精品解析：山东省淄博市淄川区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二下学期期中考试 数学试题 本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点（1，0）处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求解切线的斜率，然后求解切线方程即可． 【详解】解：因为，所以，故所求切线方程为． 故选：A． 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系即可逐一代入求值. 【详解】. 故选:C 3. 若函数，满足且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得. 【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以. 故选：C 4. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有； 然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有； 最后剩下的名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有种. 故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 5. 若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】因为函数在内无极值， 所以在内无变号零点， 根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增， 所以或即可， 解得或， 故选：C. 6. 已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，以及等比数列前项和公式，即可求解. 【详解】联立可得或， 又因为数列是递增的等比数列，所以， 则公比， 所以， 所以. 故选：B. 7. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围. 【详解】∵， ∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 故. 故选：D. 8. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“凹函数”的定义得到，即在上恒成立，构造函数推得，再构造函数推得，从而得到，由此得解. 【详解】因为，所以，， 则，， 因为在区间上为“凹函数”，所以， 即在上恒成立，则在上恒成立， 当，即时，因为，，所以， 故显然成立， 当，即时，令，则在上恒成立， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即，则在上恒成立， 令，则， 又，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以， 综上：，即. 故选：D. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由，以及等差数列的性质可得，，然后根据等差数列通项公式，求和公式依次判断即可. 【详解】由，得， 设等差数列的公差为，则有， 所以， 所以， 所以，， ， 由，得， 故选：ACD. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是24 B. 第4项系数最大 C. 第3项是 D. 所有项的系数的和为1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项展开式判断ABC，由赋值法可判断D. 【详解】因为展开式的通项公式为； 令可得，所以常数项为，A正确； 由通项公式可知，当时，第4项的系数为负数，故B错误； 第3项是，所以第三项为24，故C错误； 令可得所有项的系数的和为1，故D正确. 故选：AD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 【答案】ACD 【解析】 【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A的正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确； 对于B：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种排法， 所以共有种排法，故B错误； 对于C：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排法， 所以共有种排法，故C正确； 对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法， 若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法， 所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D正确. 故选：ACD 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 函数在上有且仅有三个零点 C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】令，则，所以，得，所以选项A错误； 观察在时的图象，令，得， 可知在上单调递减，在上递增，且在上，，在上，，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，所以选项B正确； 由图可知，若关于的方程有解，则，所以选项C错误； 由图可知，的值域为，所以对，恒成立，所以选项D正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 数列满足，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】累加法以及等差数列求和公式求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， 累加得： 故答案为：. 14. 的展开式中的系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得到的展开式通项公式，从而得到答案. 【详解】的展开式通项公式， 当时，， 当时，， 故的展开式中的系数为. 故答案为：7 15. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 16. 已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，构造函数，通过研究函数的单调性，结合，把不等式等价转化为，根据同号得正，异号得负，写出不等式的解集． 【详解】解：令， 当时，， 在上单调递增． 因为是偶函数， 所以是奇函数． 因为， 所以． ； 不等式等价于，所以或，解得或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知展开式的二项式系数和为64，且． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后根据二项展开式的通项即得； （2）由题可知第四项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项即得； （3）由题可得，然后利用赋值法即得. 【小问1详解】 ∵的展开式的所有项的二项式系数和为， ∴， 故展开式中第三项为：， 所以； 【小问2详解】 ∵， ∴第四项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项； 【小问3详解】 因为， ∴， 令，可得. 18. 已知等差数列的首项为1，且，___．在①；②成等比数列；③，其中是数列}的前n项和．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并进行解答． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列{}的前n项和． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公差为d，选择①，结合等差数列求和公式列方程求，由此可得的通项公式；选择②，由条件结合等比中项列方程求，由此可得的通项公式；选择③，结合等差数列求和公式和通项公式列方程求，由此可得的通项公式； （2）由（1），利用组合求和法，结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求数列{}的前n项和． 【小问1详解】 若选择①：设的公差为d， 因为，， 所以， 所以， 所以； 若选择②：因为成等比数列， 所以， 又，所以， 又，设的公差为， 所以，解得， 所以； 若选择③：设的公差为d， 因为， 所以，又， 即， 解得， 所以； 【小问2详解】 由题知． 所以， 所以， 所以， 所以. 19. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5） （2）当时，函数为增函数；当，函数为减函数.当时该蓄水池的体积最大 【解析】 【分析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值. 【详解】（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元 ∴蓄水池的总建造成本为元 所以即 ∴ ∴ 又由可得 故函数的定义域为 （2）由（1）中， 可得（） 令，则 ∴当时，，函数为增函数 当，函数为减函数 所以当时该蓄水池的体积最大 考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数. 20. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1）； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【解析】 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）略 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 21. 已知数列的前项和为满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足. ①求数列的前项和； ②若对于一切正整数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用与关系可证得数列自第二项起为等比数列，由等比数列通项公式可求得此时，验证可知数列为分段数列，由此可得通项公式； （2）①由（1）可得，当时，采用错位相减法可求得，验证可知满足的表达式，由此可得结论； ②采用作差法可确定数列的单调性，得到，由此可构造不等式求得范围. 【小问1详解】 当时，； 当时，，，， 即； 又，， 数列自第二项起为等比数列，公比为，此时； 经检验：不满足，. 【小问2详解】 ①由（1）得：，则； 当时，，， ， ； 经检验：满足，； ②当时，， 当时，，，则当时，， 又，，即； ，即，解得：或， 即实数的取值范围为. 22. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期中考试 数学试题 本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点（1，0）处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，满足且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 5. 若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ） A. B. C. D. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是24 B. 第4项系数最大 C. 第3项是 D. 所有项的系数的和为1 11. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 函数在上有且仅有三个零点 C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D. ， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 数列满足，，则___________． 14. 的展开式中的系数为___________． 15. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 16. 已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知展开式的二项式系数和为64，且． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的值． 18. 已知等差数列的首项为1，且，___．在①；②成等比数列；③，其中是数列}的前n项和．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并进行解答． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列{}的前n项和． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分， 19. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 20. 设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 21. 已知数列的前项和为满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足. ①求数列的前项和； ②若对于一切正整数恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $