精品解析：湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2024年上学期涟源市高二5月联考 数学试题 （测试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共8小题） 1. 设集合，，若集合，则集合的子集个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 因为集合中只有一个元素， 所以集合的子集个数是， 故选：B 2. 若，则（ ） A. 9 B. 53 C. 81 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】通过分段函数的函数解析式，可以先计算的值，然后将其代入对应解析式，求解即可． 【详解】解：因为，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查分段函数的求值，此类题的解决方法一般是由里及外逐步求解，考查计算能力． 3. 已知a，b表示两条直线，α表示平面，若，，则b与α的位置关系是（ ） A. B. C. b与α相交 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】以正方体中为载体，举例说明即可得结果． 【详解】在正方体中， ，平面，平面； ，平面，平面，即平面； ，平面，平面． 因为，，所以与平面的位置关系是或或与平面相交． 故选：D． 4. 同时掷两个骰子，向上的点数之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】同时掷两个骰子，则所有可能结果有个， 其中向上的点数之和的有，共个， 所以所求概率. 故选：A 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，所以. 故选：A 6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， 所以，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式得到，再将两边平方、结合二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以， 则，即， 即，所以. 故选：A 8. 已知函数，关于的性质，有以下四个推断： ①的定义域是； ②的值域是； ③是奇函数； ④是区间上的增函数． 其中推断正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据对勾函数的单调性，判断④错误． 详解】①∵函数， ∴的定义域是，故①正确； ②，时：， 时：；时，； 故的值域是，故②正确； ③，是奇函数，故③正确； ④由，由于在内递减，在内递增， ∴在区间上先增后减，故④错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，属于中档题． 二、多选题（共3小题） 9. 若复数z满足（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的共轭复数为 B. z的模为13 C. z的虚部为 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，结合复数的相关概念一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于，故， 故z的共轭复数为，A错误； ，B错误； z的虚部为，C正确， z在复平面内对应的点，位于第四象限，D正确， 故选：CD 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为8 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求最大值和的最小值. 【详解】由已知，， 所以，当且仅当时，等号成立，B正确； ，当且仅当时，等号成立，C正确 故选：BC 11. 在四棱锥中，底面，，，，且二面角为，则（ ）． A. B. C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 二面角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，取中点，连接，，即可得到为二面角的平面角，从而求出，再利用勾股定理求出，即可判断A、B，利用勾股定理逆定理得到，，即可得到即为二面角的平面角，从而判断D，设为三棱锥外接球的球心，取的中心，连接，，则为三棱锥外接球的半径，计算，进而可得三棱锥外接球的表面积，即可判断C. 【详解】因为，，所以为等边三角形， 所以，， 所以由余弦定理可得， 取中点，连接，，则，， 因为面，面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 则为二面角的平面角， 所以， 所以，故B正确； 因为面，面， 所以， 所以，故A错误； 因为， 所以， 因为，所以，又， 所以， 所以， 所以即为二面角的平面角， 因为， 所以，即二面角的大小为，故D正确； 设为三棱锥外接球的球心， 取的中心，则， 连接，，则，，为三棱锥外接球的半径， 因为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确， 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：本题关键是由二面角的大小求出线段的长度，确定二面角的平面角通常有定义法和三垂线法. 三．填空题（共3小题） 12. 一组数据为12，13，15，12，24，则众数为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据众数的定义判断即可. 【详解】由数据可知出现两次，其余数字只出现一次， 所以众数为. 故答案为： 13. 中，，，，则的面积=______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意中，，，， 则的面积为, 故答案为： 14. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，从而求出，再由两角和的正切公式计算可得. 【详解】由，得， 故， 因为， 所以， 所以． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15. （1）解不等式：． （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，即得答案； （2）根据三角函数齐次式法求值，即得答案. 【详解】（1）解不等式：可得， 故不等式解集为； （2）由于，故. 16. 为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成五组，并画出了其频率分布直方图． （1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数； （2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 【答案】（1）第80百分位数为133，众数135 （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数、众数的定义计算即可； （2）根据古典概型公式计算即可． 【小问1详解】 ∵， ∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为，众数为； 【小问2详解】 甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个， 乙组20名同学的成绩不低于140分的有个， 记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”， 任意选出2个成绩的所有样本点共个， 其中两个成绩不是同一组的样本点共个， ∴． 17. 已知函数. （1）若是奇函数，求实数的值； （2）若，求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）结合函数的单调性即可求解. 小问1详解】 由题意， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 令，， 令，， 设， ， ， 在上单调递减， ，即， 同理可证在上单调递增， ，即， 综上，在上的值域. 18. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）设角平分线交于，且，若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简得到，由此可得； （2）在中，利用正弦定理可求得，结合三角形内角和性质可求得，由此可得；在中，利用正弦定理可求得，代入三角形面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ， 即，又，，， ，. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得：， 又，，，， ； 在中，由正弦定理得：， . 19. 如图，在直三棱柱中，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求几何体的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2） ． 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，则，由此能证明平面． （2）几何体的体积，由此能求出结果． 【小问1详解】 证明：连接，交于点， 则点是及的中点，而是的中点， 连接，则， 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 ，，， 几何体的体积： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期涟源市高二5月联考 数学试题 （测试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共8小题） 1. 设集合，，若集合，则集合的子集个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若，则（ ） A. 9 B. 53 C. 81 D. 243 3. 已知a，b表示两条直线，α表示平面，若，，则b与α的位置关系是（ ） A. B. C. b与α相交 D. 以上都有可能 4. 同时掷两个骰子，向上的点数之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，关于的性质，有以下四个推断： ①的定义域是； ②的值域是； ③是奇函数； ④是区间上的增函数． 其中推断正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共3小题） 9. 若复数z满足（i是虚数单位），则下列说法正确是（ ） A. z的共轭复数为 B. z的模为13 C. z的虚部为 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为8 11. 在四棱锥中，底面，，，，且二面角为，则（ ）． A. B C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 二面角的大小为 三．填空题（共3小题） 12. 一组数据为12，13，15，12，24，则众数为______． 13. 中，，，，则的面积=______． 14. 已知，，则______． 四．解答题（共5小题） 15. （1）解不等式：． （2）已知，求的值. 16. 为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成五组，并画出了其频率分布直方图． （1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数； （2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 17. 已知函数. （1）若是奇函数，求实数的值； （2）若，求在上的值域. 18. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）设角的平分线交于，且，若，求的面积. 19. 如图，在直三棱柱中，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求几何体体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $