精品解析：江苏省连云港市东海县石榴高级中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题

2024届高三模拟考试 数学试卷 （考试时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则实数 的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. 1或2 D. 0或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】令得到展开式系数和，再写出展开式的通项，求出，即可得解. 【详解】令，得， 又展开式的通项为（且）， 所以，所以. 故选：D 3. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数 的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 4. 已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义结合，求得点P的坐标，即可求得答案. 【详解】由题意F为抛物线的焦点，则,且准线方程为， 设,由可得,代入得， 即,故, 故选：C 5. 某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 42 B. 48 C. 96 D. 124 【答案】A 【解析】 【分析】因为原定节目顺序已确定，所以可以把新节目一个一个进行插空即可. 【详解】因为原定节目顺序已确定，有6个空，插入第一个新节目有6种插法， 这时6个节目产生7个空，插入第二个节目有7种插法，所以共种. 故选：A. 6. 已知数列满足，，若为数列的前 项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当，时，，即数列的奇数项构成等差数列， 其首项为1，公差为2，则， 当，时，，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为1，公比为 ，则， 所以. 故选：C 7. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合椭圆定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解. 【详解】连接，设，则，，， 在中，，即， 所以，所以， 在中，，即，所以. 故选:B. 8. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（ ） A. 4047 B. 4048 C. 4049 D. 4050 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和. 【详解】由可得， 故的一个周期为4， 由为奇函数可得，得， 对于，令，得，则， 令，得，又，所以， 则， 故 . 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（ ） A. X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B. 甲村的平均分低于乙村的平均分 C. 甲村的高度满意率与不满意率相等 D. 乙村的高度满意率比不满意率大 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，曲线越扁平，方差较大，判断A错误；B选项，求出两村的平均分，比较出大小；CD选项，由正态分布曲线的对称性判断. 【详解】A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大， 因为，所以Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误； B选项，甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，故B正确； C选项，因为甲村的平均分为70，由对称性知，C正确； D选项，因为乙村的平均分为75，由对称性知，D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期 B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向左平移个单位长度后关于 轴对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦型函数的对称性结合的取值范围求出的表达式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】因为函数图象关于点中心对称， 则，可得， 因为，可得，所以，， 对于A选项，的最小正周期为，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，， 故函数的图象关于直线对称，C对； 对于D选项，将的图象向左平移个单位长度后， 可得到函数， 故的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，D错. 故选：BC. 11. 已知抛物线的焦点为 ，点在抛物线上，且，过点 作轴于点 ，则（ ） A. B. 抛物线的准线为直线 C. D. 的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度求出值判断AB；求出点 的纵坐标判断 ；求出的面积判断D. 【详解】抛物线的准线为直线，过点 向准线作垂线垂足为， 由抛物线的定义知，解得， 则抛物线的方程为，准线为直线，A正确，B错误； 将代入抛物线方程，解得，C错误； 焦点，点，即，则，D正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由复数的运算和共轭复数的定义计算求出结果即可. 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 故答案为：2. 13. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可． 【详解】由题知， 所以， 即，则． 因， 所以， 则． 故答案为：. 14. 如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为，该曲线的渐近线方程为．若，直线与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的圆的方程为______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】联立与，解得，利用两直线的位置关系求出从点A向渐近线作垂线的垂足B，进而求出圆的圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】联立与，得，解得 或 ． 结合题意可得．渐近线的方程为． 从点A向此渐近线作垂线，垂足为B， 设，则，解得，即， 所以，AB的中点坐标为， 所以以AB为直径的圆与渐近线相切的圆的方程为 ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中型机床2台，型机床1台．型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2. （1）记X为每天发生故障的机床数，求的分布列及期望； （2）规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率． 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 0.648 0.306 0.044 0.002 ，0.4； （2）．【解析】 【分析】（1）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望； （2）根据给定条件，利用条件概率公式计算即得. 【小问1详解】 X的可能值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.648 0.306 0.044 0.002 期望． 【小问2详解】 记事件为“车间停工”，事件为型机床发生故障”， ，， 因此， 所以某一天在车间停工的条件下，型机床发生故障的概率为． 16. 如图，在直三棱柱中， 是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线． （1）证明：； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面ABC， 因为 平面ABC，所以． 又平面， 所以平面． 又因为 平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质即可证得； （2）法1：由三棱锥的体积最大推理得到最大，利用基本不等式得，作于，可推得 平面，得到AC与平面所成的角等于，解三角形即得；法2：依题建系，分别求得和平面的法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以当三棱锥体积最大时，最大． 由（1）可知平面，因为面，所以． 又，所以， 当且仅当时取等号，即当最大时，． 法1：综合法 如图，作于，连结AH. 由（1）可知平面，因为面，所以． 又平面，所以 平面． 因此，AC与平面所成的角等于． 因为 平面平面，所以． 在Rt中，，所以，因此, 在Rt中，． 所以AC与平面所成角的正弦值． 法2：向量法 在平面内，作交于 ，因为平面ABC，所以平面ABC． 分别以DC，DA，DE为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图.则． 设平面的法向量为，易得， 可取． 因，则， 所以AC与平面所成角的正弦值等于． 17. 已知函数. （1）求函数 在处的切线方程. （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解答 【解析】 【分析】（1）求导可得，又，可求切线方程； （2）求导得，令，再求导，进而判断在上单调递增，可得在上单调递增，，可得结论. 【小问1详解】 由，可得， ，又， 所以函数 在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，可得， 令，可得， 当时，，所以在上单调递增， 又，即， 所以在上单调递增， 所以，当 时，， 当 时，， 综上所述：. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆 的方程； （2）设是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 的右焦点．过点 的直线与椭圆 相交于 两点（点在 轴的上方），直线分别与 轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由． 【答案】（1） （2）是定值； 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质和离心率解方程组求出即可； （2）当斜率不存在时，分别求出直线和的直线方程，得到；当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，由点斜式求出直线方程可得到两点坐标，再用韦达定理表示出化简即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得， 所以椭圆方程为， 【小问2详解】 是定值，理由如下： 由题意可得， 当轴时，直线的方程为，易知， 直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 则， 设，则， 直线的方程为，令 ，则，所以， 直线的方程为，令 ，则，所以， 所以， 所以， 可得， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于讨论斜率存在与不存在的情况，不存在时，直曲联立，由韦达定理结合直线方程表示出，再化简即可. 19. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. （1）求； （2）证明数列是等比数列并求； （3）设数列的前 项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：由，则， 所以， 故（非零常数），且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可； （2）对递推式变形结合对数运算求得，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式； （3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为对任意的恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可. 【小问1详解】 因为，则，从而有， 由，则， 则，解得则有，所以； 【小问2详解】 证明略；； 【小问3详解】 由等比数列的前n项和公式得：， 因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增， 所以对任意的恒成立，令，， 则，当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又，且，，，则， 当n为偶数时，原式化简为，所以当时，； 当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以； 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三模拟考试 数学试卷 （考试时间：120分钟） 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则实数 的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. 1或2 D. 0或2 2. 已知，则（ ） A. B. C. 15 D. 17 3. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知F为抛物线 的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 5. 某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 42 B. 48 C. 96 D. 124 6. 已知数列满足，，若为数列的前 项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 7. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（ ） A. 4047 B. 4048 C. 4049 D. 4050 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（ ） A. X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B. 甲村的平均分低于乙村的平均分 C. 甲村的高度满意率与不满意率相等 D. 乙村的高度满意率比不满意率大 10. 已知函数的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期 B. C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向左平移个单位长度后关于 轴对称 11. 已知抛物线的焦点为 ，点在抛物线上，且，过点 作轴于点 ，则（ ） A. B. 抛物线的准线为直线 C. D. 的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则______． 13. 设 是一个随机试验中的两个事件，且，则______． 14. 如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为，该曲线的渐近线方程为．若，直线与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的圆的方程为______（写出一个即可） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中型机床2台，型机床1台．型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2. （1）记X为每天发生故障的机床数，求的分布列及期望； （2）规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率． 16. 如图，在直三棱柱中， 是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线． （1）证明：； （2）若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数. （1）求函数 在处的切线方程. （2）证明：. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆 的方程； （2）设 是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 的右焦点．过点 的直线与椭圆 相交于 两点（点在 轴的上方），直线分别与 轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由． 19. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. （1）求； （2）证明数列是等比数列并求； （3）设数列的前 项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $