精品解析：上海市杨浦区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

上海市杨浦区2023-2024学年八年级下学期数学期末考试试卷 （测试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列函数中，一次函数的是（ ） A. B. C. D. （k为常数） 2. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A B. C. D. 3. 下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，随机事件的是（ ） A. 直线与直线有公共点 B. 10位学生分3组，至少有一组人数超过3 C. 任取一个实数，它平方小于零 D. 掷一次骰子，向上的一面是6点 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的菱形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 6. 上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 直线的截距是____________． 8. 方程的解是______． 9. 方程=1解是_______． 10. 方程组 的解是______． 11. 如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是______． 12. 已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为______． 13. 在四张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，那么抽到卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为______． 14. 某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为______． 15. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 16. 如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米． 17. 已知直线与直线，如果满足，，那么直线与直线称为“互为交换直线”如果直线与其交换直线分别与轴交于点、，且，那么______． 18. 如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点E．如果是直角三角形，那么的长为______． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 解方程：． 20. 解方程组： 21. 如图，在中，点、、分别是边、、的中点． （1）写出图中所有与相等的向量：______； （2）用图中的向量表示：______； （3）求作：（不要求写作法，但要写出结论）． 22. 、两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从城驶往城，乙车从城驶往城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距城高速公路入口处的距离（千米）与行驶时间（时）之间的关系如图． （1）求关于的函数解析式； （2）已知乙车以千米时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为（千米时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚分钟到达终点，求乙车变化后的速度． 23. 已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． （1）求证：； （2）连接，如果，求证：四边形矩形． 24. 已知在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、点．点Cx轴上一点，点Q是平面内一点，四边形是菱形． （1）求点C和点Q的坐标； （2）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E是直线上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段没有交点），求t的取值范围． 25. 已知在矩形中，，，点是边上的动点，连接．线段绕点顺时针旋转，点落在点处． （1）如图1，当时，求的面积； （2）设，，求关于的函数关系式和定义域； （3）作的平分线与边所在直线交于点，如果，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市杨浦区2023-2024学年八年级下学期数学期末考试试卷 （测试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列函数中，一次函数的是（ ） A. B. C. D. （k为常数） 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．利用一次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是一次函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项符合题意； C、不是一次函数，故此选项不符合题意； D、当时，（k为常数）不是一次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 下列方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的意义可对A进行判断；通过算术平方根的概念可对B进行判断；通过乘方的意义可对C，D进行判断． 【详解】解：A.根据分式的意义，x为非零数时，故选项A中的方程无实数根； B. ，原方程没有实数解； C. ，原方程没有实数解； D. 移项得，，两边开立方得，，故方程的解为； 故选：D． 【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 3. 下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的模的定义，以及零向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了向量的模的定义，以及零向量的定义，熟练掌握平面向量的相关定义是解题的关键． 4. 下列事件中，随机事件的是（ ） A. 直线与直线有公共点 B. 10位学生分3组，至少有一组人数超过3 C. 任取一个实数，它的平方小于零 D. 掷一次骰子，向上的一面是6点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、直线与直线不平行，所以它们有公共点，是必然事件，不符合题意； B、10位学生分3组，至少有一组人数超过3，是必然事件，不符合题意； C、任取一个实数，它的平方小于零，是不可能事件，不符合题意； D、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件，符合题意； 故选：D． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的菱形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形、菱形、正方形的判定，利用特殊四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； B．对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，故选项正确，符合题意； D．对角线垂直相等的平行四边形是正方形,故选项错误，不符合题意． 故选：C． 6. 上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 直线的截距是____________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据截距的定义：直线y=kx+b中，b就是截距，即可得到答案． 【详解】解：令x=0，得y=-1， ∴直线y=2x-1截距是-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质，熟记截距的定义是解题的关键． 8. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质以及立方根的意义求解即可． 【详解】移项，得， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根和等式的基本性质，熟练掌握立方根的意义是解决问题的前提． 9. 方程=1的解是_______． 【答案】x=2 【解析】 【详解】=1，两边平方得，2x﹣3=1， 解得，x=2； 经检验，x=2是方程的根； 故答案为x=2． 考点：解无理方程. 10. 方程组 的解是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，x、y可看作方程的两根，利用因式分解法科得到，，则或． 【详解】解：根据题意x、y可看作方程的两根， ， 解得，， 所以或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了根与系数的关系． 11. 如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象与系数的关系，能得出关于m的不等式是解题的关键．根据已知条件和一次函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y整式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据换元法即可求解． 【详解】解：方程，如果设， ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 13. 在四张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，那么抽到卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，概率的求法，掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键；直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：4个图案中，中心对称图形的有3个，分别是平行四边形、矩形、菱形， 抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是， 故答案为： 14. 某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是掌握增长率的知识．先表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程． 【详解】解：根据题意，可列方程为． 故答案为：． 15. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为8． 16. 如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为_____厘米． 【答案】13 【解析】 【分析】根据梯形的周长公式列式进行计算即可得到两底的和，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出中位线的长即可． 【详解】∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米， ∴两底的和为（厘米）， ∴这个梯形的中位线长为（厘米）， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了梯形的中位线等知识点，熟练掌握梯形的中位线求法是解题关键． 17. 已知直线与直线，如果满足，，那么直线与直线称为“互为交换直线”如果直线与其交换直线分别与轴交于点、，且，那么______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据新定义得出的交换直线为，得出，，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，的交换直线为， 中，当时，，则， 中，当时，，则， ∵， ∴或 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，理解新定义是解题的关键． 18. 如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点E．如果是直角三角形，那么的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】过点B作交延长线于点G，易得四边形是矩形，得到，当时，根据角平分线的性质得到，证明，得到，利用勾股定理求出，从而得到，设，则，由勾股定理得到，即可求解；当时，过点E作交于点H，根据角平分线的性质得到，证明，再证明，得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点B作交延长线于点G， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 当时， 平分，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得到，即， 解得：； 如图，当时，过点E作交于点H， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的长度为：2或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 解方程：． 【答案】原方程的根是． 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边乘， 得， ， ， 解得，． 经检验：是原方程的根，是增根． ∴原方程的根是． 【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题的步骤是解题的关键，注意检验． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】x2-2xy-3y2="0" (x-y)2-4y2=0 又因：x-y=2代入上式 4-4y2=0 y=1或y=-1 再将y=1、y=-1分别代入x-y=2 则 x=1、x=3 ∴ 21. 如图，在中，点、、分别是边、、的中点． （1）写出图中所有与相等的向量：______； （2）用图中的向量表示：______； （3）求作：（不要求写作法，但要写出结论）． 【答案】（1） （2）或或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，即可求解； （2）根据三角形法则求向量的和，进而即可求解； （3）连接，则即为所求， 【小问1详解】 解：∵在中，点、、分别是边、、的中点 ∴， ∴与相等的向量是：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵ ∴， 又点、、分别是边、、的中点，则 ∴ 故答案为：或或 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求， ∵ ∴即为所求， 【点睛】本题考查了向量的顶用，三角形法则求向量，熟练掌握向量的定义以及线性运算是解题的关键． 22. 、两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从城驶往城，乙车从城驶往城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距城高速公路入口处的距离（千米）与行驶时间（时）之间的关系如图． （1）求关于的函数解析式； （2）已知乙车以千米时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为（千米时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚分钟到达终点，求乙车变化后的速度． 【答案】（1） （2）乙车变化后的速度为千米时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用．理解题意并根据题意建立方程是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出甲车从到所用时间，再求出两车的相遇时间，然后根据乙车比甲车晚分钟到达终点列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 将点，代入得， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， 当两车相遇时，， 解得， 依题意得，， 解得， 答：乙车变化后的速度为千米时． 23. 已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． （1）求证：； （2）连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的性质是解题关键． （1）连接并延长交于点，证明，得到，利用三角形中位线定理证得，即可证明结论成立； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，证明，推出，同理，得到，再证明，推出，据此即可证明结论． 【小问1详解】 证明：连接并延长交于点， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点， ∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形，，， ∴， 由（1）可知，，又， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 24. 已知在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、点．点C是x轴上一点，点Q是平面内一点，四边形是菱形． （1）求点C和点Q的坐标； （2）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E是直线上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段没有交点），求t的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出示意图，由四边形是菱形，得到，设点，，可得，求出，即，在根据菱形对角线互相平分且垂直，即可求解； （2）根据题意画出示意图，求出直线的解析式，结合“凹多边形”的定义找到临界点即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 四边形菱形， ， 设点，， ，即， ，即 ，即， ， ，即； 【小问2详解】 解：， 将点代入直线：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 将点代入，则， 解得：， 直线的解析式为：， 如图，当点E在直线下方，直线上方时，四边形是凹四边形， 此时，令，则有， ， 如图，当点E在直线上方时，四边形是凹四边形， 此时，令，则有， ， 综上，四边形是凹四边形，或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，一次函数解析式及“凸多边形”“凹多边形”的定义理解，正确画出示意图是解题的关键． 25. 已知在矩形中，，，点是边上的动点，连接．线段绕点顺时针旋转，点落在点处． （1）如图1，当时，求的面积； （2）设，，求关于函数关系式和定义域； （3）作的平分线与边所在直线交于点，如果，求的长． 【答案】（1） （2）（） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，交于点，证明四边形为矩形，易得，，由旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，由全等三角形的性质可得，可求得，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）设，，则，易得，在中，由勾股定理可得，即可获得答案； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，设的平分线与交于点，与交于点，设，则，由勾股定理解得，再证明，由相似三角形的性质可解得，，进而可得，，证明，由相似三角形的性质可得，代入数值解得，即可确定、的值，然后利用勾股定理计算的长度；②当点在线段上时，设的平分线与交于点，延长交于点，设，则，证明，，结合相似三角形的性质解得的值，即可确定、的值，然后利用勾股定理计算的长度． 【小问1详解】 解：如下图，过点作于点，交于点， ∵四边形为矩形，，，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转，点落在点处， ∴，， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如下图， 由（1）可知，，四边形为矩形，， ∴，， ∴， 设，，则， ∴， 中，可有， ∴， ∴关于的函数关系式为（）； 【小问3详解】 分两种情况讨论， ①当点在射线上时，如下图，设的平分线与交于点，与交于点， ∵为的平分线，，， ∴，，， 设，则， ∵四边形为矩形，，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，如下图，设的平分线与交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、函数解析式、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$