精品解析：山东省百师联盟2023-2024学年高一下学期期末联考（6月）数学试题

2023—2024学年高一期末联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则和复数模的定义即可求解. 【详解】 故选：A. 2. 已知直线，，平面，则“，”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 不充分不必要 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线，直线且，则直线，可以相交，故不是充分条件； 若直线，且，都与平面相交，则也不是必要条件. 故选：D 3. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. 恰好有1件次品和恰好有2件次品 B. 至少有1件次品和全是次品 C. 至少有1件正品和至少有1件次品 D. 至少有1件次品和全是正品 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，即可判断. 【详解】A. 由条件可知，恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件，故A正确； B.至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B错误； C.至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C错误； D. 至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D错误. 故选：A 4. 在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一 建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，从而求出，的坐标，最后利用向量的夹角公式即可得解；解法二 以，为基底，通过向量的线性运算用基底将，表示出来，再利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解法一 如图，建立平面直角坐标系，则，，，， ∴，，∴，∴， 则，∴， 故选：A． 解法二 设，，则，，，， ， ∴， ，， ∴， 故选：A． 5. 某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（ ） A. 64 B. 65 C. 66 D. 67 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义及频率分布直方图计算即可. 【详解】由图可知， ，即第40百分位数位于区间， 设第40百分位数为，则. 故选：C 6. 圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差（ ）（参考数据：，） A. 2.016米 B. 2.232米 C. 2.428米 D. 2.614米 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）. 【详解】在中，（米）． 在中，由正弦定理，得， 即， 所以（米）． 因为， 且， 所以，所以（米）． 故选：B． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B. 为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据概率的概念可判断；对于B，根据抽样方法的理解可判断，对于C，根据中位数，众数的概念可判断；对于D，方差越小数据越稳定，可判断. 【详解】A选项，概率表示随机事件发生可能性大小，所以此人掷6次骰子不一定能掷得一次数字5，故A错误； B选项，为了解全国中学生的心理健康情况，应该采取抽样调查更合理，故B错误； C选项，根据中位数，众数的概念可判断其正确； D选项，根据方差越小数据越稳定，故D错误. 故选：C. 8. “木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出截面图，求出圆柱的底面半径，根据对称得出答案. 【详解】作出截面图，如图，从缺口向桶边作垂线，恰好平分； 因为桶倾斜与底面成，所以; 因为，所以; 因为缺口以上的圆柱部分体积为; 所以多盛的水的体积为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，均为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标表示及诱导公式、同角三角函数的关系、余弦的和角公式计算即可. 【详解】由题意可知：，，， 对于A项，若，则，，故A对； 对于B项，若，则，故B对； 对于C项，易知：，， 若，则， 故C错； 对于D项，，则， 则，平方相加得，∴，故D对， 故选：ABD. 10. 如图，在正三棱台中，，，棱，的中点分别为D，E，点P在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 正三棱台的体积为 C. 与平面所成角正切值为 D. 动点P形成的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，延长正三棱台的侧棱，设其相交于点O，根据正三棱台性质可知，，再由余弦定理可得，可计算出，再由勾股定理以及线面垂直判定定理即可证明平面，即A正确；易知正三棱台的高，代入棱台公式即可得三棱台的体积为，即B错误；与平面所成角的平面角为，由可得，因此，故C错误；点P在平面内的轨迹为以D为圆心的圆被四边形所截的弧，由弧长公式可得点P形成的轨迹长度为，即D正确. 【详解】如图，延长正三棱台的侧棱，设其相交于点O，连接，，如下图所示： 则有，直线必过点O且，， 过点作，，则四边形和均是边长为2的菱形， 在中，，即，解得， 所以，所以是边长为6的等边三角形， 由正三棱台性质可得， 所以，，所以， 因为是边长为6的等边三角形且为的中点，所以，， 在中，由余弦定理可得， ， 在中，由余弦定理可得， ，解得， 满足，所以， 由，，，，平面，可得平面； 又平面，所以，由，，，，平面，可得平面，故A正确； 因为，所以三棱台高为， 所以三棱台的体积为 ，故B错误； 与平面所成的角为，因为， 所以，所以，故C错误； 因为点P在平面内的轨迹为以D为圆心的圆被四边形所截的弧，， 设的长度为，则， 所以动点P形成的轨迹长度为，故D正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：在求解动点轨迹问题时，往往利用动点与定点的位置关系或定量关系找出动点满足的条件，即可得出动点的轨迹长度以及线面角等. 11. 已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（ ） A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则 C. 设总样本的方差为，则 D 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，因为，由放缩可得； 对于B选项，举例说明B不正确； 对于C选项，举例说明C不正确； 对于D选项，若，代入总体方差计算公式，可得. 【详解】对于A选项，因为，所以 ，即，A正确； 对于B选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，B不正确； 对于C选项，取第一部分数据为，则，， 取第二部分数据为，则，，则， ，C不正确； 对于D选项，若，则，D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解. 【详解】由题意可知：高三年级抽取了人， 由于高三共有900人，所以抽样比为， 所以高中学生总数为， 故答案为： 13. 某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为______．（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式计算． 【详解】记至少有一次成功的概率为事件，实验甲、乙、丙成功分别为事件 由题意，，， ． 故答案为：． 14. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，设该球与勒洛四面体的一个切点，连接，则三点共线，且为该球球心，也是正四面体的中心，再求正四面体的外接球半径即可得以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径；空2：再结合勒洛四面体的构成可知过三点的截面面积为3个半径为1，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积，再计算即可得答案. 【详解】空1：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切， 如图1，点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球球心， 由正四面体的性质可知该该球球心为正四面体的中心，半径为， 连接，则三点共线，此时，为正四面体的外接球的半径， 由于正四面体的棱长为1，其可以在棱长为的正方体中截出， 所以正四面体的外接球的半径即为棱长为的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半，则， 故勒洛四面体能够容纳的最大球的半径； 空2：如图2，根据勒洛四面体的构成可知，过三点的截面面积为3个半径为1，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积， 所以所得截面的面积为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛： ①由勒洛四面体分析内切球的球心所在的位置，结合正方体求其半径； ②分析可知勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体表面的截面，计算出该截面面积，可得结果. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，为z的共轭复数，且． （1）求m的值； （2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值； （2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可. 【小问1详解】 已知，则， 由于，得，解得： 【小问2详解】 由（1）可知，，将代入方程可得：， 即：，得：，解得：，， 代入一元二次方程中得：， 解得：，， 即方程另外一个复数根为 16. 在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值． （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可得结果； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质分析求解. 【小问1详解】 设的外接圆半径为． 由正弦定理，得，，． 因为，则， 整理得， 由余弦定理得，即， 又因为，则，可得，所以． 【小问2详解】 由正弦定理可得， 则 因为是锐角三角形，则，解得， 则，可得， 所以的取值范围是． 17. 在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点． （1）若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由； （2）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接交于，利用线面垂直的判定定理证明平面即可．进而根据面面平行可得平面，即可确定点F的轨迹为三角形，结合余弦定理即可求解长度. （2）根据比例关系可得线线平行，即可由线线角的定义得到，结合线面垂直得线线垂直可得，利用消元法转化为三角函数，利用三角函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 在图（1）中，，四边形是正方形， 在图（2）中，，，，平面， 平面， 分别取的中点为,，连接, 则,平面,平面, 所以平面， 同理平面，由于平面， 故平面平面， 平面，因此点在平面上运动，故点F的轨迹为三角形， 由，，所以即为二面角A－BD－C的平面角， 故， 由于 ， 因此 ， 故点F的轨迹长度为 【小问2详解】 在线段取点使得 由于平面，平面， ， ，， ， 易得，， 从而有，则 则 【点睛】 方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 18. 某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）. 质是指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 【答案】（1）； （2）可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功. 【解析】 【分析】（1）利用表格中的数据，根据平均数和方差的公式，准确计算，即可求解； （2）根据题设中的公式，分别求得区间和，并判断数据落在该区间的概率，结合给定的概率比较，得出结论. 【小问1详解】 解：由检测数据的统计图表，可得： 平均数， 方差为 【小问2详解】 解：由（1）知，，因为，，所以， 又因为精确到个位数，所以， 则， 该抽样数据落在内的概率约为， 又由，， 所以该抽样数据落在内的概率约为， 所以，可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功. 19. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2）的所有可能取值为． 【解析】 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为的概率，由此得解. 小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜概率为． 【小问2详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高一期末联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，平面，则“，”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 不充分不必要 3. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. 恰好有1件次品和恰好有2件次品 B. 至少有1件次品和全是次品 C. 至少有1件正品和至少有1件次品 D. 至少有1件次品和全是正品 4. 在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD中点，N在BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为（ ） A. 64 B. 65 C. 66 D. 67 6. 圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差（ ）（参考数据：，） A. 2.016米 B. 2.232米 C. 2.428米 D. 2.614米 7. 下列说法正确的是（ ） A. 某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B. 为了了解全国中学生心理健康情况，应该采用普查的方式 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 8. “木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且，均为锐角，则 10. 如图，在正三棱台中，，，棱，的中点分别为D，E，点P在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 正三棱台的体积为 C. 与平面所成角的正切值为 D. 动点P形成的轨迹长度为 11. 已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（ ） A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则 C. 设总样本的方差为，则 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人. 13. 某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为______．（结果用最简分数表示） 14. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，为z的共轭复数，且． （1）求m的值； （2）若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 16. 在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的值． （2）求的取值范围． 17. 在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点． （1）若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由； （2）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 18. 某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）. 质是指标值 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 19. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$