精品解析：江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高一下学期5月阶段检测数学试题

2023—2024学年度春学期5月阶段检测试卷 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 和不共线，故A能构成基底， 和共线，故B不能构成基底， 和不共线，故C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底， 故选：B 2. 已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（ ）. A. 2.75 B. 2.80 C. 2.81 D. 2.82 【答案】B 【解析】 【分析】由于样本数据是从小到大排列的，由百分位数的定义得到第75百分位数是第8个数． 【详解】因为10个样本数据是从小到大排列的，且， 所以第75百分位数是第8个数2.80． 故选：B 3. 已知一个水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45º，上底长为1，下底长为2的等腰梯形，则四边形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求直观图等腰梯形的面积，结合原图与直观图之间的关系运算求解即可. 【详解】由题意可知：等腰梯形的高为， 可得等腰梯形的面积为， 所以四边形ABCD的面积为. 故选：A. 4. 已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）. A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一分析判断，选出正确的命题即可. 【详解】对于选项A，因为，则垂直平面内任意一条线，又，所以， 所以，则有，所以选项A正确； 对于选项B，当，时，有或，所以选项B错误； 对于选项C，当，，，时，与可以相交，所以选项C错误； 对于选项D，若，，时，有或与异面，所以选项D错误. 故选：A. 5. 已知向量与的夹角为，，，则（ ）. A. B. C. 或 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】由向量模的坐标运算及数量积的运算律可得，再由数量积的定义求解即可. 【详解】因为，所以，又，所以， 因为向量与的夹角为，所以， 所以. 故选：B 6. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A. 3，4 B. 3，8 C. 2，4 D. 2，8 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，，的平均数是1，方差是2，可计算出、值，代入另一组的平均数和方差的计算公式即可． 【详解】由题知，， ， ． 另一组数据的平均数 ， 另一组数据的方差 ． 故选：B． 7. 已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，推理得到，再由投影向量求得，联立得到，利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】因为是单位向量，且， 两边平方得，，即（*）， 由在上的投影向量为，可得， 所以，即，代入（*）可得，，即， 所以， 因为，所以． 故选：B． 8. 已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由余弦定理可得，则， 由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，，所以，， 又因为函数在内单调递增，所以，，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， ， 因为，则， 因为存在最大值，则，解得. 故选：C. 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF异面 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面是平行四边形 D. 点C和点B到平面的距离相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图可知直线与直线AF异面，利用面面平行的判定定理以及面面平行的性质可证明平面；将平面扩大至与相交于点，即可得截面为等腰梯形，显然平面将线段平分，所以C和B到平面的距离相等. 【详解】对于选项A，由图可知AF与显然不平行，且不相交，所以AF与异面，选项A正确； 对于选项B，取的中点为M，连接、，如下图所示： 易知，且平面，平面， 所以平面， 又易知，，因此， 平面，平面，所以平面； ，可得平面平面， 又平面，从而平面，选项B正确； 对于选项C，连接，，如下图所示： 易知，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，选项C错误； 对于选项D，平面过的中点E，即平面将线段平分， 所以C与B到平面的距离相等，选项D正确. 故选：ABD. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为偶数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义及古典概型公式，逐项判断得解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，样本空间， 则，，，， 对于A，，与互斥，A正确； 对于B，，与互为对立事件，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：ABD 11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A、B，利用向量减法的几何意义，结合数量积的定义式，化简，根据角的取值范围，可得答案; 对于C、D，由题意作图，根据几何性质，求得边长，结合向量加法与数乘，可得答案. 【详解】对于A，， 因为．所以，所以， 即，A正确；B错误； 对于C，如图，当时，可判断为中点，， 则，，作，则四边形为平行四边形， 则，，所以，， 所以．所以，C错误，D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设圆台的母线长为，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解． 【详解】用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2， 设圆台的母线长为， 该圆台的侧面积为， 由圆台侧面积公式可得， 解得， 设截去的圆锥的母线为， 由三角形相似可得， 则，解得， 原圆锥的母线长为． 故答案为：． 13. 已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】在正四棱柱中，连接，则为直线与平面所成角，结合题中的条件可得侧棱长，进一步得到外接球的半径，得到答案. 【详解】连接，在正四棱柱中，平面， 所以为直线与平面所成角， 因为在等腰直角三角形中，，所以， 在直角三角形中，， 所以，， 又正四棱柱的外接球的直径为，则半径. 所以球的表面积为：. 故答案为： 14. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案. 【详解】由余弦定理得，， 而由，得， 因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或， 当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值和第25百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率． 【答案】（1），第25百分位数为30 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1可求的值，判断第25百分位数在第二组，设为，列方程可求解； （2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 , 因为第一组的频率为，， 第二组的频率为，， 所以第25百分位数在第二组，设为，则， 所以第25百分位数为30. 【小问2详解】 年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为， 用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人， 设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，， 从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种， 其中2名年龄都在内的样本事件有种， 所以两名幸运市民年龄都在内的概率为． 16. 如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点． （1）求证：平面平面； （2）设平面与平面的交线为l，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件证明即可推理作答. (2)连接，证明平面，再结合线面平行的性质即可推理作答. 【小问1详解】 三棱柱中，平面ABC，而平面ABC，则， 又，，平面，于是得平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 连接，如图，因点M，N分别是线段，的中点，则，因平面，平面， 因此，平面，而平面平面，平面， 所以. 17. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人租车时间超过三小时，且不超过四小时的概率； （2）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； （3）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）设甲、乙两人所付的租车费用之和为元，则表示两人的租车费用之和为元，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 甲租车时间超过三小时且不超过四小时的概率为， 乙租车时间超过三小时且不超过四小时的概率为． 【小问2详解】 甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为元、元、元三种情况． 都付元的概率为； 都付元的概率为； 都付元的概率为． 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率． 【小问3详解】 设甲、乙两人所付的租车费用之和为元， 则表示两人的租车费用之和为元， 其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元． 所以可得． 即甲、乙两人所付的租车费用之和为元的概率为． 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）设，当的值最大时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边转角，再结合条件即可求出结果； （2）根据条件，利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用边转角得到，再根据条件得到，进而求出，再利用，求出，再求出，利用面积公式即可求出结果. 【小问1详解】 由题意在中，，，由正弦定理得， 又因为，故，故， 又，所以，得到. 【小问2详解】 由题意及（1）知，，，由正弦定理知外接圆直径， 故 ， ， 其中，且， 因为，故，而， 故的最大值为1，此时，即 故，， 所以， 又， 故， 此时. 19. 如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即. ∵平面平面， 且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）在长方形中可知，，根据面面垂直的性质定理可以证明. （2）取的中点，连接，则，由面面垂直的性质定理可以证明平面，进而求出. （3）连接交于点，假设在上存在点P，使得平面，根据平行线的性质结合平面几何知识即可得到与之间的关系. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图所示，取的中点，连接，则，且. ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， ∴. 【小问3详解】 连接交于点，假设在上存在点P，使得平面，连接. ∵平面，平面平面， ∴，∴在中，. ∵，∴， ∴，即， ∴在棱上存在一点P，且， 使得平面. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键是确定动点P的位置，使得//，利用三角形相似得出与之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度春学期5月阶段检测试卷 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（ ）. A. 2.75 B. 2.80 C. 2.81 D. 2.82 3. 已知一个水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45º，上底长为1，下底长为2的等腰梯形，则四边形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）. A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 5. 已知向量与的夹角为，，，则（ ）. A. B. C. 或 D. 以上都不对 6. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A. 3，4 B. 3，8 C. 2，4 D. 2，8 7. 已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF异面 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面是平行四边形 D. 点C和点B到平面的距离相等 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为偶数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. D. 11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为___________ 13. 已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为_____________. 14. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值和第25百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率． 16. 如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点． （1）求证：平面平面； （2）设平面与平面的交线为l，求证：． 17. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人租车时间超过三小时，且不超过四小时的概率； （2）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； （3）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）设，当的值最大时，求的面积． 19. 如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $