精品解析：山东省枣庄市第三中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

枣庄三中2023-2024学年度高一年级6月质量检测考试 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 2. 为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比公式进行求解即可. 【详解】根据分层抽样的性质可知： 高三年级抽取的人数为. 故选：B 3. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 4. 甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ） A. 两人都做对的概率是0.72 B. 恰好有一人做对的概率是0.26 C. 两人都做错的概率是0.15 D. 至少有一人做对的概率是0.98 【答案】C 【解析】 【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D. 【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9， 故两人都做对的概率是 ，所以A 正确； 恰好有一人做对的概率是 ，故B正确； 两人都做错的概率是，故C错误； 至少有一人做对的概率是，故D正确， 故选：C 5. 设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 6. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（ ）（附：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合圆台的侧面积公式分析求解. 【详解】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为， 由题意可知：，则圆台的母线长， 所以其侧面积为. 故选：B. 7. 如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】建系，用三角函数表示点，再将已知向量关系用三角函数表示，得出，最后用辅助角公式得到所求的最值关系，结合正弦函数得到最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设扇形的半径为，则， 设点， 因为， 所以，，所以，， 所以，， 因为，则， 当且时，取得最大值4. 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题关键是用三角函数表示出向量关系，得到关系式，再用辅助角公式得到所求的最值关系. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据化简可得，代入 ，所以，再根据正弦定理化简可得，进而根据余弦定理可得. 【详解】 由题意，为 的外心，为边上的中点，可得： ，因为，可得： ，又 ，所以有 即 ，因为 ，所以 ，又因为，所以 ，由余弦定理： 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】利用互斥，对立，相互独立的概念逐一判断. 【详解】对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件与是互斥事件，也是对立事件，AB正确； 对于C：如果取出的数为，则事件与事件均发生，不互斥，C错误； 对于D：， 则，即事件与不相互独立，D错误； 故选：AB. 10. 已知复数z，下列说法正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则， 若，即，即，则z为实数，故A正确； 若，即， 化简可得，即，即， 当时，，，此时不一定满足， 当时，，，此时不一定满足，故B错误； 若，即， 所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点， 且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确； 若，即， ，即， 化简可得，则且， 此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误； 故选：AC 11. 在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当，四棱锥的外接球的表面积是 C. 周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，先得到，故点在线段上，证明出，所以三棱锥为定值；B选项，点为线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径和外接球面积；C选项，取线段的中点，由对称性知，，数形结合得到，从而得到周长的最小值；D选项，由得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，求出圆的半径，得到轨迹长度. 【详解】A选项，当时，， 故，即， 故点在线段上， 连接，与相交于点，则为的中点，连接， 因为为的中点，所以，故三棱锥的体积为定值，A正确； B选项，当时，由A选项可知，，点为线段的中点， 连接相交于点，则⊥平面， 设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线， 其中，设，则， 由勾股定理得，即， 解得， 则表面积是，B正确； C选项，点在矩形及其内部，取线段的中点， 由对称性知，， ，此时三点共线， 又， ，C错误； D选项，因为 ，又点在矩形及其内部， 点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形， 又⊥平面，且， 故 ， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分， 如图，其中，， 故， 则， 则， 则轨迹长为，D正确. 故选：ABD 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差. 【详解】依题意，，，， ∴（分）， ∴全班学生的平均成绩为分． 全班学生成绩的方差为 故答案为： 13. 在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则B炮台与弹着点的距离为__________公里. 【答案】10 【解析】 【分析】设炮弹第一次命中点为，在中利用余弦定理求出，又二倍角公式求出，最后在中利用余弦定理计算可得. 【详解】 依题意设炮弹第一次命中点为，则，， ，， 在中， 即，解得， 所以，又为锐角，解得（负值舍去）， 在中， 所以，即炮台与弹着点的距离为公里. 故答案为：10 14. 如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解. 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 所以正四面体内切球的体积， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 故最大球体积为； 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 故中等球的体积为； 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 故最小求的体积为； 所以九个球的体积和， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出大球、中球以及小球的半径，由此结合体积公式即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，求； （2）若，求（用表示）； （3）若，求向量的夹角的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，应用向量数量积的运算律求； （2）由，进而两边平方即可求结果. （3）求得，，利用向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 根据题意，得到， 所以 【小问2详解】 【小问3详解】 ，又因为 16. 如图，在三棱柱中，，，，点E，F分别为BC，的中点． （1）求证：平面； （2）若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离． 【答案】（1）作的中点D，连接DF，DB， 因为点D，F分别为，的中点， 所以，且， 又由三棱柱的定义，结合点E为BC的中点可知：，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助中位线的性质及平行四边形的性质可得线线平行，结合线面平行判定定理即可得线面平行； （2）借助等体积法，有，可得点到平面的距离，即可得到点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作AC的中点G，连接，，，， 因为，，所以是正三角形， 又点G为AC的中点，所以， 由平面平面，有平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是三棱锥的高， 所以， 又因为平面，点到平面的距离即为点C到平面的距离， 又，， 设点C到平面的距离为d，则，解得． 17. 某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中x的值； （2）求这组数据的中位数、平均数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率. 【答案】（1）； （2）中位数，平均数77 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形面积之和为1求得； （2）根据频率分布直方图中中位数、平均数的计算方法求解； （3）抽中男生3人，女生2人，按古典概型求解. 【小问1详解】 依题意，得，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以中位数在间， 设为，则，解得. 平均数. 【小问3详解】 依题意，因为满意度评分值在的男生数与女生数的比为3：2， 按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人， 依次分别记为，，，，， 对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件， 设“前2人均为男生”为事件，其包含的基本事件有：，，，共3个， 所以. 18. 在中，为边上两点，且满足，，，， （1）求证：； （2）求证：为定值； （3）求面积的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）27 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和等量代换可得 （2）根据三角形面积公式结合条件可得，进而可得； （3）设，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的性质结合条件即得. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得, 在中，由正弦定理得， 又， 所以 【小问2详解】 由，，，， 所以, , 两式相乘得, 所以 【小问3详解】 设，则，由， 在中，， 则， ， 由，得， 当时，面积的最大值为27， 【点睛】思路点睛：对条件等式的转化，本题中，注意到有角的相等和边，结合图形容易看出几个等高的三角形，故考虑从面积的比入手探究，即得关键性结论，之后易于想到余弦定理和二次函数求最值即得. 19. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，. （1）证明：平面平面； （2）当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得，借助三角形全等得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）取PA中点，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判断性质求出线面角的正弦. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 显然，则，即， 由，，，得，则，即， 又，平面，于是平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，，即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则，， 于是，，而， 则，，，于是， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面，于是， 而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为，中，，， 所以直线BD与平面夹角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣庄三中2023-2024学年度高一年级6月质量检测考试 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 3. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ） A. 两人都做对的概率是0.72 B. 恰好有一人做对的概率是0.26 C. 两人都做错的概率是0.15 D. 至少有一人做对的概率是0.98 5. 设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（ ）（附：） A. B. C. D. 7. 如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立 10. 已知复数z，下列说法正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数 11. 在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当，四棱锥的外接球的表面积是 C. 周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________． 13. 在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则B炮台与弹着点的距离为__________公里. 14. 如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若，求； （2）若，求（用表示）； （3）若，求向量的夹角的大小. 16. 如图，在三棱柱中，，，，点E，F分别为BC，的中点． （1）求证：平面； （2）若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离． 17. 某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中x的值； （2）求这组数据的中位数、平均数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率. 18. 在中，为边上两点，且满足，，，， （1）求证：； （2）求证：为定值； （3）求面积的最大值． 19. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，且，，. （1）证明：平面平面； （2）当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面夹角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $