精品解析：上海市闵行中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

闵行中学2023学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：陈清源 校审：钱洁琼 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______. 2. 角的终边上有一点，则_______________ 3. 已知复数满足，则__________. 4. 数列中，，则的值为________． 5. 已知若则x=_______________. 6. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 7. 已知的三边长，则的面积为__________. 8. 已知点，点为原点，则的最小值为______. 9. 在复平面内，复数和对应的点分别为，则__________. 10. 等差数列前项和为，，，则取最大值时________． 11. 如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，，则所有正方形的面积的和为___________. 12. 已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设，那么等于（ ） A. B. C. D. 15. 如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设实数，给出如下两个命题： ①存，使得，，，按某种顺序可组成等差数列； ②存在，使得，，，按某种顺序可组成等比数列． 则（ ） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知函数的最大值为2． （1）求a的值，并求的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间． 18. 已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． （1）当时，求共轭虚根和； （2）若，求实数a的值． 19. 银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． （1）设技术改造后，甲方案第n年利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； （2）假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 20. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且满足. （1）求C； （2）若，求当函数取最小值时的周长； （3）求取值范围． 21. 已知数列前n项和满足，． （1）求的通项公式； （2）若表示不超过x的最大整数，如，求的值； （3）设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 闵行中学2023学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：陈清源 校审：钱洁琼 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______. 【答案】4 【解析】 【分析】由弧长公式和扇形的面积公式计算即可. 【详解】根据扇形的弧长公式可得， 根据扇形的面积公式可得． 故答案为：4. 2. 角的终边上有一点，则_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角终边上有一点， 所以. 故答案为： 3. 已知复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解. 【详解】，. 故答案为：. 4. 数列中，，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】时， 故答案为：0. 5. 已知若则x=_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示计算即得. 【详解】由，且，得. 故答案为： 6. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差中项可得，利用等比数列通项公式代入即可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为首项为1，所以， 所以，故. 故答案：2 7. 已知的三边长，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出一角，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】由余弦定理有， 又，所以， 所以的面积. 故答案为：. 8. 已知点，点为原点，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用数量积的坐标表示，再利用三角函数性质求解即得. 【详解】依题意，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 9. 在复平面内，复数和对应点分别为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求出结果. 【详解】由题意可知，， 则， 故答案为：. 10. 等差数列的前项和为，，，则取最大值时________． 【答案】6或7 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以 为开口向下的二次函数，又 所以对称轴为 因为，所以当6或7时，取最大值， 故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 11. 如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，，则所有正方形的面积的和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，可得，依次计算，，不难发现：边长依次为，，，，构成是公比为的等比数列，正方形的面积：依次，，不难发现：边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和． 详解】根据题意可知，可得， 依次计算，，是公比为的等比数列， 正方形的面积：依次，， 边长依次为，，，，正方形的面积构成是公比为的等比数列． 所有正方形的面积的和． 故答案为： 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和公式的运用．利用边长关系建立等式，找到公比是解题的关键．属于中档题． 12. 已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点共线，且，，点的轨迹是以线段为直径的圆，故即可理解为点到圆上点的距离，即得点与点重合时取得最大值. 【详解】 依题意，如图分别作，其中,, 由知，依题意知点有两个位置，即点和点， 又,，由知, 即点的轨迹是以线段为直径的圆. 故的模长当且仅当点与点重合时取得最大，最大值为. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的模长的最值问题，属于难题.对于抽象的向量的共线，垂直，模长等相关量的问题，一般是根据题意作出满足条件的图形，将问题转化成几何图形的距离、夹角等相关量来解决. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，是偶函数，充分性满足， 但时，也是偶函数，必要性不满足． 应是充分不必要条件． 故选：A． 14. 设，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据递推关系式求出，再作差即可； 【详解】解：因为， 所以， 故选：D 15. 如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 方法二：如图2，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 16. 设实数，给出如下两个命题： ①存在，使得，，，按某种顺序可组成等差数列； ②存，使得，，，按某种顺序可组成等比数列． 则（ ） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②均为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的定义结合同角三角函数的基本关系，三角恒等变换即可求解. 【详解】假设角与单位圆的交点为， 因为，所以， 则根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，，中最小，最大， 若成等差数列，则， 即 即 即 因为，所以，则 所以， 而，故不成立， 所以，，，不可能按某种顺序组成等差数列； 若成等比数列，则， 即，因为，所以方程无解， 所以，，，不可能按某种顺序组成等比数列； 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知函数的最大值为2． （1）求a的值，并求的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间． 【答案】（1），最小正周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到，根据函数最值，即可求出，再由正弦函数的周期，即可求出周期； （2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果. 【小问1详解】 ， 所以， 因为函数的最大为2，所以， 解得； 所以，因此最小正周期为； 【小问2详解】 由，得， 所以的单调递增区间为， 又，取， 得在上的单调递增区间为. 18. 已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． （1）当时，求共轭虚根和； （2）若，求实数a的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由公式法求解即可； （2）由题可知，求得的范围，由求根公式计算，进而可得 利用模长公式求解即可. 【小问1详解】 当时，，则方程的根为 即 【小问2详解】 有一对共轭虚根，所以，即. ∴， 整理得，即,解得：或. 故或. 19. 银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． （1）设技术改造后，甲方案第n年的利润为（万元），乙方案第n年的利润为（万元），请写出、的表达式； （2）假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据， 【答案】（1），, （2）采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分别求解1年，2年后，….，进而归纳后的利润，即可求解． （2）分别求出两种方案的净收益，再通过比较，即可求解． 【小问1详解】 对于甲方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， 对于乙方案， 1年后，利润为1（万元）． 2年后，利润为， 3年后，利润为（万元）， …… 故年后，利润为（万元）， 因此， 【小问2详解】 甲方案十年共获利（万元）， 10年后，到期时银行贷款本息为（万元）， 故甲方案的净收益为（万元）， 乙方案十年共获利（万元）， 贷款本息为（万元）， 故乙方案的净收益为（万元）， 由，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多 20. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且满足. （1）求C； （2）若，求当函数取最小值时的周长； （3）求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）先由题中条件，得到，再由正弦定理将该式变形整理，求出，即可得出角； （2）先将化简整理，得到，确定其取最小值时，，进而可求出各边长，得到三角形的周长； （3）先由（1）得到，，将所求式子化为，化简整理后，利用三角函数的性质，即可求出其范围. 【详解】（1）由题意可得， 根据正弦定理可得，则， 所以，又为三角形内角，所以，因此，所以； （2）因为， 由可得，因此；所以当且仅当时，取得最小值，此时； 因为，所以，， 则的周长为； （3）因为，所以，， 因此， 因为，所以， 因此，所以， 即的取值范围是. 【点睛】思路点睛： 求解三角形的相关问题时，一般先利用正弦定理或余弦定理将题中条件进行转化，求出所需角或边；再结合题中条件，进行求解；有时也会利用三角函数的性质或基本不等式求解最值或范围问题. 21. 已知数列的前n项和满足，． （1）求的通项公式； （2）若表示不超过x的最大整数，如，求的值； （3）设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）1 （3）存在，最大值为674. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式求得，结合“当时，”进行计算即可. （2）在时，可得，再求和确定范围，按定义即可作答. （3）利用裂项相消法求和，再判断单调性即可求解作答. 【小问1详解】 因为， 则当时，， 又因为， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. 小问2详解】 由（1）知，当时，， 则 当时，，即对任意的，都有， 所以 【小问3详解】 由（1）知，， 则有， 因，则数列单调递增，， 因对任意正整数均有成立，于是得，解得，而，则， 所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为674. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$