精品解析：新疆石河子第一中学2024届高三“天使计划”第二轮测试数学试题

2024届高三“天使计划”第二轮数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如准考证号：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 定义差集且，已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据差集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以． 故选：B 2. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求出和的关系，代入计算可得m的值. 【详解】由已知，得， 又，又， 所以，解得或（舍去） 故选：B. 3. 已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项. 【详解】对于A，由，，则与可能平行，相交，异面，故A错误； 对于B，由，，则或，故B错误； 对于C，由，，则，故C正确； 对于D，由，，则或或，故D错误. 故选：C. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的第80百分位数为17； B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； D. 若随机变量满足，则． 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，由百分位数的定义得到答案；B选项，，得到结论；C选项，由相关系数的性质得到C错误；D选项，由方差的性质得到D错误. 【详解】A选项，，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数， 即，A错误； B选项，由于，得到与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确； C选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C错误； D选项，若随机变量满足，则，D错误. 故选：B 5. 2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况，分别求出不同的选法再相加即可. 【详解】若五位同学最终选择为，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组， 剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有种选择， 若五位同学最终选择为，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列， 此时有种选择， 综上，共有种选择. 故选：B 6. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的性质以及充分条件、必要条件的定义即可解出. 【详解】因为，所以； 当时，，此时显然单调递增， 所以可以推出为递增数列； 当为递增数列时，不妨取，此时为递增数列，但不满足， 所以为递增数列不能推出， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 7. 已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象利用是的中位线得，是的中位线得，再由抛物线得定义得，共同推得，得到，求得即得. 【详解】 如图，不妨设点在第一象限，依题知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为， 同理是的中位线，，由抛物线定义知，故得， 又，则点横坐标是，代入可得其纵坐标为，故. 故选：C． 8. 如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（    ） A. 点共面 B. 平面平面 C. D. 平面ACD 【答案】D 【解析】 【分析】A.由题意转化为证明平面和平面，即可证明；B.根据面面平行的判断定理转化为证明平面和平面，即可证明；C.由A选项的证明可证明线线垂直；D.利用反证法，说明不成立. 【详解】选项A：如图，取中点，连接，，，， 因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，，， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 所以四点共面， 由题意知，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以，所以四点共面，故A说法正确； 选项B：由选项A知，又平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且，所以平面平面，故B说法正确； C选项：由选项A可得平面，又平面，所以，故C说法正确； D选项：假设平面，因为平面，则， 由选项A知四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 与，矛盾，故D说法错误. 故选：D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A；为纯虚数，可设，根据复数的四则运算可判断B；由结合数大小比较只能在实数范围内可判断C；设复数，根据复数模长定义计算可判断D. 【详解】，所以，故A正确； 由为纯虚数，可设， 所以，因为且， 所以，故B正确； 由，得， 因为与均为虚数， 所以二者之间不能比较大小，故C错误； 设复数，所以 由得， 所以集合所构成区域是以为圆心为半径的圆， 所以面积为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】向量在向量方向上的投影向量为，根据此公式可求，再逐项求出夹角后可得正确的选项. 【详解】由题设可得，故， 而，与夹角，故，故， 对于A，，因，故，故A正确. 对于B，，因，故，故B错误. 对于C，，因，故，故C错误. 对于D，，因，故，故D错误. 故选：AD. 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确. 【详解】对于中，由正弦定理得， 由，得，即， 由，则，故，所以或， 即或（舍去），即，A正确； 对于B，若，结合和正弦定理知， 又，所以可得，B正确； 对于，在锐角中，，即. 故，C错误； 对于，在锐角中，由， ， 令，则， 易知函数单调递增，所以可得，D正确； 故选：ABD. 12. 已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 设到直线的距离分别为，则 D. 若直线的斜率分别为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角形重心公式以及抛物线焦半径公式可判断A；根据重心相关性质即可判断B；根据抛物线的定义可判断C；根据题意求得直线的斜率，代入等式计算可判断D. 【详解】对于A，因为为抛物线上任意三点，且， 所以F为的重心，， 所以 又，即，故A错误； 对于B，延长交于点， 因为为的重心，所以，且是的中点， 因为，在中，有，所以，故B正确； 对于C，抛物线方程为，所以抛物线的准线为， 所以到直线的距离之和， 因为三点不一定共线，所以， 即，故C错误； 对于D，因为，， 两式相减,得：, 所以, 同理可得,, 所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式共有8项，则常数项为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式的性质可求得，利用其通项公式即可求得的展开式中的常数项． 【详解】的展开式共有项， 依题意得：， ； 设的展开式的通项为，则， 由得， 的展开式中的常数项为． 故答案为：． 14. 有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式即可求解第一空，根据全概率公式即可求解第二空. 【详解】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 记 “加工的零件为优秀品”， “零件为第1台车床加工“， “零件为第2台车床加工“，，，，， 由全概率公式可得， 故答案为： 15. 设，，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】 由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，因为，，满足， 所以，，且， 则 ， 当且仅当且，即时取得最小值. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 16. 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，以及基本不等式，即可分别求解. 【详解】设，则，可得， 又因为分别为双曲线的左右顶点，可得， 所以； 又由，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，解得， 所以，所以， 所以的面积为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】（1）或；当时，；当时， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可； （2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. 【小问2详解】 若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 18. 已知正项数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式； （2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 当时，由，即，解得：， 所以，则数列为首项为，公差为的等差数列； 所以，则， 当时，， 当时，满足条件， 所以的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 故， 即 19. 已知函数． （1）若，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）当时，在单调递增，当时，在，单调递增，在单调递减. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数研究函数在的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解； （2）对函数求导，根据未知数的不同范围，分别求出函数单调性. 【小问1详解】 当时，，则， 令，得或， 由于， 所以当，，在单调递减， 所以当，，在单调递增， 所以在时取到极小值，且， 又因为，， 综上，函数在上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 因为，所以， 当，即时，， 在单调递增， 当，即时， 令，则， 所以当，，在单调递增， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增. 综上所述，当时，在单调递增， 当时，在，单调递增，在单调递减. 20. 2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格： 认知情况 A类：不会读不会写 B类：会读不会写 C类：会读且会写但不理解 D类：会读、会写且理解 人数/万人 10 30 5 5 认知度分值 50 70 90 100 （1）求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差； （2）为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率； （3）若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）71，209 （2） （3） X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）根据表格中的条件结合平均数、方差公式计算即可求解 （2）根据古典概型，结合排列的知识求解即可； （3）先确定的所有可能取值为0，1，2，再分别求出概率即可得到的分布列，利用数学期望的计算式进行计算即可. 【小问1详解】 参与调查的人员认知度分值的平均数为 ， 方差为． 【小问2详解】 将这8个字随机排列，不同的排列方法有种， 相同的字分别相邻的不同情况有种， 故参与者可以获得奖励的概率． 若2人同时参与游戏，则恰好有1人获奖的概率为． 【小问3详解】 根据分层抽样的规则可知，A类抽取4人，B类抽取12人，C类抽取2人，D类抽取2人， 则X的所有可能取值为0，1，2， 则，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴X的数学期望为． 21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形． （1）若直线是平面和平面的交线，证明：； （2）若四棱锥的体积为，二面角和二面角都是，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） ∵正方形，， 平面，平面， 平面，又平面，直线是平面和平面的交线， ； （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）过点作平面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接，由锥体的体积公式求出，再由二面角得到，同理可得点到的距离为，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作平面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接， 因为二面角和二面角都是， 可知点在正方形内， 四棱锥的体积为，即，可得， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，所以为二面角的平面角， 可得，可得，同理可得点到的距离为， 以为坐标原点，向量，与平面垂直的方向分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得． 设平面的法向量为， 有取，可得， 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 22. 已知曲线与曲线关于直线对称． （1）求曲线的方程． （2）若过原点的两条直线分别交曲线于点，，，，且（为坐标原点），则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值， 【解析】 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，将其代入即可求解， （2）讨论是否与垂直，垂直时，求解，，即可求解面积，不垂直时，联立直线与椭圆方程，得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积，即可求解. 【小问1详解】 设点为曲线上任一点，则点关于直线的对称点在曲线上． 根据对称性，得解得 将代入曲线并整理，得．故曲线的方程为． 【小问2详解】 四边形的面积为定值．理由如下： 当直线的斜率不存在时，直线轴，则． 因为，所以不妨设，则， 此时取，， 根据对称性可知四边形为平行四边形， 则四边形的面积，为定值． 当直线的斜率存在时，设，且，． 联立得． 由，得，则 ，， 则 ． 因为，即，即， 所以 ． 因为原点到直线的距离， 由于四边形为平行四边形， 所以四边形的面积． 综上，四边形的面积为定值． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三“天使计划”第二轮数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如准考证号：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 定义差集且，已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的第80百分位数为17； B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0； D. 若随机变量满足，则． 5. 2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 6. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（    ） A. 点共面 B. 平面平面 C. D. 平面ACD 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知是的共轭复数，则（ ） A. 若，则 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则集合所构成区域的面积为 10. 已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 12. 已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 设到直线的距离分别为，则 D. 若直线的斜率分别为，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式共有8项，则常数项为____________． 14. 有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为________． 15. 设，，若，则的最小值为______. 16. 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则__________；当取最小值时，的面积为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 18. 已知正项数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知函数． （1）若，求函数在上的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调性． 20. 2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格： 认知情况 A类：不会读不会写 B类：会读不会写 C类：会读且会写但不理解 D类：会读、会写且理解 人数/万人 10 30 5 5 认知度分值 50 70 90 100 （1）求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差； （2）为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率； （3）若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望． 21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形． （1）若直线是平面和平面的交线，证明：； （2）若四棱锥的体积为，二面角和二面角都是，求直线与平面所成角的正弦值． 22. 已知曲线与曲线关于直线对称． （1）求曲线的方程． （2）若过原点的两条直线分别交曲线于点，，，，且（为坐标原点），则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $