双曲线知识梳理及考点分析例题精讲

双曲线知识梳理及考点分析例题精讲 1．双曲线的概念 我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于 |F1F2| )的点集合叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫焦距. 集合P＝{M|||FM1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当 a<c 时，P点的轨迹是 双曲线 ； (2)当 a＝c 时，P点的轨迹是 两条射线 ； (3)当 a>c 时，P点 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示) 标准方程 ＝1(a>0，b>0)－ ＝1(a>0，b>0)－ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴: 坐标轴 　对称中心： 原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 性质 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴 ，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴 ，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝ a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 3.基础三角形 如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝ b ，|OB|＝c，tan∠AOB＝， △OF2D中，|F2D|＝ b . 4、等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝ ，渐近线方程为 . 案例分析： 考点一、双曲线的定义 例1、若点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0且为常数)为两个不同的定点，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a (2a≥0且a为常数)．求动点M的轨迹． 分析：要紧扣双曲线的定义，注意题目中的两个字母c，a的关系，根据不同的大小关系分类讨论． 解：若2a＞2c＞0，则点M的轨迹不存在． 若2a＝2c＞0，则点M的轨迹是以点F2为端点，且与x轴正方向同向的射线，方程为y＝0(x≥c)