精品解析：上海市虹口区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

虹口区2023学年度第二学期初二年级期末学生学习诊断练习 数学 练习卷 （满分100分，时间90分钟） 注意： 1.本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1. 下列四个函数中，一次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 上海明天太阳从西边升起 B. 任意选取两个非零实数，它们的积为正 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D. 在平面内画一个平行四边形，它内角和等于360度 4. 下列方程中，有实数解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7. 直线的截距是______． 8. 方程的解是______． 9. 如果一次函数的图象经过，那么的值是______． 10. 已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是______． 11. 用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为______． 12. 如果一个正多边形每一个内角都等于，那么这个正多边形内角和是______． 13. 如图，在矩形中，，对角线与交于点，且，，，则四边形的周长为______． 14. 如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为______． 15. 如图，在△中，点是边中点，设，用的线性组合表示是________． 16. 如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么______． 17. 如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为______． 18. 如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为__________． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 解方程：． 20. 解方程组： 21. 一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． （1）如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； （2）如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； （3）如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 22. 某食品公司产销一种食品，已知每月生产成本与产量x之间是一次函数关系，函数与自变量x（）的部分对应值如下表： x（单位：） 10 20 30 （单位：/元） 3030 3060 3090 （1）求与x之间的函数关系式； （2）经过试销发现，这种食品每月的销售收入（元）与销量x（）之间满足如图所示的函数关系 ①与x之间的函数关系式为 ； ②假设该公司每月生产的该种食品均能全部售出，那么该公司每月至少要生产该种食品多少，才不会亏损？ 23. 如图，在中，、分别是边、的中点，连接、，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作与的延长线交于点，且．求证：四边形是矩形． 24. 如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是梯形； （2）如果，当为等腰三角形时，求的长． 25. 已知直线（其中），我们把直线称为直线“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． （1）如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹口区2023学年度第二学期初二年级期末学生学习诊断练习 数学 练习卷 （满分100分，时间90分钟） 注意： 1.本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1. 下列四个函数中，一次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故A错误； B、，是一次函数，故B正确； C、，自变量x的最高次数为，不是一次函数，故C错误； D、中，自变量次数不为1，不是一次函数，故D错误． 故选：B． 2. 已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：A． 3. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 上海明天太阳从西边升起 B. 任意选取两个非零实数，它们的积为正 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D. 在平面内画一个平行四边形，它的内角和等于360度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件的概念．必然事件：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件；随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(简称事件)；根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A、上海明天太阳从西方升起是不可能事件，不符合题意； B、任意选取两个非零实数，它们的积为正是随机事件，不符合题意； C、抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，不符合题意； D、在平面内画一个平行四边形，它的内角和等于360度是必然事件，符合题意； 故选：D． 4. 下列方程中，有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程、平方的非负性、二次根式的性质等知识，分别解方程和利用二次根式的性质进行计算后，即可得到答案． 详解】解：A． 去分母得，， 当时，， 则是增根，原分式方程无解， 故选项不符合题意； B．， 则， ∴原方程没有实数根， 故选项不符合题意； C． 则， 解得， 故选项有实数解，符合题意； D．, ∵， ∴， 即原方程没有实数解， 故选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在梯形中，，点是边的中点，连接，，下列向量中，不是的相反向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行向量，相反向量等知识，解题的关键是平行向量，相反向量的定义，属于中考常考题型．根据相反向量，平行向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、与是相反的向量，本选项不符合题意； B、与是相反的向量，本选项不符合题意． C、与互为相反向量，本选项不符合题意． D、与是平行向量，方向相同，不是相反向量，本选项符合题意． 故选：D． 6. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 根据正方形的性质以及勾股定理可得，记交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理计算，即可解题． 【详解】解：正方形对角线， ， ， 又菱形中，记交于点， ，于点，，，且为等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7. 直线的截距是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．代入，求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 故直线的截距是6， 故答案为：6． 8. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的步骤是解题的关键．先把无理方程转换为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 详解】解：方程两边同时平方，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是， 故答案为：． 9. 如果一次函数的图象经过，那么的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．直接把代入到一次函数解析式中求出m的值即可． 【详解】解：根据题意得： 解得：， 故答案为：3． 10. 已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．根据一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，可得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 11. 用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，进行转化，再将分式方程转化为整式方程即可． 【详解】解：设， 则原方程化为：， 去分母，得：，即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查换元法解分式方程．熟练掌握换元法，以及将分式方程转化为整式方程的方法，是解题的关键． 12. 如果一个正多边形每一个内角都等于，那么这个正多边形的内角和是______． 【答案】##1440度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理和内角和公式，正多边形的每一个内角都等于，则每个外角是，外角和是，则可以求得这个多边形的边数，再根据边数即可求得内角和． 【详解】解：这个多边形的边数是， 则内角和是， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，对角线与交于点，且，，，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，根据、矩形的性质、等边三角形的判定，推理证明是等边三角形，得出，结合，，菱形的判定定理证明四边形是菱形，计算周长即可，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，推理证明是解题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与交于点，，， ∴，， 四边形是平行四边形， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键． 先根据向量运算求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据向量运算即可得． 【详解】解：，， ， 点D是边的中点， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可． 【详解】解：在中，、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ， 在梯形中，、分别是、的中点， 是梯形的中位线， ， 故答案为：． 17. 如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H，由梯形中位线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的特征及等腰三角形的性质，得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H， ， 三点共线， 梯形的中位线长为6， ， ， ， ， ， 在梯形中，， 梯形是等腰梯形， ， ， ， ， ，即， （负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握梯形的性质是解题的关键． 18. 如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键．连接交于，过点作于．根据四边形的面积为6，得到，设，利用翻折特征，得到，证明，依次得到，，在利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接交于，过点作于，如图所示， 四边形为正方形， 四边形是梯形， 四边形面积为，又， ， 设，则，， ，，， 四边形为矩形， ， , 四边形为矩形， 点是点沿着的翻折点， ， ， ，又，， ， ， 在中，根据翻折特征，，利用勾股定理得， ，即， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 解方程：． 【答案】方程的解是，． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验，即可得出答案． 【详解】解：去分母得， 整理得，即， 解得，， 经检验，都是原方程的解． 故方程的解是，． 20. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二元二次方程组解法，由①可得，，将③代入②得，求出，，然后代入求解即可． 【详解】 由①可得， 将③代入②得， 整理得， 或 解得， 将代入③得，； 将代入③得，． ∴方程组的解为或． 21. 一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． （1）如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； （2）如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； （3）如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 【答案】（1） （2） （3）往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键． （1）用白球个数除以球的总个数即可； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设往箱子里放红球x个，白球1个，根据“摸出白球的概率为”建立方程求解检验即可． 【小问1详解】 解：摸出的球是白球的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2， 即两次都是摸出白球的概率为：； 【小问3详解】 解：设往箱子里放红球x个，白球1个，根据题意得： ，即 解得：， 经检验，是原方程的解， 往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 22. 某食品公司产销一种食品，已知每月的生产成本与产量x之间是一次函数关系，函数与自变量x（）的部分对应值如下表： x（单位：） 10 20 30 （单位：/元） 3030 3060 3090 （1）求与x之间的函数关系式； （2）经过试销发现，这种食品每月的销售收入（元）与销量x（）之间满足如图所示的函数关系 ①与x之间的函数关系式为 ； ②假设该公司每月生产的该种食品均能全部售出，那么该公司每月至少要生产该种食品多少，才不会亏损？ 【答案】（1） （2）①，②每月至少要生产该种食品，才不会亏损 【解析】 【分析】（1）由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求函数关系式． （2）利用利润问题中的等量关系解决这个问题． 【小问1详解】 解：设，由已知得： ， 解得： ． 给所求的函数关系式为． 【小问2详解】 解：①设， 根据函数关系图得出：， 得出：， 所以：， ②由，得：， 解得． 答：每月至少要生产该种食品，才不会亏损． 【点睛】本题考查一次函数的应用，正确得出解析式是解题的关键． 23. 如图，在中，、分别是边、的中点，连接、，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作与的延长线交于点，且．求证：四边形是矩形． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用中点和平行四边形的性质证明，所以四边形是平行四边形，由平分、，可证，故，则结果证； （2）由（1）知，结合，可得，在中，则四边形是平行四边形，连接，证明，则结果得证． 【小问1详解】 解：分别是的中点， ， 又∵在中，，且， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 由（1）知， 又， ， ， 又在中即， 四边形平行四边形， 连接，如图 是中点， 即为对角线的交点， 即， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质，矩形的判定，熟悉相关性质、性质定理是解题关键． 24. 如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是梯形； （2）如果，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6或16 【解析】 【分析】（1）证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，根据，与相交，得到与不平行，即可证明四边形是梯形； （2）分，，，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 证明：， ， 为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ，与相交， 与不平行， 四边形是梯形； 【小问2详解】 解：为等腰三角形， 如图，当时， 为的中点， ， ，， ； 如图，当时，过点F作，垂足为H， 由（1）知四边形是平行四边形， ，即， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 如图，当时， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 此时，点与点B重合，不符合题意， 综上，当为等腰三角形时，的长为6或16． 【点睛】本题考查梯形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的特征，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 25. 已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． （1）如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）正确，直线过定点 【解析】 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【小问1详解】 解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； 【小问2详解】 解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $