精品解析：2024届四川省泸州市高三教学情况调研数学试题

2024四川高考泸州高三教学情况调研数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）． A. 5，7 B. 6，7 C. 8，5 D. 8，7 【答案】D 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，结合数据的中位数、众数的概念，即可求解. 【详解】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8， 因此，这组数据的众数为8，中位数为7． 故选：D． 2. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设复数，根据题意，列出方程求得，进而求得复数的虚部，得到答案. 【详解】设复数， 因为，可得，可得， 解得，所以复数的虚部为. 故选：B. 3. 若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案. 【详解】由，得， . 故选：B. 4. 一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定信息，列出方程并求解即可作答. 【详解】依题意，由，，得，即， 则有，解得，， 所以带宽为. 故选：D 5. “”是“函数的图象关于对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 7. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ） A. 72种 B. 96种 C. 144种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出甲是第一，乙是第一的可能情况，再利用分类加法计数原理计算即可. 【详解】由题意，丙可能4，5，6名，有3种情况， 若甲是第一名，则获得的名次情况可能是种， 若乙是第一名，则获得的名次情况可能是种， 所以所有符合条件的可能是种. 故选：C. 8. 已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得数列在上是递减数列，数列在上是递增数列，再根据二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为对任意都有， 所以数列在上递减数列， 因为对任意都有， 所以数列在上递增数列， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7 D. 若事件满足，则事件相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据 根据二项分布知识可判断A，根据正态分布知识可判断B，根据百分位数可判断C，根据条件概率知识可判断D. 【详解】因为随机变量服从二项分布，则，故A正确； 因为随机变量服从正态分布，则对称轴为，，故B错误； 这组数据的第70百分位数为，故C错误； 因为，所以，所以事件相互独立. 故选：AD. 10. 已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 若 ，则 有两解 C. 当时， 为直角三角形 D. 若 为锐角三角形，则 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通过余弦定理及可得或，即可判断C；通过求的取值范围，并将即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以由及正弦定理得，， 由诱导公式得，， 因为，故，所以， 化解得，即， 所以或，即（舍）或，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即，得， 由，所以(负值舍)，即有一解，故B错误； 对于C，因为，两边平方得， 由余弦定理得， 由两式消得，，解得或， 由解得， 由解得; 故为直角三角形，故C正确； 对于D，因为为锐角三角形，且， 所以， 即， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF垂直 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点与点D到平面AEF的距离相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱柱的结构特征，建立以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法即可判断A，根据线线平行即可判断B,根据梯形面积即可判断C,根据中点关系即可判断D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 、、分别为、、的中点，则，，， ， 对于A,，， ，故A错误； 对于B：连接,， ，,,,四点共面， 由于,,所以四边形 为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面，故B正确， 对于C，连接，， ，四边形为平面截正方体所得的截面， ，，， 四边形为等腰梯形，高为， 则四边形的面积为，故C正确； 对于D,连接交于点，故是中点，且是线段与平面的交点，因此点和点到平面的距离相等，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】解二次不等式化简集合，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解. 【详解】因为， ， 又集合恰有两个元素， 所以恰有两个元素1和2，所以. 故答案为：. 13. 已知圆与圆相切，则______. 【答案】1或3##3或1 【解析】 【分析】由已知可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分两圆内切和外切两种情况讨论，求出的值即可． 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 其圆心距． 若两圆内切，则有，即，可得或（舍）； 若两圆外切，则有，即，解可得． 故答案为：1或3． 14. 已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，若，则双曲线离心率为________．的取值范围为________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】设内切圆分别与三边相切于，可求得的内切圆的圆心横坐标为a，同理可得的内切圆的圆心横坐标为，进而由，可得，求解可得双曲线的离心率；由已知可得，利用三角恒等变换可求的取值范围. 【详解】设内切圆分别与三边相切于， 由切线长定理可得 所以 ，所以， 所以点的横坐标为， 的内切圆的圆心横坐标为a， 同理可得，的内切圆的圆心横坐标为， 又，则， 即，解得． 由已知可得由， 所以， ， 因为，所以，所以一条渐近线的倾斜角为，所以， 所以，所以. 故答案：①；②． 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; （2）讨论的单调性与极值. 【答案】（1） （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解， （2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值. 【小问1详解】 由题得，的定义域为. . 的图象在点处的切线与直线l:垂直， ， 解得. 【小问2详解】 由（1）知. ①当时，恒成立. 在上为减函数，此时无极值; ②当时，由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 综上可得，当时，在上为减函数，无极值; 当时，在上单调递减，在上单调递增. 的极小值为，无极大值. 16. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明； （2）由已知可知，为等边三角形，故，利用面面垂直的性质定理可证得底面，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为侧面是平行四边形， 所以为的中点，又因为点为线段的中点， 所以， 因为面，面， 所以面. 【小问2详解】 连接，，因为，， 所以为等边三角形，， 因为点为线段的中点， 所以， 因为侧面底面，平面平面，平面， 所以底面， 过点在底面内作，如图以为坐标原点，分布以，，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 又因为平面的法向量为， 则， 经观察，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 17. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 （1）完成列联表.根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？ （2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望.（对应值见下表.，） 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表见解析，能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由已知数据完成列联表，计算，与临界值比较得结论； （2）根据题意，结合条件概率以及全概率公式求出随机抽取一人体能测试合格的概率，利用二项分布求出对应概率以及分布列及期望. 【小问1详解】 列联表如下表 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 零假设为体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关. . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01. 【小问2详解】 方法一：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，. 所以； 的可能取值为：0，1，2，3 ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 方法二：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，. 所以. 因为. 所以，. 所以. 18. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 ，，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 【小问2详解】 为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 19. 已知O为坐标原点，椭圆左､右焦点分别为，短轴长为，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8． （1）求的方程； （2）若直线l与Ω交于A，B两点，且，求|AB|的最小值； （3）已知点P是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足|PM|＝|PN|?若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，求解即可； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，若直线斜率存在，设方程为．设，，联立方程组可得，由可得，进而可得弦长，利用换元法可求最小值； （3）r为点O到直线PM的距离，结合（2）的结论，可求. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由双曲线定义可得，， 故，又． 所以，． 所以方程为． 【小问2详解】 ①若直线斜率不存在，则设，则， 因为，所以， 所以，所以． 所以． ②若直线斜率存在，设方程为．设，． 联立，消去y整理得，， 则． 由韦达定理，得， 于是，即． 故． 令，则，． 所以． 因为，所以当时，． 综上，的最小值为． 【小问3详解】 如图所示，设PM、PN与圆O的切点分别为E、F，则． 又，则． 所以，所以． 取MN中点Q，若O和Q不重合，则． 所以． 又因为M、N在椭圆上， 则，所以， 所以，所以， 又，，所以．矛盾．所以O和Q重合，即M、N关于原点对称．所以． 设直线的方程为，则r为点O到直线PM的距离， 所以．由（2）可知，， 故，即． 又当MN斜率不存在时，也成立． 综上，． 所以存在存在定圆满足条件，此时. 【点睛】解析几何承载着考查数学运算核心素养的功能，“多想少算”绝非“空想不算”．用代数方法研究几何问题是解析几何的核心，适度地挖掘几何性质可减少一定的计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $