精品解析：百师联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

2023—2024学年高二期末联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的单调递减区间是（ ） A B. C. D. 3. 已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 5. 在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（ ） A. 75 B. 150 C. 300 D. 600 6. 已知今天是星期日，则经过天后是（ ） A 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 7. 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数,则下面对函数的描述正确的是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列说法正确的是（    ） A. 已知随机变量，若，则 B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 若为正实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式展开式中，的系数为______. 13. 已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为3∶2．根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修．若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为___________． 14. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 16. 某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 研究表明，温度突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差x（℃） 4 7 8 9 14 12 新增就诊人数y（位） 参考数据：，． （1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值； （2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）． 参考公式：，． 18. 已知函数 . （1）讨论的单调性； （2）已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的零点个数； （3）若对任意的，都有，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高二期末联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，列出分布列，再利用期望、方差定义计算作答. 【详解】依题意，的分布列为： 0 1 0.2 0.8 因此. 故选：D 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导求单调性即可求解. 详解】，令，解得， 所以函数在区间上单调递减. 故选：C. 3. 已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用缩小事件空间来求解. 【详解】第一次取得次品的条件下，第二次取产品时，共有6件产品，其中4件正品，所以第二次取得正品的概率为. 故选：B. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案． 【详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为， 又由，则，则， 则， 故选：A． 5. 在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（ ） A. 75 B. 150 C. 300 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，共有种分组方法，再分配到上午和下午，共有种分配方法. 【详解】解：共有(种)， 故选：C . 6. 已知今天是星期日，则经过天后是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用二项式定理即可求解. 【详解】 ， 由于能被7整除. 故除以7余3，今天是星期日，则天后是星期三. 故选：C. 7. 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”， 由全概率公式得. 又由贝叶斯公式得. 故选：B 8. 已知函数,则下面对函数的描述正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对函数求导，可以得到其导函数是增函数，利用零点存在性定理，可以将其零点限定在某个区间上，结合函数的单调性，求得函数的最小值所满足的条件，利用不等式的传递性求得结果. 【详解】因为，所以，导函数在上是增函数， 又，，所以在上有唯一的实根，设为，且，则为的最小值点，且， 即，故， 因为，由对勾函数可知，. 故选B. 点睛：该题考查的是有关函数最值的范围，首先应用导数的符号确定函数的单调区间，而此时导数的零点是无法求出确切值的，应用零点存在性定理，将导数的零点限定在某个范围内，再根据不等式的传递性求得结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）下列说法正确的是（    ） A. 已知随机变量，若，则 B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用二项分布的数学期望和方差的公式即可判断；对于B，根据古典概型的概率公式及排列组合知识即可判断；对于C，利用排列数和组合数的计算即可判断；对于D，利用超几何分布的概率即可判断. 【详解】对于A：根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，故A错误； 对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有（种）排法；两位女生不相邻的排法有（种），故两位女生不相邻的概率是，故B正确； 对于C：由，得，解得，故C确； 对于D：设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布， 所以，故D错误． 故选：． 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB：利用赋值法分析求解；对于C：相对于选4个，1个1或者选2个，3个，即可得结果；对于D：分析可得是的展开式的系数和，利用赋值法分析求解. 【详解】对于A，令，则； 令，则； 所以，故A错误； 对于B，令，则； 且，两式相加可得， 即，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以选4个，1个1或者选2个，3个， 即可求出展开式中的系数为，则，故C正确； 对于D，因为是的展开式的系数和， 所以令，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 若为正实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据幂函数与对数函数单调性分别判断AB；构造函数，进而研究其单调性判断C；构造函数，进而研究其单调性判断D. 【详解】解：对于A选项，因为函数在上单调递减，故当时，，故A选项错误； 对于B选项，由于函数在上单调递增，故当时，，故B选项正确； 对于C选项，令，则， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以与大小不定，故C选项错误； 对于D选项，令，则在上恒成立，故函数在上单调递增， 所以，当时，，即，故D选项正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，的系数为______. 【答案】10 【解析】 【分析】由二项式定理求解即可. 【详解】要中含有的项,则需要在5项中选取2个与3个相乘,故含有的项为 ,故的系数为10 故答案为10. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用与其中某项的系数问题,属于基础题型. 13. 已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为3∶2．根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修．若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可． 【详解】某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机， 设买到的计算机是A品牌为事件A，买到的计算机是B品牌为事件B， 则由题可知P(A)＝，P(B)＝， 从A品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件C， 从B品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件D， 则由题可知P(C)＝，P(D)＝， 由题可知A、B、C、D互相独立， 故从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为： P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝． 故答案为：． 14. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据，可得，再根据组合数的性质，计算即可得出答案. 【详解】根据题意可得， 因为 ， 即，所以或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 【解析】 【详解】试题分析：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=, P()=P(A)P()P()= （2）ξ的可能值为0,1,2,3, P(ξ=k)=(k=0,1,2,3) 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P Eξ=0×+1×+2×+3×= 考点：分布列和数学期望 点评：解决的关键是根据独立事件的概率的乘法公式，以及分布列的概念来求解，属于基础题． 16. 某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，与的临界值比较，得出结论； （2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计的值. 【小问1详解】 零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得 ， 根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关. 【小问2详解】 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有，， 所以， 则估计的值为. 17. 研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差x（℃） 4 7 8 9 14 12 新增就诊人数y（位） 参考数据：，． （1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值； （2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）． 参考公式：，． 【答案】（1） （2）33人 【解析】 【分析】（1）根据题意由求解； （2）根据样本相关系数，求得，再利用公式求得即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴，∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， 解得． ∴， ∴，当时，， ∴可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人． 18. 已知函数 . （1）讨论的单调性； （2）已知函数， 若 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，分类讨论、两种情况下的单调性即可； （2）将问题转化为在上恒成立，利用导数讨论函数的单调性可得，即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 当时，，在R上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 令，则， 即在上恒成立， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，即实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3、数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的零点个数； （3）若对任意的，都有，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到且，即可求得切线方程； （2）当时，求得，求得函数的单调性与最小值，即可得到函数的零点个数； （3）转化为任意的，不等式 成立，令，求得，结合，要使得恒成立，则满足，得到，根据，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 所以且，即切线的斜率为且切点坐标为， 所以切线方程为，即. 小问2详解】 解：当时，函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也为最小值， 所以，所以函数没有零点，即函数的零点个数为. 【小问3详解】 解：由对任意的，都有成立，即成立， 令，可得， 因为，要使得恒成立，则满足，即， 下面证明：当时，符合题意， 此时，令， 可得，所以为单调递减函数， 因为，所以，即 所以恒成立， 即当时，对任意的，都有成立， 综上可得，实数的最大值为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$