专题1.5 集合、逻辑用语、不等式小题强化训练（43题）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题1.5集合、逻辑用语、不等式小题强化训练 一、单选题 1．已知集合，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2．已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 6．已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 9．已知a，b均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．下列命题中假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 13．若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 14．下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．，且 B．，使得 C．若x＞0，y＞0，则 D．若，则的最小值为1 15．已知全集，集合则能表示关系的图是（    ） A．   B．   C．   D．   16．设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 20．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 21．已知全集，集合，若有4个子集，且，则（    ） A． B．集合有3个真子集 C． D． 22．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 23．对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 24．已知正数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 25．已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（    ） A． B． C．0 D．3 26．已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 27．若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（    ） A． B． C． D． 28．以下说法正确的有（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“”的充分不必要条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 29．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 30．已知集合，且，则实数的取值范围是 . 31．已知实数、满足，，则的取值范围为 ． 32．已知集合，，则集合的元素个数为 ． 33．能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为 . 34．已知集合，全集，则 ． 35．已知集合，，若，则的取值范围是 ． 36．已知集合，集合，若，则 . 37．如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    38．已知集合，集合，若“ ”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 ． 39．若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为 ． 40．已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是 . 41．命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 42．设条件p：；条件q：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 . 43．由命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5集合、逻辑用语、不等式小题强化训练 一、单选题 1．已知集合，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以是的充要条件, 故选：C. 2．已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】令，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由题意得，所以．故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，，或，故C错误； 对于D，或，或，故D错误. 故选：A. 4．已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 5．已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【详解】，， 若， 则，， 故． 故选：C. 6．已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，， 当且仅当，即时，等号成立，A错误； B选项，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，当时，满足，此时，C错误； D选项，，设，其中， 则， 因为，所以，故， 显然取不到最小值25，D错误. 故选：B 7．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，，则； 反之，当时，或，解得或， 若，，满足，若，显然满足， 因此或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 8．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 由，解得或，所以或， 所以， 故选：C 9．已知a，b均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】a，b均为正实数，，故， ， 充分性，，，故，充分性成立， 必要性，，不妨设，满足， 但不满足，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 10．下列命题中假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意，对于A中，例如：当时，此时，所以A为真命题； 对于B中，对任意，根据指数函数的性质，可得成立，所以B为真命题； 对于C中，例如：当时，此时，满足，所以C为真命题； 对于D中，例如：当时，此时，所以D为假命题. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了全称命题与存在性命题的真假判定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的真假判定方法，以及合理利用反例进行判定是解答的关键. 11．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为或， 所以或， 所以， 又，且， 所以， 所以实数的取值范围为， 故选：D. 12．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 13．若命题“,”是假命题，则不能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题. 令,,解得. 故选:C. 14．下列四个命题中，是假命题的是（    ） A．，且 B．，使得 C．若x＞0，y＞0，则 D．若，则的最小值为1 【答案】A 【详解】解析：选A.对于A，，且对x＜0时不成立； 对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，成立，正确； 对于C，若x＞0，y＞0，则，化为，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故y的最小值为1，D正确. 故选：A 15．已知全集，集合则能表示关系的图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】因为， ， 所以， 对于A，，错误； 对于C，，错误； 对于D，错误；B选项符合题意， 故选：B. 16．设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： ， 当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 17．记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，，所以， 所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：A 18．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 则，所以． 故选：C． 二、多选题 19．设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD． 20．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为， 所以的符号不确定， 由不等式的性质知成立， 但不一定成立，故A正确，B错误； 因，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误. 故选：AC. 21．已知全集，集合，若有4个子集，且，则（    ） A． B．集合有3个真子集 C． D． 【答案】ACD 【详解】依题意，， 而有4个子集，，故，故集合有7个真子集，B错误， ，，，ACD均正确. 故选：ACD. 22．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为集合， 可得，，且， 对于A中，由，，可得， 所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中， 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 23．对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 24．已知正数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于，由题可得，即，故A正确； 对于，当且仅当时，等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 25．已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】BCD 【详解】 命题：，，为真命题， 即有根， 当时，成立， 当时，需满足，解得且， 的取值范围为， 故选：BCD． 26．已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AC 【详解】对A：由，得，所以， 当且仅当时取等号，故A正确； 对B：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对C：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对D：由，得， 所以，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：AC. 27．若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知：集合N是集合M的真子集， 对于选项A：可知集合N是集合M的真子集，故A正确； 对于选项B：因为， 可知集合M是集合N的真子集，故B错误； 对于选项C：因为， 且，则，当且仅当，即时，等号成立， 可得， 可知集合N是集合M的真子集，故C正确； 对于选项D：因为， 可知集合N是集合M的真子集，故D正确； 故选：ACD. 28．以下说法正确的有（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“”的充分不必要条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【详解】A选项，，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误. B选项，因为由，得，即， 命题“，”的否定是“，”，所以B选项错误. C选项，； 所以，所以“”是“”的充分不必要条件， 所以C选项正确. D选项，由于，所以“”是“”的必要不充分条件， 所以D选项正确. 故选：CD 29．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误； 对于B，由，得，所以，故B正确； 对于C，由，得，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 故D正确． 故选：BCD. 三、填空题 30．已知集合，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意，，则， 由，得，所以的取值范围是. 故答案为： 31．已知实数、满足，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：设，则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 故答案为：. 32．已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 33．能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】若，当时，； 当时，； 当时，； “设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为， 故答案为：（答案不唯一） 34．已知集合，全集，则 ． 【答案】 【详解】解：集合，全集， 所以， 故答案为： 35．已知集合，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以， 则不等式无解， 所以，解得. 故答案为：. 36．已知集合，集合，若，则 . 【答案】0或1 【详解】由题意可知：， ， 因为，可知或，可得或. 故答案为：0或1. 37．如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    【答案】 【详解】由题意米， 则直角梯形花坛的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当米时，直角梯形花坛的面积最大． 故答案为：. 38．已知集合，集合，若“ ”是“”的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， 或， 由“”，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查对数函数以及解不等式问题，考查集合的关系，是一道基础题． 39．若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】由题意得，“，使”是真命题， 当时，易得时命题成立； 当时，由抛物线开口向下，命题不成立； 当时，则命题等价于，即或 故答案为：或 40．已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，函数在为单调递减函数，可得 ， 即函数的值域构成集合， 又由函数在区间 上单调递增，可得， 即函数的值域构成集合， 又由， ，使成立，即 , 则满足，解得 ， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有 成立，故； （2）若，，有 成立，故； （3）若， ，有成立，故 ； （4）若， ，有，则 的值域是值域的子集 ． 41．命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若命题“任意，”为真命题，则， 设，，，当时，等号成立， 由对勾函数的性质可知，当时，函数单调递减，当单调递增， ，，所以， 即， 所以命题“任意，”为假命题，则的取值范围为. 故答案为： 42．设条件p：；条件q：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴，且. 记p：， q：， 则A是B的真子集，从而解得. 故实数a的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查了含有绝对值不等式和一元二次不等式的解法，充分必要条件，集合之间的关系等基本数学知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 43．由命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是 . 【答案】1 【详解】因为命题“存在，使”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 故，即，故. 故答案为：1 2 学科网（北京）股份有限公司 $$