精品解析：福建省泉州科技中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

泉州科技中学2023-2024学年七年级第二学期期中考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150份） 一、选择题（本题共40分，每小题4分） 1. 2019年青岛空气质量优良指数排名入围全国城市前十，空气污染指数API值不超过50时，说明空气质量为优，相当于达到国家空气质量一级标准，其中API值不超过50时可以表示为（　　） A. API≤50 B. API≥50 C. API＜50 D. API＞50 2. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（　　） A. x＝ B. x＝ C. D. 3. 若方程3x-5=x+2m的解为x=2，则m的值为（ ） A. B. -2 C. 2 D. - 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 5. 已知,满足方程组，则无论取何值，,恒有关系式是( ) A. B. C. D. 6. 已知（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，则a的取值范围是（　　） A. a＞1 B. a＞2 C. a＜1 D. a＜2 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程组，那么代数式8x–y–z的值是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 若，则M、N、P之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题24分，每小题4分，将正确答案写在答题卡中的横线上） 11. x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为____． 12. 若实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是___________． 13. 对于任意有理数a，b，我们规定：．若，则______． 14. 已知，那么_________． 15. 不论x取何值等式2ax+b=4x﹣3恒成立，则a+b=_____． 16. [x]表示不超过x的最大整数．如，．则下列结论： ①； ②若，则x的取值范围是 ； ③当 时， 的值为1或2； ④是方程的唯一一个解． 其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题86分，每小题要有相应的解答过程） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 解方程组： （1）； （2） ． 19. 解不等式组：，并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 20. 我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内部分河道进行整治．现有一段长225米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治10米，乙工程队每天整治15米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米? （1）小强、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小强同学：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ②小华同学：设m表示______，n表示______； 则可列方程组为 请你补全小强、小华两位同学的解题思路． （2）请从①②两位同学的解题思路中任选一种，写出完整的解答过程． 21. 若关于，的方程组满足，求的取值范围． 22. 某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表： 第一次 第二次 甲品牌耳机（个） 20 30 乙品牌耳机（个） 40 50 总费用（元） 10800 14600 （1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？ （2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？ 23. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”； （2）若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解． 24. 问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 25. 如图，点A和点B在数轴上分别对应数a和b，其中a和b满足，原点记作O． （1）求a和b （2）数轴有一对动点和分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒． ①经过多少秒后满足在点B左边且？ ②另有动点从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在与之间，且满足，运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：，求符合条件m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州科技中学2023-2024学年七年级第二学期期中考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150份） 一、选择题（本题共40分，每小题4分） 1. 2019年青岛空气质量优良指数排名入围全国城市前十，空气污染指数API值不超过50时，说明空气质量为优，相当于达到国家空气质量一级标准，其中API值不超过50时可以表示为（　　） A. API≤50 B. API≥50 C. API＜50 D. API＞50 【答案】A 【解析】 【分析】根据API值不超过50列出不等式即可. 【详解】解：API值不超过50时可以表示为API≤50. 故选A 【点睛】本题考查了对不等式概念的理解和应用，根据题意熟练转化为不等式表达是解题的关键. 2. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（　　） A. x＝ B. x＝ C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程，将看作常数即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 3. 若方程3x-5=x+2m的解为x=2，则m的值为（ ） A. B. -2 C. 2 D. - 【答案】D 【解析】 【分析】方程的解就是能够使方程两边相等的未知数的值，已知x=2是方程的解，就是用2代替方程中的x，得到的式子成立，实际得到一个关于m的方程，就可求得m的值． 【详解】解：把x=2代入方程得：1=2+2m， 解得：m=− 故选D． 【点睛】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式，根据不等式的解集表示在数轴上即可求解． 【详解】解： 解得： 在数轴上表示不等式的解集，如图， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式的解集的方法是解题的关键． 5. 已知,满足方程组，则无论取何值，,恒有关系式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程组中两个方程相加得出，整理后即可得出答案． 【详解】解：由方程组， ①②得：， 即， 故选：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，本题基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是对消元法的考核． 6. 已知（a﹣1）x＞a﹣1的解集是x＜1，则a的取值范围是（　　） A. a＞1 B. a＞2 C. a＜1 D. a＜2 【答案】C 【解析】 【详解】解：（a﹣1）x＞a﹣1解集为x＜1，符号变化了说明a-1＜0.解得a＜1. 选C 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5，木长-绳长=1，据此可以列方程求解； 【详解】设绳子长x尺，木长y尺， 依题意可得：， 故选：C 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列方程求解． 8. 若关于的不等组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解关于x的不等式组，再根据无解求出a的取值范围，即可得出答案． 【详解】根据解得 又∵不等式组无解 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查的是不等式的解集，注意口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解” ． 9. 已知方程组，那么代数式8x–y–z的值是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据“3x−y−2z＝1”，得到−y−z＝1＋z−3x，代入8x−y−z得：5x＋z＋1， ①＋②得：5x＋z＝6，代入5x＋z＋1，即可得到答案． 【详解】解：∵3x−y−2z＝1， ∴−y−z＝1＋z−3x， 8x−y−z＝1＋z−3x＋8x＝5x＋z＋1， ， ①＋②得： 5x＋z＝6， 即8x−y−z＝6＋1＝7， 故选B． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，正确掌握解三元一次方程组的方法是解题的关键． 10. 若，则M、N、P之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件a+b+c=1将M、N、P变形，然后由不等式的基本性质，结合a>0>b>c的条件即可求解． 【详解】∵ ∴，，. ∴， ， . ∵， ∴， ∴， 即M>P>N. 故选D. 【点睛】本题考查代数式比较大小，根据条件将式子变形是解题的关键. 二、填空题（本题24分，每小题4分，将正确答案写在答题卡中的横线上） 11. x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为____． 【答案】x2＋y2≥0 【解析】 【详解】解：x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为x2＋y2≥0．故答案为x2＋y2≥0． 12. 若实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是___________． 【答案】15 【解析】 【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：根据题意得，a−3＝0，b−6＝0， 解得a＝3，b＝6． ①若a＝3是腰长，则底边为6，三角形的三边分别为3、3、6， ∵3＋3＝6， ∴不能组成三角形， ②若a＝6是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为6、6、3， 能组成三角形， 周长＝6＋6＋3＝15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解． 13. 对于任意有理数a，b，我们规定：．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据新运算得出方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和新定义运算，能根据题意列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 14. 已知，那么_________． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知可得，然后将所求的代数式变形为后再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了代数式求值，属于基本题型，熟练掌握整体代入的思想方法是解答的关键． 15. 不论x取何值等式2ax+b=4x﹣3恒成立，则a+b=_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据等式恒成立的条件可知，当x取特殊值0或1时都成立，可将条件代入，即可求出a与b的值． 【详解】∵不论x取何值等式2ax+b=4x-3恒成立， ∴x=0时，b=-3，x=1时，a=2， 即a=2，b=-3， ∴a+b=2+（-3）=-1． 故答案为-1． 【点睛】本题主要考查等式的性质．需利用等式的性质对根据已知得到的等式进行变形，从而找到最后的答案． 16. [x]表示不超过x的最大整数．如，．则下列结论： ①； ②若，则x的取值范围是 ； ③当 时， 的值为1或2； ④是方程的唯一一个解． 其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据定义的新运算：表示不超过的最大整数．一一进行判断即可． 【详解】解：①当时，，不相等，故原来的说法错误； ②若，则x的取值范围是是正确的； ③当时， 当时， 当时， 故当时，的值为1或2是正确的； ④的范围为0～1， 即 或都是方程故原来的说法错误． 故答案为②③． 【点睛】本题主要考查定义新运算问题，根据定义的新运算进行解答即可. 三、解答题（本题86分，每小题要有相应的解答过程） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程和一般步骤是解题的关键． （1）按移项、合并同类项的步骤计算即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项计算即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 合并同类项得：; 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 18. 解方程组： （1）； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本师考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 由，得， 解得：， 把代入②得， ∴； 【小问2详解】 解：， 由，得， 解得：， 把代入①，得， ∴． 19. 解不等式组：，并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】 解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 20. 我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内部分河道进行整治．现有一段长225米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治10米，乙工程队每天整治15米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米? （1）小强、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小强同学：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ②小华同学：设m表示______，n表示______； 则可列方程组为 请你补全小强、小华两位同学的解题思路． （2）请从①②两位同学的解题思路中任选一种，写出完整的解答过程． 【答案】（1）①225，，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2） 解：选择① 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 答：甲工程队整治河道150米，乙工程队整治河道75米． 选择② 设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度： (米)；乙整治的河道长度： (米)． 答：甲工程队整治河道150米，乙工程队整治河道75米． 【解析】 【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成225米的整治河道任务且共同用时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义即可； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【小问1详解】 解：①， 故答案为：225，，； ②m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数， 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 21. 若关于，的方程组满足，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式，熟练掌握用加减法解二元一次方程组是解题的关键． 先用加减法解方程组得，，从而得，再根据得出，解之即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表： 第一次 第二次 甲品牌耳机（个） 20 30 乙品牌耳机（个） 40 50 总费用（元） 10800 14600 （1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？ （2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？ 【答案】（1）甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元 （2）50个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意列二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键； （1）根据第一次和第二次的总费用，列方程组求解即可； （2）根据总价不超过35000，甲品牌耳机数量不少于30个，列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元． 【小问2详解】 设第三次购进甲品牌耳机m个，则购进乙品牌耳机个， 根据题意，得， 解得， ∴m的最大值为50． 答：最多能购进50个甲品牌耳机． 23. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． （1）请判断方程与方程是否互为“美好方程”； （2）若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解． 【答案】（1）方程与方程互为“美好方程”． （2）． 【解析】 【分析】（1）分别求得两个方程的解，在利用“美好方程”的定义进行判断即可． （2）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于的方程变形，利用同解方程的定义即可求得的值，从而求得方程的解． 【小问1详解】 解：方程与方程互为“美好方程”，理由如下： 解方程得， 解方程得， ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”． 【小问2详解】 解：解方程得， ∵关于方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将变形为， ∴， ∴， ∴方程的解为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义是解答本题的关键，本题属于新定义型题，理解并熟练运用新定义解答也是本题的关键． 24. 问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【答案】（1）； （2）， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）1330朵 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，可得，即可求解； （3）黄花一共用了M朵．则，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：（1）得， 故答案为：． （2）略 （3）设黄花一共用了M朵．则， 由题意，得， 由，得④， 由，得，即． 答：黄花一共用了1330朵． 25. 如图，点A和点B在数轴上分别对应数a和b，其中a和b满足，原点记作O． （1）求a和b （2）数轴有一对动点和分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒． ①经过多少秒后满足在点B左边且？ ②另有动点从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在与之间，且满足，运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：，求符合条件m的取值范围． 【答案】（1）， （2）①经过秒后满足在点B左边且；② 【解析】 【分析】（1）移项后，根据非负数的性质求解即可； （2）①设运动时间为t秒，根据数轴上两点间距离表示出和，再结合已知得出方程，即可求出t的值；②设的速度为每秒个单位，则对应的数为，再表示出，代入可求出，再表示出，结合已知得到，然后根据t的取值范围求出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：①设运动时间为t秒， 则t秒后点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 由得：， 解得：， 即经过秒后满足在点B左边且； ②设的速度为每秒个单位，则对应的数为 ， ， 解得：， ， 当，即时， 可得， 当时，即时， 可得， 运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：， ，此时， ， ， ， 即符合条件的m的取值范围为：． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等知识，能够根据数轴特点表示出某时刻的动点所表示的数是解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $