精品解析：上海市长宁区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期初二数学教学质量调研试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分） 1. 一次函数的图象不会经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于向量说法错误的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 向量的大小叫做向量的模 C. 长度为零的向量叫做零向量 D. 零向量是没有方向的 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 必然事件的概率为1 B. 随机事件的概率为0.5 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 概率很大的事件一定发生 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 等腰梯形是中心对称图形 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等． 6. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分） 7. 直线的截距是________． 8. 方程的解为_____． 9. 如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是________． 10. 如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是________． 11. 如果直线与直线没有交点且过点，那么的值为_____． 12. 已知一次函数图像上两点，，当时，，那么m的取值范围是______． 13. 一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有________个球． 14. 某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为x人，那么可列出方程________． 15. 如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是________． 16. 已知矩形两对角线夹角为60°，对角线长为2cm，则矩形面积为________. 17. 如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长x的取值范围是________． 18. 如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为________． 三、解答题（本大题共7题，第19、20题每题5分，第21题6分，第22题7分，第23题9分，第24题9分，第25题11分，满分52分） 19. 解方程：． 20. 解方程组： 21. 如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． （1）填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是______； （2）求作：（不作法，保留作图痕迹，写出结论）． 22. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示． （1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， （2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 23. 已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F． （1）如果，求证：四边形为正方形； （2）联结，如果，求证：四边形为矩形． 24. 如图，在直角坐标平面内，直线与y轴交于点A，与双曲线交于点B． （1）连结，如果的面积为6，求直线的表达式； （2）点C在x轴负半轴上，点D在的延长线上，如果四边形是菱形，求点B的坐标． 25. 定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” （1）如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， （2）在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期初二数学教学质量调研试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分） 1. 一次函数的图象不会经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由解析式可得，，可知一次函数图象经过一、三、四象限，进而即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数， ∴，， ∴一次函数图象经过一、三、四象限，不会经过第二象限， 故选：． 2. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，掌握用换元法解分式方程是关键．用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法． 设，将方程变形后整体代换计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设， 根据题中所设可得原方程变形为． 故选：B． 3. 下列关于向量说法错误的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 向量的大小叫做向量的模 C. 长度为零的向量叫做零向量 D. 零向量是没有方向的 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 既有大小，又有方向的量叫做向量，故该选项正确，符合题意； B. 向量的大小叫做向量的模，故该选项正确，符合题意； C. 长度为零的向量叫做零向量，故该选项正确，符合题意； D. 零向量有方向的，但方向不是确定的，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了向量的相关定义，熟练掌握向量的定义是解题的关键． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 必然事件的概率为1 B. 随机事件的概率为0.5 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 概率很大的事件一定发生 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，记为；概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率． 根据概率的意义和必然发生的事件的概率、不可能发生事件的概率对选项进行判断即可． 【详解】解：A、必然事件发生的概率是1，此选项正确； B、随机事件发生的概率在0与1之间，此选项错误； C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，此选项错误； D、概率很大的事件不是一定发生，而是发生的机会较大，此选项错误； 故选：A． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 等腰梯形是中心对称图形 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，菱形的性质、正方形的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项是错误的； C、菱形的对角线互相垂直且平分，不是相等，故该选项是错误的； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等．故该选项是正确的； 故选：D． 6. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分） 7. 直线的截距是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，关键是明白截距的概念，以及求法． 一次函数的截距就是当时，的取值． 【详解】解：∵， ∴当时，． 故答案为：． 8. 方程的解为_____． 【答案】x=2 【解析】 【分析】将无理方程两边同时乘方，即可解答. 【详解】方程两边平方得：x﹣1＝1， 解得：x＝2， 经检验x＝2是原方程的解， 故答案为x＝2 【点睛】本题考点为无理方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键. 9. 如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解． 依据题意，由一次方程无解，从而，故可得解． 【详解】解：由题意，∵无解， ， ， 故答案为：． 10. 如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 11. 如果直线与直线没有交点且过点，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据直线与直线没有交点，且过点得，解方程组即可，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 【详解】解：∵直线与直线没有交点，且过点， ∴，解得：， 故答案为：． 12. 已知一次函数图像上两点，，当时，，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得随的增大而减小，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵一次函数图像上两点，，当时，， ∴随的增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟记一次函数的增减性是解本题的关键． 13. 一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有________个球． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．根据概率公式列方程计算． 【详解】解：设袋子中共有x个球，根据题意得： ， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：8． 14. 某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树的同学人数为x人，那么可列出方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划参加植树的同学人数为人，根据“结果每人比原计划少植树1棵”列出分式方程即可． 【详解】解：假设实际参加植树的同学人数为x人，则原计划参加植树的同学人数为人， 依题意得， 故答案为：． 15. 如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的边数与对角线条数的关系，解题的关键是熟练掌握边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为． 根据边形从一个顶点出发的对角线最多可画的条数为，求出多边形的边数即可． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发的对角线最多可画9条， ∴， ∴多边形的边数为：． 故答案为：12． 16. 已知矩形两对角线夹角为60°，对角线长为2cm，则矩形面积为________. 【答案】cm2 【解析】 【详解】分析：作出图形，根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OB，然后求出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB，再利用勾股定理列式计算即可得解． 详解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=×2=1． ∵两对角线的夹角∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=1．在Rt△ABC中，矩形的长BC===． 故答案为cm2． 点睛：本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 17. 如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了梯形中位线，梯形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形三边关系等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 根据题意算出另外一条底边长，延长使，连接，则，证明四边形是平行四边形，得出，再根据三边关系即可解答， 【详解】如图，是梯形，为梯形的中位线，则， ∴， 延长使，连接，则， ∵是梯形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案． 【详解】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、 由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且 四边形是正方形 ，， ， 在和中 ，， 四边形是矩形 又垂直平分， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，第19、20题每题5分，第21题6分，第22题7分，第23题9分，第24题9分，第25题11分，满分52分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，化简为，再去括号合并同类项得，再运用因式分解法进行解方程，注意验根，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 则 解得 经检验：是原分式方程的解；是原分式方程的增根 ∴方程的解为 20. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键． 由得或，从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可． 【详解】解：， 将②变形可得， 即或， 故方程组可变形得或， 解得或， 故原方程组的解为或． 21. 如图，平行四边形中，点E为中点，把图中的线段都画成有向线段． （1）填空：在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是_______，与互为相反向量的向量是______； （2）求作：（不作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】（1）；， （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平面向量、平行四边形的判定与性质、相等向量、互为相反向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的判定可知，四边形为平行四边形，则，结合相等向量的定义，即与长度相等，方向相同，可得出答案．与互为相反向量即与长度相等，方向相反，即可得答案． （2）如图，延长到，使得，连接．推出即为所求． 【小问1详解】 解：∵点E为中点， ， ∴与相等的向量为，与互为相反向量的向量是， 故答案为：；，； 【小问2详解】 如图，延长到，使得，连接． 根据（1）可得与相等的向量为， 结合图象可得 ， ∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∴， ∴． ∴即为所求． 22. 某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示． （1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， （2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可； （2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解． 【小问1详解】 解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点， ∴，解得：， ∴； 当时：，解得：， ∴； 【小问2详解】 由图象可知，军车的速度为：， ∴军车到达仓库所用时间为：， 从仓库到达基地所用时间为：， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键． 23. 已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F． （1）如果，求证：四边形为正方形； （2）联结，如果，求证：四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∵是边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过矩形的性质得出证明，得出，再结合矩形的性质，即可作答． （2）经过角的等量代换得出，结合，得出，证明，得出，得出四边形是平行四边形，结合，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在直角坐标平面内，直线与y轴交于点A，与双曲线交于点B． （1）连结，如果的面积为6，求直线的表达式； （2）点C在x轴负半轴上，点D在的延长线上，如果四边形是菱形，求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出，再根据的面积为6，算出，然后代入反比例进行计算，即可作答． （2）结合四边形是菱形，得证，则，根据角的等量代换得出，结合角平分线的性质得出，再设点，然后代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵直线与y轴交于点A， ∴时，则， ∴ ∴ ∵的面积为6 ∴ ∵点B在第四象限 ∴； 把代入 ∴ ∴ 设直线的表达式为 把和代入 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：如图：分别过点作轴，点作轴， ∵四边形是菱形，点D在的延长线上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∵轴，轴， ∴ 设点 ∵点B在双曲线交于 ∴ ∴（负值舍去） ∴． 25. 定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” （1）如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， （2）在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据四边形为菱形，得出，结合点为边中点，得出，，即可得到，即可证明； （2）①根据是梯形，，得到，结合“加和角梯形”中，为“加和角”，即可求出，分别过点、作、，垂足分别为点G，H，则，证出四边形为矩形，得到，证明，得到，求出，，，证明，根据勾股定理求出，在中，根据直角三角形的性质得出，，从而求出，，即可求解； ②由为“加和角”，可得，过点作于点，可得四边形为矩形，得出，由点为中点，，可得，分为当时和当时，分别作图求解即可； 【小问1详解】 ∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． 【小问2详解】 ①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，梯形的性质，矩形的性质和判定，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $