精品解析：河南周口市第一高级中学等校2026届高三5月考前自测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【详解】对于命题：例如，满足，但， 则命题为假命题，为真命题； 对于命题：例如，满足，且， 则命题为真命题，为假命题； 所以ABD错误，C正确. 3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球，的学生喜欢篮球，的学生既喜欢足球又喜欢篮球.若对只喜欢足球和只喜欢篮球的学生用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取的样本中只喜欢足球的学生有3人，则抽取的样本中只喜欢篮球的学生有（ ） A. 3人 B. 4人 C. 6人 D. 9人 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，有的学生只喜欢足球，有的学生只喜欢篮球， 则只喜欢足球的学生与只喜欢篮球的学生比例为， 按照分层随机抽样，由于抽取的样本中只喜欢足球的学生有3人，设抽取的样本中只喜欢篮球的学生有人， 则，解得，则抽取的样本中只喜欢篮球的学生有9人. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用角的整体代换，将表示成，再利用诱导公式和二倍角公式，即可求出的值. 【详解】由题意得 ， 因为， 所以. 5. 已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，代入点可得，即可得渐近线方程. 【详解】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 6. 已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由可得函数关于点中心对称，再根据在上单调递增，结合对称性可得在上也单调递增，最后转化在一个单调区间上利用单调性比较大小即可. 【详解】解：由，则， 令，则，所以， 因此函数关于点中心对称， 因为在上单调递增，结合又关于点对称， 所以在上也单调递增. 由，则令，所以，即. 因为，在上单调递增， 所以，即. 7. 某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设无人机主动飞行对应的向量为，根据题意可得，列方程求解即可. 【详解】设无人机主动飞行对应的向量为，则飞行路程为， 因为，由题意可得：， 则，可得，即， 由可得， 则，且，解得，， 所以无人机主动飞行对应的向量为. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得，令，，结合的单调性可得.举反例判断ABC；结合对数函数单调性判断D. 【详解】因为，则， 即，且，， 令，，则， 因为函数在定义域内单调递增，则. 例如，，满足，但，且均无意义，故AC错误； 例如，，满足，但，故B错误； 由可得，即， 所以，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，成等比数列，则下列三个数一定可以构成等比数列的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BD 【解析】 【分析】设公比为，则，，，.对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据等比数列定义分析判断. 【详解】若，，，成等比数列， 设公比为，则，，，. 对于选项A：若，则，，， 可得，此时，，不为等比数列，故A错误； 对于选项B：因为，，， 可知均不为0，且， 所以，，为等比数列，故B正确； 对于选项C：若，则， 可得，此时，，为等比数列，故C错误； 对于选项D：因为，，， 可知，，均不为0，且， 所以，，为等比数列，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 的最小正周期为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析可知函数的定义域为，且，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 且. 对于A：因为，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：若，则，可得在上单调递增， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C：因为，则， 所以的值域为，故C错误； 对于D：的最小正周期为，故D正确. 11. 如图，在该九面体中，六边形是边长为2的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 该九面体的体积为8 C. 该九面体外接球的表面积为 D. 二面角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：作辅助线，可证平面，平面，则，即可判断；对于B：建系并标点，求点到平面的距离，利用割补法求多面体体积；对于C：分析可知球心，设，根据两点间距离公式可得，进而可得半径和表面积；对于D：求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】对于选项A：取，的中点分别为，连接， 因为为等边三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理可得平面，则， 且，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面，故A正确； 对于选项B：取，的中点分别为，连接， 则，可知平面，， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 则点到平面的距离， 由对称性可知点到平面的距离，且为正三棱柱， 所以该九面体的体积为，故B错误； 对于选项C：因为为正六边形的中心，平面， 可知该九面体外接球的球心，设，外接球的半径为， 因为，则，解得， 可得，所以该九面体外接球的表面积为，故C正确； 对于选项D：设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 由题意可知：平面的法向量为， 设二面角为， 则， 可得，所以二面角的正弦值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，共有300多台机器人参赛.某人形机器人在加速奔跑时，电机转速逐秒依次构成等差数列，已知第3秒转速为，第7秒转速为，则第4秒转速为______. 【答案】270 【解析】 【分析】设第n秒转速为，结合等差数列性质可求公差和. 【详解】设第n秒转速为， 可知数列为等差数列，且，， 则公差，可得， 所以第4秒转速为. 13. 若函数有且仅有2个零点，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和图象，结合函数图象分析求解. 【详解】因为，则，可知0不为的零点， 令 ，且，可得， 令，，可知与有且仅有2个交点， 因为， 当时，，可知在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则 ， 当趋近于0或时，趋近于； 综上所述：可得的图象，如图所示： 若与有且仅有2个交点，则. 14. 已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求的内角中最大的角的大小； （2）延长至点，使得，连接，若，，求的面积. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换可得，可得或，进而可得结果； （2）根据题意可知，可设，，可得，，利用余弦定理可得，即可得面积. 【小问1详解】 因为， 且， 因为，则， 且，则，可得 ， 即或，且，则或， 可知为直角三角形，所以的内角中最大的角的大小为. 【小问2详解】 若，则，可设，，， 则，，， 在中，由余弦定理可得， 则，即， 所以的面积为. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求的长度. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，可证，平面，建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得，平面的法向量为，根据线面夹角列式求解即可. 【小问1详解】 取，的中点分别为，， 因为为等边三角形，四边形为等腰梯形，则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，且，则，， 则，，，，，， 若，即，则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，则， 且平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知：，平面的法向量为， 若直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，解得， 所以. 17. 为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. （1）从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. （2）从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. （3）若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率，结合题意运算求解即可； （2）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合独立事件概率公式求分布列和期望； （3）设相应事件，结合全概率公式可得，代入运算求解即可. 【小问1详解】 用频率估计概率，从甲社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为. 【小问2详解】 用频率估计概率，从乙社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为， 可知随机变量的可能取值为0，1，2， 则； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为. 【小问3详解】 设甲社区随机抽取1人，该人患该疾病为事件，则， 设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件，则，， 因为， 即，解得， 所以从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）若有3个零点，，，证明：. 【答案】（1） （2）当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点. （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，根据函数定义域和判别式分和两种情况讨论，判断函数单调性并结合分析零点个数； （3）可证，分析可知，，，结合基本不等式分析证明. 【小问1详解】 若，则，， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程. 【小问2详解】 由题意可知：函数的定义域为，且， 对于方程，则， 因为，若，则；若，即，则； 当时，则，即， 可知函数在定义域内单调递增， 且，所以函数有且仅有1个零点； 当时，则，可知有2个不相等的实数根，， 且，则， 若，则，即； 若或，则，即； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 则，且，即， 因为， 令，则， 可知在内单调递减，则，可得； 又因为， 所以函数有3个零点； 综上所述：当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点. 【小问3详解】 若有3个零点， 由（2）可知：，， 因为， 又因为，则，且，，则， 所以. 19. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为4. （1）求的方程. （2）记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值. （3）是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，圆的方程为 【解析】 【分析】（1）设直线：，联立方程结合弦长公式可得，即可得和抛物线方程； （2）根据题意可得直线，，整理可得，令，，利用导数求最值即可； （3）可知以为直径的圆的圆心为，半径，设圆心为，半径为，可得，运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：抛物线的焦点为，且直线与抛物线必相交， 设直线：，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 由题意可知：，即，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：，，且直线的斜率不为0，直线与抛物线必相交， 设直线，， 联立方程，消去x可得， 则，即， 可得直线， 则， 联立方程，消去x可得， 则，即， 可得， 令，，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 所以的最小值为. 【小问3详解】 由（1）可知直线：，，， 则，， 即以为直径的圆的圆心为，半径， 假设存在定圆与圆相切，设圆心为，半径为， 则，即， 若， 整理可得， 则，解得，不合题意； 若， 整理可得， 则，解得，符合题意； 综上所述：存在，圆的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球，的学生喜欢篮球，的学生既喜欢足球又喜欢篮球.若对只喜欢足球和只喜欢篮球的学生用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取的样本中只喜欢足球的学生有3人，则抽取的样本中只喜欢篮球的学生有（ ） A. 3人 B. 4人 C. 6人 D. 9人 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 7. 某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，成等比数列，则下列三个数一定可以构成等比数列的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. 的值域为 D. 的最小正周期为 11. 如图，在该九面体中，六边形是边长为2的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 该九面体的体积为8 C. 该九面体外接球的表面积为 D. 二面角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，共有300多台机器人参赛.某人形机器人在加速奔跑时，电机转速逐秒依次构成等差数列，已知第3秒转速为，第7秒转速为，则第4秒转速为______. 13. 若函数有且仅有2个零点，则______. 14. 已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求的内角中最大的角的大小； （2）延长至点，使得，连接，若，，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求的长度. 17. 为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. （1）从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. （2）从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. （3）若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）若有3个零点，，，证明：. 19. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为4. （1）求的方程. （2）记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值. （3）是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $