公式. 【详解】（1）设数列的公差为，则，解得 即 （2）令，则 因为数列是等差数列，设公差为 所以，解得 即，整理得 【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算以及求通项公式，属于中档题. 22. 某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增. （1）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为，写出的表达式； （2）问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年的年平均费用最少）？年平均费用的最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）12年，万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，即可得到的表达式. （2）由（1）的结论，求出使用n年平均费用表达式，再利用基本不等式，求解即得. 【小问1详解】 依题意，汽车每年的保养维修费构成以0.2为首项，0.2为公差的等差数列， 所以 ，. 【小问2详解】 设该车年平均费用为S万元， ， 则有仅当，即时取等号， 所以汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$