精品解析：河北省秦皇岛市卢龙县第二高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第七章7.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某天从甲地到乙地的高铁有8班，动车有2班，其他列车有4班．小红想在这一天坐火车从甲地到乙地，则不同的选择方案共有（ ） A 10种 B. 14种 C. 32种 D. 64种 2. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. 9 B. 6 C. 12 D. 8 3. 小明参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则小明晋级的概率为（ ） A. 0.64 B. 0.68 C. 0.72 D. 0.76 4. 已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 1是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 5. 某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天连休假期，则不同的值班安排共有（ ） A. 60种 B. 66种 C. 72种 D. 78种 6. 若随机变量X的分布列为（ ） X 2 3 10 P 0.2 0.2 0.6 则（ ） A. 5 B. 7 C. 13.6 D. 14.6 7. 若函数是上的减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 今天是星期天，则天后是（ ） A 星期五 B. 星期六 C. 星期天 D. 星期一 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. 若，则 C. 若，则可能为0.15 D. 若X服从两点分布，且，则 10. 已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 的最大值为 11. 边长为2个单位长度正方形如图1所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形和的组合图形如图2所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形，和的组合图形如图3所示.依此类推，得到图，则（ ） A. 图3中矩形的个数为11 B. 图4中矩形的个数为19 C. 图10中矩形的个数为81 D. 图1至图20中所有知形的个数之和为1732 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 在二项式的展开式中，常数项是第__________项． 13. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次性从中摸出6个球，至少摸到2个白球就中奖，则中奖的概率为__________． 14. 做一个容积为的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为______，表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）求； （2）求． 16. 3月29日，“本草健康”展览在国家自然博物馆开展．“本草健康”展览共分为“本草释义”“本草传奇”“本草养生”“本草拾趣”四个单元．已知甲、乙计划依次参观该展览的四个单元． （1）若甲、乙参观第一个单元均为“本草拾趣”，试问共有多少种不同的参观方案？ （2）若甲参观“本草释义”与“本草传奇”单元的顺序相邻，且甲参观的第一个单元与乙参观的第四个单元不相同，试问共有多少种不同的参观方案？ 17. 已知数列的前项和为，，，且. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，数列的前项和为，证明：. 18. 京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的. （1）甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列. （2）乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒? 19. 已知函数（，），且曲线在点处的切线经过点. （1）求； （2）求的单调区间； （3）若，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第七章7.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某天从甲地到乙地的高铁有8班，动车有2班，其他列车有4班．小红想在这一天坐火车从甲地到乙地，则不同的选择方案共有（ ） A. 10种 B. 14种 C. 32种 D. 64种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理计算即可. 【详解】由分类加法计数原理，得从甲地到乙地不同的方案数为， 故选：B. 2. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. 9 B. 6 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式可求. 【详解】因为等比数列的公比为，， 则. 故选：A. 3. 小明参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则小明晋级的概率为（ ） A. 0.64 B. 0.68 C. 0.72 D. 0.76 【答案】D 【解析】 【分析】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级，可得，，利用全概率公式可求小明晋级的概率. 【详解】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级， 由题意可得，， 所以由全概率公式得. 故选：D. 4. 已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 1是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数大于0和小于0 确定的单调性，结合极值点的定义，即可得到答案. 【详解】由图象可知，定义域，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，无极小值点， 故选：D. 5. 某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（ ） A. 60种 B. 66种 C. 72种 D. 78种 【答案】C 【解析】 【分析】因甲乙都至少需要三天的连休假期，故采用“特优法”分步计数，先排好甲和乙，再考虑安排其他三人即得. 【详解】由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成： 第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙，有种方法； 第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同值班安排共有种． 故选：C. 6. 若随机变量X的分布列为（ ） X 2 3 10 P 0.2 0.2 0.6 则（ ） A. 5 B. 7 C. 13.6 D. 14.6 【答案】C 【解析】 【分析】利用数学期望的计算公式可求，进而利用差公式可求得. 详解】由题意得， 所以. 故选：C. 7. 若函数是上的减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对原函数化简，，结合减函数，则在上恒成立，换元求出最小值，即得答案. 【详解】， 则， 因为是上的减函数，则恒成立， 即恒成立， 即， 令，， 令，， 则在对称轴时，， 所以， 故选：A. 8. 今天是星期天，则天后是（ ） A. 星期五 B. 星期六 C. 星期天 D. 星期一 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】因为， 所以除以7的余数为6，所以天后是星期六． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. 若，则 C. 若，则可能为0.15 D. 若X服从两点分布，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据事件独立性的定义判断A；根据条件概率的概率公式判断B，C；根据两点分布特征判断D. 【详解】对于A，根据事件独立性的定义，若，则A与B相互独立，A正确； 对于B，，，得，B错误； 对于C，，所以，C错误； 对于D，，D正确， 故选：AD. 10. 已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项分布的期望方差公式判断A、C，根据二项分布的概率公式判断B，由，令，利用导数求出函数的最大值，即可判断D. 【详解】因为， 由，解得，所以，故A正确． ，故B正确． 由，解得或，所以或，故C错误． ， 设函数， 则． 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以的最大值为，故D正确． 故选：ABD 11. 边长为2个单位长度的正方形如图1所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形和的组合图形如图2所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形，和的组合图形如图3所示.依此类推，得到图，则（ ） A. 图3中矩形的个数为11 B. 图4中矩形的个数为19 C. 图10中矩形的个数为81 D. 图1至图20中所有知形的个数之和为1732 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图3可得A正确，图4可得B错误；由图推理从第三项开始，该数列成公差为10的等差数列，求出通项，再求出图10中矩形的个数可得C正确；由等差数列的前项和公式可得D正确. 【详解】A：在图3的正方形EFGH中，有9个矩形，再加上正方形ABCD，CIJK，所以图3中矩形的个数为11，故A正确； B：如图4，在图4的正方形CIJK中，有9个矩形，与图3中的矩形相比，重合了矩形CQGR，CIJK，多了矩形OISH，PFTK，再加上正方形GLMN，所以图4中矩形的个数为，故B错误； C：依此类推，可知从图3开始，往后的每个图形中的矩形都比前一个图形中的矩形多10个，设图1，图2，图3，…，图中的矩形个数分别为，则从第三项开始，该数列成公差为10的等差数列．易得，则，所以，故C正确； D：，所以图1至图20中所有矩形的个数之和为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 在二项式的展开式中，常数项是第__________项． 【答案】11 【解析】 【分析】求出通项，找到常数项，然后确定第几项即可. 【详解】的通项公式为， 常数项时，则， 所以常数项是第11项， 故答案为：11 13. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次性从中摸出6个球，至少摸到2个白球就中奖，则中奖的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布概率公式，即可求解. 【详解】记中奖为事件，概率为，所以中奖的概率为， 故答案为：. 14. 做一个容积为的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为______，表面积为______. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】根据已知得到条件等式，然后将圆柱的表面积表示为的函数，利用导数即可求解. 【详解】设该容器的底面半径为，高为，表面积为．由，得． 所用材料最省即该容器的表面积最小，则． 令函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使所用材料最省，则该容器的底面半径为，表面积为． 故答案为：5；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出通项公式，根据通项公式求出，即得结果； （2）赋值，结合，即得结果. 【小问1详解】 的通项公式为， 所以，， 所以. 【小问2详解】 令，得， 所以. 16. 3月29日，“本草健康”展览在国家自然博物馆开展．“本草健康”展览共分为“本草释义”“本草传奇”“本草养生”“本草拾趣”四个单元．已知甲、乙计划依次参观该展览的四个单元． （1）若甲、乙参观的第一个单元均为“本草拾趣”，试问共有多少种不同的参观方案？ （2）若甲参观“本草释义”与“本草传奇”单元的顺序相邻，且甲参观的第一个单元与乙参观的第四个单元不相同，试问共有多少种不同的参观方案？ 【答案】（1）36 （2）216 【解析】 【分析】（1）利用分步计数原理可求总的方法数； （2）利用分步计数原理可求总的方法数. 【小问1详解】 第一步，排甲的参观顺序有种不同的参观方案， 第二步按排乙的参观顺序有种不同的参观方案， 故共有种不同的参观方案. 【小问2详解】 第一步，排甲的参观顺序有种不同的参观方案， 第二步按排乙参观顺序有种不同的参观方案， 故共有种不同的参观方案. 17. 已知数列的前项和为，，，且. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用等差数列的定义证明所给数列是等差数列. （2）根据（1）的结论，转化成由与的关系求通项公式. （3）利用裂项求和法求，再比较与的大小. 【小问1详解】 证明：将两边同时除以，得． 当时，， 所以是以1为首项，为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）得，则．① 当时，．② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以． 【小问3详解】 证明：由（2）得， 所以 因为，所以 18. 京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的. （1）甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列. （2）乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒? 【答案】（1）答案见解析； （2）2个. 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列. （2）分别求出三种方案总费用的期望值，比较它们的大小，即可得出答案. 【小问1详解】 由题意可知，的取值可能是 则， ， ， 的分布列为 2 3 4 【小问2详解】设乙购买个盲盒，集齐一套京剧脸谱娃娃所需总费用为（单位：元）， 则的取值可能是1，2，3. 方案一：购买1个盲盒，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃， 则总费用元． 方案二：购买2个盲盒，当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式相同时， 直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为； 当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式不相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃， 总费用元，概率为． 所以购买2个盲盒的总费用的期望值为元． 方案三：购买3个盲盒，当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均相同时， 直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为； 当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃恰有两个款式相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃， 总费用元，概率为； 当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均不相同时，总费用元， 概率为． 所以购买3个盲盒的总费用的期望值为元． 因为方案二购买费用的期望值最小，所以乙应购买2个盲盒． 19. 已知函数（，），且曲线在点处的切线经过点. （1）求； （2）求单调区间； （3）若，，证明：. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，由题意可得，解方程即可得出答案； （2）对求导，判断与0的大小即可求出的单调区间； （3）令，对求导，可证得，设函数，由此对放缩可证得，再由可得，同理证得，即可证明. 【小问1详解】 解：， 由题意得， 则， 得，又，所以． 【小问2详解】 解：由（1）可知． 因函数均为增函数，所以为增函数． 易得，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问3详解】 证明：由题意得，设函数，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则，即（当时，等号成立）． 设函数， 则，因为，所以 由，得 同理，，得． 由，得，所以． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于令，对求导，可证得，设函数，由此对放缩可证得，再由可得，同理证得，即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$