精品解析：江苏省无锡市江阴市三校联考2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题

2023—2024学年第二学期高一期中考试数学学科试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. △ABC中，，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间中，下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 4. 若，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ） A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 6. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，．若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（　　） A. B. C. D. 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则中最短边长为__________． 13. 甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________． 14. 在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设内角的对边分别为．已知，，． （1）求值； （2）求的面积． 16. 如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点. （1）求证：; （2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 17. 如图，在中，，为中点，与交于点设，. （1）求 （2）试用表示； （3）求. 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求△ABC各内角的大小； （2）若D，E是边BC上的两点，，，设，△ADE的面积为f（a），求函数f（a）的最小值. 19. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示木质正四棱锥模型P-ABCD.点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割： （1）试棱PC上确定一点G，使得平面ABG； （2）过点A，E，F的平面交PD于点H，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期高一期中考试数学学科试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. △ABC中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据正弦定理去求的值. 【详解】因为，，所以 由正弦定理得， 故选：B. 2. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的母线以及圆柱的高，由圆锥的体积公式求解即可. 【详解】因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图半圆， 所以圆锥的底面周长为，则圆锥的母线长为2， 故圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：A． 3. 在空间中，下列命题正确是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面、线面平行、线线平行、异面直线等知识确定正确选项. 【详解】A，不在同一条直线上的三个点确定一个平面，A错误. B，，与内的直线可以平行、异面，B错误. C选项，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，C正确. D选项，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能在这个平面内，D错误. 故选：C 4. 若，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的夹角是，由数量积的定义求解即可. 【详解】解：设与的夹角是，，且， ， ， 故选：B. 5. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ） A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 【答案】A 【解析】 【分析】求出棱柱底边梯形面积，利用棱柱的体积公式即可求解. 详解】（立方尺）， 故选：A 【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，需熟记柱体的体积公式，属于基础题. 6. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积运算律，，与同向的单位向量为，进而转化求解即可. 【详解】解：因为，且，所以， 即，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 7. 已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】 设球的半径为，则，解得：. 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 故选：C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 8. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：，再利用三角函数的有界性，即可得到答案； 【详解】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图， 设，， 则，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，， 即的最小值为． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边， 所以所形成的几何体的表面积是. 如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以写成的几何体的表面积. 综上可知形成几何体的表面积是或. 故选：AB 【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 10. 在中，，，．若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用余弦定理可得关于的一元二次方程；根据三角形有唯一解可知或在时，方程两根一正一负或一根为零、一根为正，由此可构造不等式求得的范围，进而确定结果. 【详解】由题意知：； 由余弦定理得：， 即，则； 当，即时，，满足题意； 当，即时， 方程两根需一正一负或一根为零、一根为正， ，解得：. 综上所述：的可能取值为或. 故选：BD. 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的. 【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且， 可得，即， 即，所以，所以A是正确的； 在中，设为的中点， 由，可得， 所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确； 由，可得且， 所以，所以，可得，所以 所以，所以C正确； 由，可得 因为，且， 可得， 所以，所以D是正确的. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则中最短边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理求解 【详解】，则，，最短边长为， 由正弦定理得，即，解得 故答案为： 13. 甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________． 【答案】30 【解析】 【分析】依题意画出图形，求出、、，再由正弦定理计算可得. 【详解】解：如图，由题意得，，所以， 由正弦定理，得． 故答案为： 14. 在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据重心、外心的性质，由数量积的运算化简可得，利用余弦定理及均值不等式求解即可. 【详解】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图， 则， 所以，即， 则， 当且仅当时取等号，此时. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设的内角的对边分别为．已知，，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据同角三角函数关系求得，利用正弦定理求得结果； （2）利用余弦定理构造方程求得，由三角形面积公式求得结果. 【详解】（1）且，，， 由正弦定理得：. （2）由余弦定理得：，解得：或（舍）， . 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形的问题，考查学生对于正弦定理、余弦定理和三角形面积公式掌握的熟练程度，属于基础题. 16. 如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点. （1）求证：; （2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 【答案】（1）见证明；(2)见解析 【解析】 【分析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可得到面； （2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面，由面面平行的判定定理，即可得到证明. 【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 故 ∵面 ∴面 （2）线段上存在一点满足题意，且点是中点 理由如下：由点分别为中点可得： ∵面 ∴面 由（1）可知，面 且 故面面 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力． 17. 如图，在中，，为的中点，与交于点设，. （1）求 （2）试用表示； （3）求. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线性运算用表示，，再结合数量积的运算律运算求解； （2）由题意可设：，根据三点共线分析可得，进而可得结果； （3）根据数量积的运算律可得，进而可得结果. 【小问1详解】 由题意可得：，， 又因为，可得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 由题意可设：， 由于，，三点共线，则，解得， 可得， 所以. 【小问3详解】 由题意可得：， 且， ， 所以. 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求△ABC各内角的大小； （2）若D，E是边BC上的两点，，，设，△ADE的面积为f（a），求函数f（a）的最小值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，由正弦定理求出，由三角形内角和求出；（2）先用正弦定理求得，，利用面积公式表达出，结合的范围，求出最小值. 【小问1详解】 ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴由正弦定理得： 其中 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴. 【小问2详解】 由（1）得，△ABC为等腰三角形， ∴ 在△ABD中， ∴ 同理 ∴， 因， 所以当时， 19. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD.点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割： （1）试在棱PC上确定一点G，使得平面ABG； （2）过点A，E，F的平面交PD于点H，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值. 【答案】（1）PC上靠近C的四等分点为G （2） 【解析】 【分析】（1）依据线面平行判定定理去确定点G； （2）先画出截面确定H点的位置，再去求的值. 【小问1详解】 由已知得，点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足， 所以，取PC上靠近C的四等分点为G，则必有， 则根据三角形相似，必有，又平面ABG，平面ABG 则有平面ABG 【小问2详解】 延长FE，与延长CB交于M，连接MA，并延长与CD的延长线交于N， 连接FN，交PD于H， 由（1）可得，由，可得， 由可得， 在三角形PCD中，取，连接FK，则， 又，则，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$