精品解析：上海市青浦区2023-2024学年高二下学期期终学业质量调研数学试卷

2023学年第二学期高二年级期终学业质量调研 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） Q2024.06 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名、学生考号等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器． 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1. 直线的倾斜角为________． 2. 在的展开式中，含项的系数为________． 3. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 4. 设为正整数，计算_____. 5. 已知圆锥的底面直径为8，高是3，则该圆锥的侧面积为________． 6. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________． 7. 在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则________． 8. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的平均数相同，则甲组数据的中位数为________． 9. 已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为________． 10. 在棱长为1的正方体中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为________． 11. 若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为________． 12. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为_________ 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分．每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 14. 设矩形边长分别为，将其按两种方式卷成高为和的圆柱（无底面），其体积分别为和,则与的大小关系是 A. B. C. D. 不确定 15. 某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A. 42种 B. 40种 C. 36种 D. 30种 16. 某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，不可计算出旗杆高度的方案是（ ）． A. 在水平地面上任意寻找两点A、B，分别测量旗杆顶端的仰角、，再测量A、B两点间距离 B. 在旗杆对面找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和 C. 在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角，再测量A到旗杆底部的距离 D. 在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角 三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． （1）写出图中“果圆”的方程； （2）直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 18. 如左下图1，是水平放置的矩形，，将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如右下图2．设O是的中点，D是的中点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）连接，设平面与平面的交线为直线l，求证：． 19. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数． 20. 已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线分别交直线于两点，证明：为定值； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21. 已知，函数，其中． （1）若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； （2）若，，且满足，证明：； （3）若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期高二年级期终学业质量调研 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） Q2024.06 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名、学生考号等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器． 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1. 直线的倾斜角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 2. 在的展开式中，含项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以含项为， 即在的展开式中，含项的系数为． 故答案为：． 3. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 4. 设为正整数，计算_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的前项和公式和极限的思想计算即可. 【详解】因为， 当时，，所以. 故答案为： 5. 已知圆锥的底面直径为8，高是3，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的母线，利用圆锥的侧面积公式求出答案 【详解】圆锥的底面半径为，又高为3，故圆锥的母线， 故该圆锥的侧面积. 故答案为： 6. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解． 【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是， 现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率． 故答案为：． 7. 在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，可得点关于平面xOz的对称点为， 则，所以. 故答案为：. 8. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的平均数相同，则甲组数据的中位数为________． 【答案】41 【解析】 【分析】根据平均数相同求出的值，从而将甲组数据从小到大排序即求出甲组数据的中位数. 【详解】因为乙组数据为：， 所以平均数为：， 又因为甲组数据与乙组数据平均数相同， 所以，即， 所以甲组数据为：， 所以甲组数据的中位数为：. 故答案为：. 9. 已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由A、B为焦点，可得，点C在椭圆上，可得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】由已知，所以， 又点C在椭圆上，所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 10. 在棱长为1的正方体中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，对点的位置进行分类讨论，设出点P的坐标，结合空间中两点间的距离公式求出点的坐标，结合正方体的对称性可得结果. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、， ①若点在棱上，可设，其中， 则， 即棱上不存在点使得， ②当点在棱上时，设点，其中， ， 解得，此时点为的中点， 同理可知，当点分别为棱、的中点时，， 由对称性可知，当点分别为、、的中点时，； 同理可知棱、、、、、上均不在点，使得. 因此，满足条件的点的个数为. 故答案为：. 11. 若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，分在区间单调递增和单调递减两种情况讨论，参变分离，结合正切函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格单调函数， 若单调递增，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 若单调递减，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 综上可得. 故答案为： 12. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由题，根据椭圆和双曲线的定义可表示出，再利用余弦定理可得，最后再利用柯西不等式可的结果. 【详解】由题，设椭圆为：，双曲线为： 由定义可得 在三角形中，由余弦定理可得： 整理可得： 由柯西不等式： 所以，当且仅当时取等号. 故答案为 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合知识，熟悉性质和定义是解题的关键，还有了解余弦定理以及柯西不等式，综合性强，属于难题. 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分．每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数知识得到方程，求出或3，得到答案. 【详解】，故或， 解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14. 设矩形边长分别为，将其按两种方式卷成高为和的圆柱（无底面），其体积分别为和,则与的大小关系是 A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得卷得圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，求解两圆柱的体积，比较即可得到答案. 【详解】由题意，当卷成高为的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为，则， 解得，则圆柱的体积为， 当卷成高为的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为，则， 解得，则圆柱的体积为， 又由，所以，即，故选C. 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，以及圆柱的体积的计算问题，其中解答解答中，根据题意求解两圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，准确求解圆柱的体积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15. 某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A. 42种 B. 40种 C. 36种 D. 30种 【答案】B 【解析】 【分析】利用相邻问题的排列数，减去甲乙相邻时丙排在5月3日的排列数得解. 【详解】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为， 所以不同的安排方案共有（种）. 故选：B 16. 某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，不可计算出旗杆高度的方案是（ ）． A. 在水平地面上任意寻找两点A、B，分别测量旗杆顶端的仰角、，再测量A、B两点间距离 B. 在旗杆对面找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和 C. 在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角，再测量A到旗杆底部的距离 D. 在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角 【答案】A 【解析】 【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可. 【详解】对于A：如果，两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确． 对于B：如下图， 中由正弦定理求，则旗杆的高，故B正确； 对于C：在直角三角形直接利用锐角三角函数求出旗杆的高，故C正确； 对于D：如下图，中由正弦定理求，则旗杆的高，故D正确； 故选：A. 三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． （1）写出图中“果圆”的方程； （2）直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和短轴的两个顶点坐标可得半个椭圆的方程，由圆弧经过的焦点坐标和短轴的两个顶点坐标，可求出圆弧方程，可得图中“果圆”的方程； （2）通过联立方程组求出A、B两点坐标，可求弦AB的长度. 【小问1详解】 因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与. 可得，即， 所以半个椭圆的方程为； 圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与， 设圆弧方程为， 利用，解得，所以， 得. 所以果圆方程为，. 【小问2详解】 由，解得，得， 由，解得，得， 所以. 18. 如左下图1，是水平放置的矩形，，将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如右下图2．设O是的中点，D是的中点． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）连接，设平面与平面的交线为直线l，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）过作于，连接，可得平面，则为直线与平面所成角，解三角形即可求得直线BD与平面PAC所成角的大小； （2）由O是的中点，D是的中点，可得，则得平面，得，则． 【小问1详解】 过作于，连接， ∵平面平面，且平面平面，，平面， ∴平面，∴为直线与平面所成角， ∵，不妨设， 将矩形沿对角线折起后，仍有， 又D是的中点， 可得， ， ∴在中，，， ， ∴直线与平面所成角的大小为． 【小问2详解】 是的中点，是的中点，， 又平面，平面，平面PBC， 又∵平面平面，平面，， ． 19. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意设原函数为，然后求得导函数，由此求得的值得到函数的解析式，然后由与的关系求得； （2）首先结合（1）求得的表达式，由此求得，然后将看作关于的函数，通过求函数的最大值来求得的值. 【小问1详解】 由题意令二次函数为 则，又 所以，， 所以 因为点均在函数的图像上， 所以 当时， 当时，, 所以满足 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由(1)得 ， 故． 把代数式看作的函数， 因此，使得成立的必须满足的最大值小于， 又函数为单调递减函数，且时，， 所以，即， 故满足要求的最小整数为. 20. 已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线分别交直线于两点，证明：为定值； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据点在双曲线上，即可求得曲线方程； （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明； （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【小问1详解】 由双曲线C：的图像经过点得：，解得：， 所以双曲线C的标准方程为：； 【小问2详解】 由（1）中所求可得点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为， 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 则 故为定值. 【小问3详解】 当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时， 不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题. 21. 已知，函数，其中． （1）若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； （2）若，，且满足，证明：； （3）若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）把，代入，利用导数值为0求出切点坐标即可作答. （2）利用反证法结合均值不等式证明即可. （3）当时，利用导数探讨函数的单调性，确定函数有唯一零点，再证明当时，函数有两个零点作答. 【小问1详解】 当，时，，求导得， 由，即，得，此时， 所以所求水平切线的方程为. 【小问2详解】 证明：由题可得：， 即， 此时，若，则，从而有， 但是由平均不等式可得：， 且由知等号不成立，因此，与矛盾， 于是，所以. 【小问3详解】 依题意，， 当时，，函数在上严格递增， 从而当时，有唯一零点， 当时，，其中，而函数在上严格递增， 则当时，，而当时，， 于是函数在区间上严格递减，在区间上严格递增， 又，因此当且时，； 当且时，，而， 从而由零点存在定理知，连续函数在区间和上各有一个零点，即函数不可能有唯一零点， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $