精品解析：辽宁省鞍山普通高中2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题（A）

2023－2024学年度下学期月考 高二数学（A） 考试时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选择性必修三第六章导数结束 第1卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是等于（ ） A. B. C D. 2. 已知，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为数列的前项和，，，那么（ ） A. -64 B. -32 C. -16 D. -8 6. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯盏数（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 8. 已知定义域为R的偶函数的导函数为，当时，，若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分、部分选对的得3分、有选错的得0分． 9. 设是等比数列，为其的项和，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极小值 C. 函数有极大值 D. 函数有极小值 11. 递增等差数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当时最小 D. 时n的最小值为8 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的零点有__________个． 13. 已知数列中，，，则________； 14. 用长度为24米的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________米. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 已知数列前项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17 已知函数，. （1）当时，求在上的最大值和最小值； （2）若在上单调，求的取值范围. 18. 已知数列{an}前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3，其中n∈N*． （1）证明：数列{an}为等比数列； （2）设bn＝2n－1，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn． 19. 已知函数. （1）若，求在区间上的极值； （2）讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度下学期月考 高二数学（A） 考试时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选择性必修三第六章导数结束 第1卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列0，1，0，，0，1，0，，…的一个通项公式是等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项所给通项公式取值验算即可得正确答案. 【详解】对于A，时，，故A错误； 对于B，时，，故B错误； 对于C，时，，故C错误； 对于D，的前8项依次为0，1，0，，0，1，0，，故D正确. 故选：D 2. 已知，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值. 【详解】， 因为，所以， 解得. 故选：B. 3. 等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴⇒d＝2 4. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，切点为，由导数的几何意义可得切线的斜率，进而可得切线方程. 【详解】依题意，切点为，， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：A 5. 已知为数列的前项和，，，那么（ ） A. -64 B. -32 C. -16 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． 【详解】时，，，可得：，化为． 时，． 数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为． 那么． 故选：B． 6. 已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得m的取值范围. 【详解】函数在上无极值在上无变号零点，故选D. 7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯盏数（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为2的等比数列，利用等比数列前项和公式即可求解. 【详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为2的等比数列， 依题意，，解得， 故选：C 8. 已知定义域为R的偶函数的导函数为，当时，，若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，根据奇偶性及导数确定单调性，利用单调性即可求解. 【详解】令，由偶函数知， 当时，， 故为奇函数， 当时， 则为减函数， 由奇函数知，在上为减函数， 而， 所以， 即， 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，奇函数的性质，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分、部分选对的得3分、有选错的得0分． 9. 设是等比数列，为其的项和，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比中项的性质得，再由可计算公比，进而可求得. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以， 因为，所以，即， ①当时，得，解得或， 当时，，所以； 当时，，所以. ②当时，可得，因为， 所以此方程无解，故舍去. 故选：BD 10. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极小值 C. 函数有极大值 D. 函数有极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图象求出函数的零点，再求出大于0、小于0的x取值区间即可判断作答. 【详解】依题意，三次函数的导函数为是二次函数，观察图象知，是函数的两个零点， 当或时，，当时，， 所以函数有极小值，有极大值，AD正确，BC错误. 故选：AD 11. 递增等差数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当时最小 D. 时n最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列通项公式基本量的计算即可判断AB；由等差数列前n项和二次函数特性即可判断C；由等差数列前n项和的不等式法即可判断D. 【详解】A、B：由题意可设等差数列公差为d， 因为，可得，解得， 又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确. C：， 由得，当或4时最小，故C错误. D：令，解得或，即时n的最小值为8，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的零点有__________个． 【答案】1 【解析】 【分析】求导得到，得到函数的单调区间，再计算极值的正负判断得到答案. 详解】，故， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值， 函数的极小值， 当时，，故函数共有1个零点. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了利用导数计算函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于常考题型. 13. 已知在数列中，，，则________； 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，所以数列是等比数列，即可求出数列的通项公式，进而可求. 【详解】由，得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 所以. 故答案为： 14. 用长度为24米的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________米. 【答案】3 【解析】 【详解】设隔墙长度x，场地面积为S，则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18. ∴当x＝3时，S有最大值18,故填3. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式. （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和. 【详解】（1）正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项， 设公比为，则，整理得：， 由于，即，即，因为，所以解得， 所以. （2）由于， 所以 . 【点睛】关键点点睛：第二问分组后利用等差、等比数列的前项和公式求和是解题关键. 16. 已知数列前项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系即可求解； （2）用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 当时，， 时，也满足上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以， 则. 17. 已知函数，. （1）当时，求在上的最大值和最小值； （2）若在上单调，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）代入，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可； （2）先利用极限思想进行估值时，来确定在上单增，，再对分离参数，研究值得分布即得结果. 【详解】（1） 当时， ∴在和上为正，在和上为负， ∴在和上单增，在和上单减， 有，，， 故在上的最大值为，最小值为； （2）由知，当时，， 若在上单调则只能是单增， ∴在恒成立，即 ∴，令，，则， ∴在递减，，∴. 【点睛】（1）利用导数研究函数的最值的步骤： ①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可. （2）函数在区间I上递增，则恒成立；函数在区间I上递减，则恒成立. （3）解决恒成立问题的常用方法： ①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法. 18. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3，其中n∈N*． （1）证明：数列{an}为等比数列； （2）设bn＝2n－1，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】 （1）根据数列的递推关系作差法即可证明； （2）利用错位相减求和法即可求出答案． 【详解】（1）因为，--------① 所以当时，，解得， 当时，，---------② 由①-②并整理得，， 由上递推关系得，所以， 故数列是首项为3，公比为3的等比数列， （2）由（1）得：， 又因为，所以， 所以， ， 两式相减得：， 即：， 整理可得： 【点睛】关键点睛：（1）解题关键在于利用递推式得到，和，利用作差法求出；（2）解题关键在于列出，，利用错位相消求和法进行求解，难度属于中档题 19. 已知函数. （1）若，求在区间上的极值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数在区间上的极值； （2）求得，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间. 【详解】（1）当时，，所以，，列表； 单调递减 极小 单调递增 所以，在区间上的有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，. 当时，，从而，故函数在上单调递减； 当时，若，则，从而； 若，则，从而. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面： （1）求导后看函数的最高次项系数是否为，需分类讨论； （2）若最高次项系数不为，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根； （3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$