精品解析：上海市虹口区2023-2024学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试数学试卷

虹口区2023学年度第二学期期末学生学习能力诊断测试 高二数学 试卷 （时间120分钟，满分150分） 2024.6 一. 填空题（本大题共12小题，满分54分. 1-6小题每题4分，7-12小题每题5分） 1. 抛物线的焦点坐标是______. 2. 若向量与平行，则实数的值为_____________. 3. 的二项展开式中的系数为_____________. 4. 若一个球的表面积为，则该球的体积为_____________.（结果中保留） 5. 设实数和均是集合中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为_____________. 6. 若任取正方体的12条棱中的一条棱，则这条棱所在直线平行于平面的概率为_____________. 7. 为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是_________. 8. 已知事件和事件互斥，若且，则_____________. 9. 直线被圆所截得的弦长为_________. 10. 学习小组有五位同学，他们历次考试成绩比较稳定，成绩的方差值均为6左右. 某次质量监测考试中同学甲没有参加，其余四位同学的成绩分别为81分、84分、87分、88分. 假设同学甲也参加本次质量监测，用6作为这五位同学本次考试成绩的方差来估算同学甲的分数（可设为），则这个分数为_________________. 11. 已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为_________. 12. 已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是_____________. 二. 选择题（本大题共4小题，满分18分. 13-14小题每题4分，15-16小题每题5分） 13. 已知两条直线和，以下说法正确的是（ ）. A B. 与重合 C. D. 与的夹角为 14. 某同学要从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，若要求物理和历史这两门学科至少要选一门，则这名同学选科组合方式共有的种数是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 32 15. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则“”的充分条件是（ ）. A. ，， B. ，， C ，， D. ，， 16. 已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（ ）. A. B. C. D. 三. 解答题（本大题满分78分） 17. 已知. （1）求曲线在点处切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 18. 如图所示，圆柱的母线长为2，矩形是经过的截面，点为母线的中点，点为弧的中点. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）若圆柱的侧面积为，求直线与平面所成角的正弦值的大小. 19. 某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 （1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； （2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 20. 如图所示，在棱长为2正方体中，分别是棱的中点，点是棱上的动点，. （1）当时，证明：直线平面； （2）若二面角的大小等于，求的值； （3）记三棱锥的体积为，试将表示为的函数. 21. 某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，. （1）求值及曲线所在椭圆的离心率的值； （2）现要在平安锁上找一个点作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值； （3）商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 虹口区2023学年度第二学期期末学生学习能力诊断测试 高二数学 试卷 （时间120分钟，满分150分） 2024.6 一. 填空题（本大题共12小题，满分54分. 1-6小题每题4分，7-12小题每题5分） 1. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可. 【详解】因为抛物线标准方程为， 所以焦点坐标为， 故答案为：. 2. 若向量与平行，则实数的值为_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量平行得到关于m的等式，解出m即可. 【详解】因为与平行， 所以存在实数使即， 所以解得 故答案为：4. 3. 的二项展开式中的系数为_____________. 【答案】56 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令，解得，回代即可求解. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的二项展开式中的系数为. 故答案为：56. 4. 若一个球的表面积为，则该球的体积为_____________.（结果中保留） 【答案】## 【解析】 【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，再求球的体积. 【详解】由球的表面积是, 有，得. 所以球的体积为. 故答案为： 5. 设实数和均是集合中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】用分步乘法计数原理先列出a的情况，再列出b的情况，再相乘即可，注意考虑表示同一直线的情况. 【详解】第一步，给a赋值有4种选择， 第二步，给b赋值有3种选择，由分步乘法计数原理可得：(种). 其中没有表示同一直线的情况， 所以形成不同的直线的条数为. 故答案为： 6. 若任取正方体的12条棱中的一条棱，则这条棱所在直线平行于平面的概率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式计算即可得解. 详解】 正方体的12条棱中，平行于平面的直线有：，共有4条， 故所求概率为. 故答案为：. 7. 为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由频率分布直方图求出中的频率，再由频率等于频数除以样本总数即可求出． 【详解】由频率分布直方图可知在之间的频率为， 又因为，所以. 故答案为： 8 已知事件和事件互斥，若且，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，再根据互斥事件的和事件概率加法公式求解. 【详解】因为随机事件A和B互斥，且， 所以， 而， 所以. 故答案为： 9. 直线被圆所截得的弦长为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆的弦长的几何法求解. 【详解】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 10. 学习小组有五位同学，他们历次考试成绩比较稳定，成绩的方差值均为6左右. 某次质量监测考试中同学甲没有参加，其余四位同学的成绩分别为81分、84分、87分、88分. 假设同学甲也参加本次质量监测，用6作为这五位同学本次考试成绩的方差来估算同学甲的分数（可设为），则这个分数为_________________. 【答案】85 【解析】 【分析】设甲的分数为，根据平均数和方差公式求解. 【详解】设甲的分数为， 则5位同学本次考试成绩的平均分为， 所以这五位同学本次考试成绩的方差为 ， 解得，所以甲的成绩为85. 故答案为：85 11. 已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意正四面体和圆锥底面积、体积均相等，故只需求出正四面体的高即可得解. 【详解】正四面体底面外接圆的半径为，所以正四面体的高为， 若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等， 则圆锥的体积和正四面体的体积相等， 且当平行于平面的平面无限接近于平面时，此时截面面积可以直接视为四面体底面面积，圆锥底面积， 从而可设正四面体和圆锥底面积均为（它们也是相等的），圆锥的高为， 所以，即. 故答案为：. 12. 已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，依题意结合双曲线的定义可得点的轨迹是圆，用圆的参数方程设出点的坐标，表示出，再换元、用导数解答可得答案. 【详解】因为为双曲线的左、右焦点，所以， 因为为双曲线的一条渐近线，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. 依题意，不妨设点在第一象限，如图， 延长交于点，连接， 因为，所以， 又是的平分线上的一点，即平分， 所以，即是的中点，又是的中点，所以， 由双曲线的定义，， 所以，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其方程为，设， 则， 同理得， ， 设，， 则 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解答本题的关键是先得到点的轨迹方程，在求的取值范围时，点的坐标设成是圆的参数方程的形式，把表示出来后，再令，转化为求函数的值域，用导数求出单调性进行解答. 二. 选择题（本大题共4小题，满分18分. 13-14小题每题4分，15-16小题每题5分） 13. 已知两条直线和，以下说法正确的是（ ）. A. B. 与重合 C. D. 与的夹角为 【答案】A 【解析】 【分析】由与一般式方程的系数关系，即可判断出正确答案. 【详解】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 14. 某同学要从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，若要求物理和历史这两门学科至少要选一门，则这名同学选科组合方式共有的种数是（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】分物理和历史中选一门和物理和历史都选这两种情况分析，结合计数原理和组合知识即可求解. 【详解】分两种情况： ①物理和历史中选一门，其余两门从剩下的四门学科中选，则有种选法； ②物理和历史都选，剩下一门从剩下的四门学科中选，则有种选法. 由分类加法计数原理得选科组合方式共有种. 故选：B 15. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则“”的充分条件是（ ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件的定义，结合线面垂直的性质、面面垂直的判定定理即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则平面与平面可以相交或平行，故B错误； 对于C，因为，由线面垂直的性质，所以， 又因为，所以，故C正确； 对于D，若，则平面与平面可以相交或平行，故D错误； 故选：C 16. 已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，再证明存在符合条件的使得. 【详解】由于，故是方程的两个不同的正数根. 所以，，且判别式，即，结合知. 那么 ， 而利用即可得到 ， 设，则当时，所以在上递增，故对有. 从而由有，故，即，所以. 这就得到. 而当时，； 当时，. 所以由零点存在定理知，一定存在，使得. 此时. 当或时，；当时，. 所以在和上递增，在上递减. 从而，的确分别是的极大值点和极小值点，满足条件. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断极值点. 三. 解答题（本大题满分78分） 17 已知. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）只需分别求得即可得解. （2）利用导数分析函数在给定区间上的单调性，比较极值与端点函数值的大小即可得解. 【小问1详解】 ，故所求为. 【小问2详解】 因为， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 而， 所以， 所以函数在上的最大值与最小值分别为. 18. 如图所示，圆柱的母线长为2，矩形是经过的截面，点为母线的中点，点为弧的中点. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）若圆柱的侧面积为，求直线与平面所成角的正弦值的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，是异面直线与所成角（或其补角），求解即可； （2）连接，因为平面，是直线与平面所成的角，求解即可. 【小问1详解】 连接，则， 所以是异面直线与所成角（或其补角）， 因为点为弧的中点，所以， 所以异面直线与所成角为； 【小问2详解】 设圆柱底面半径为，由已知，则， 连接，因为平面， 所以是直线在平面上的射影， 所以是直线与平面所成的角， ， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 （1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； （2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 【答案】（1）极差为，中位数为 （2）估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人 （3）事件发生的概率为 【解析】 【分析】（1）根据极差和中位数的定义即可求解； （2）根据分层抽样求出高二年级中男生的人数，据此即可估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）分女生的时间为二级和三级两种情况即可求解. 【小问1详解】 极差，中位数为； 【小问2详解】 高二年级中男生共有人， 估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人； 【小问3详解】 . 20. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点是棱上的动点，. （1）当时，证明：直线平面； （2）若二面角的大小等于，求的值； （3）记三棱锥的体积为，试将表示为的函数. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出，利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）利用两平面夹角的向量法求解； （3）利用向量法求点到平面的距离求出，再求出，从而求体积. 【小问1详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， 当时，，，， ，， 平面，平面，因此，平面； 【小问2详解】 设，则， 设平面的一个法向量为， 于是，则，取，则， 所以， 又平面的一个法向量为， 所以，，所以， 解得. 【小问3详解】 由（2）可知，， 则， 在中，， 所以， 则， 所以， 则. 21. 某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，. 如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，. （1）求值及曲线所在椭圆的离心率的值； （2）现要在平安锁上找一个点作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值； （3）商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求解； （2）设，由题意，直线，且，联立方程组，借助韦达定理可求解； （3）根据对称性，设第一象限的切线方程为：，根据直线与圆和椭圆相切，可解直线方程，从而求解. 【小问1详解】 曲线所对应的方程为， 即，则，， 所以； 【小问2详解】 设， 由题意，直线，且， ，解得， 有，， 可得，此时与的斜率等于， 满足直线与曲线交于两个交点， 所以； 【小问3详解】 根据对称性，设第一象限的切线方程为：， 由与右圆弧相切，可知点到切点的距离， 即 ① 由与上椭圆段相切，可知：， 可得， 则， 所以， 解得，即代入 ①式，可得， 化简得，解得， 即第一象限的切线方程为：， 令，令， 故菱形的面积为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$