精品解析：2024年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区第三十四中学中考三模数学试题

第三十四中学初三学年学业监测三模 数 学 试 卷 一、选择题（30分） 1. 2024的相反数是（ ） A B. C. 2024 D. 2. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 为了丰富学生课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有（　　）种购买方案． A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图1，在中，，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 13 10. 抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③（为任意实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（21分） 11. 国家统计局2024年2月29日发布《2023年国民经济和社会发展统计公报》，经初步核算，2023年全年国内生产总值达到126万亿元，“126万亿”用科学记数法表示为_______． 12. 函数中自变量的取值范围是_____． 13. 已知圆锥侧面展开得到一个扇形，如果扇形的半径为，圆心角是，那么由它围成的圆锥的高是______． 14. 若关于的方程无解，则的值是____________． 15. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是16，，则___________． 16. 已知矩形中，，对角线的垂直平分线与的邻补角的平分线交于点N，若，则这个矩形的周长为__________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在轴正半轴上，点在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍（即）．得到，同理，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到三角形，则的坐标为_______． 三、解答题（69分） 18 （1）计算： （2）因式分解： 19. 解方程： 20. 我区某学校组织开展了健康知识的培训．为了解学生们对健康知识的学习情况，学校准备采用以下调查方式中的一种进行调查： ①从七年级一班随机选取20名学生作为调查对象进行调查； ②从八年级中随机选取200名学生作为调查对象进行调查； ③从全校学生学籍档案中随机抽取200名学生作为调查对象进行调查． 按照一种比较合理的调查方式所得到的数据后，学校按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图． 等级 A B C D E 成绩 （1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是___________（填序号）； （2）补全频数分布直方图，并求出在学生成绩频数分布直方图中m的值为___________； （3）在学生成绩扇形统计图中，D项所在的圆心角的度数为___________°； （4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有1800名学生，估计成绩优秀的学生约有多少人？ 21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC． （1）求证：AC平分； （2）若，．求OB的长． 22. 在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____． （2）求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案． 23. 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1， 在等边中， 点P是边上任意一点， 连接， 以为边作等边， 连接． 易证： （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点， 以为腰作等腰， 使，连接．判断和的数量关系，并说明理由： （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以边作正方形，Q是正方形 的中心， 连接．若正方形的边长为6，则正方形的边长为 24. 如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接．抛物线对称轴与轴交于点．点是直线上方抛物线上的一个动点（不与、重合），过点作交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴上一动点，当的和最小时，点的坐标为 ； （3）求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （4）是否存在点E，使与相似，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三十四中学初三学年学业监测三模 数 学 试 卷 一、选择题（30分） 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：D． 2. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合是中心对称图形，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，但是是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是单项式乘以多项式，合并同类项，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键．根据单项式乘以多项式可判断A，根据合并同类项可判断B，根据同底数幂的除法可判断C，根据积的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，，不是同类项，不能合并，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，运算正确，故D符合题意． 故选：D． 4. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：由题意知，一共有4种等可能结果，其中小乐抽到的邮票恰好是“立夏”只有1种结果， 所以小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 5. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作，先根据平行线的性质求出，再证明，然后根据两直线平行，同旁内角相等即可求解． 【详解】解：如图，作， ∵三角尺是含角的三角尺， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是利用两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等求解． 6. 如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最少时的数字即可． 【详解】解：作出该几何体的俯视图，画出数字，如图所示， 则搭成该几何体的小正方体的个数最少是4 ， 故选:B． 【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，画出相应的俯视图是解本题的关键． 7. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 8. 为了丰富学生的课余生活，某校开展了丰富多彩的体育活动．某班家长委员会为学生购买跳绳30元/根和45元/根的两种跳绳，购买跳绳共花费450元钱，两种跳绳都买的话，共有（　　）种购买方案． A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，根据共花费450元钱列二元一次方程解答即可． 【详解】解：设购买30元/根的跳绳x根，45元/根的跳绳y根，依题意有： ，即， ∵x，y均为正整数， ∴或或或， 共有4种购买方案． 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用， 二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键． 9. 如图1，在中，，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出和点和点重合时，的面积为3是解本题的关键．先根据结合图2得出，进而利用勾股定理得，，再由运动结合的面积的变化，得出点和点重合时，的面积最大，其值为3，即，进而建立方程组求解，即可得出结论． 【详解】解：由图2知，， ， ， ，， ，， 在中，①， 设点到的距离为， ， 动点从点出发，沿折线方向运动， 当点运动到点时，的面积最大，即， 由图2知，的面积最大为3， ， ②， ①②得，， ， （负值舍去）， ③， 将③代入②得，， 或， ， ， ， 故选：A． 10. 抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③（为任意实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置可判断①，根据特殊点可判断②；根据最值可判断③；根据对称性可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴负半轴相交， ∴，，， ∴，故①正确； 根据对称轴为直线得， 由图象可知，当时，， ∴，故②正确； 由图可知，当时，抛物线有最大值为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 由图可知，和满足， ∴和关于对称轴对称， ∴，，即， ∵， ∴，， 则， ∴， 解得，故④正确； 故选C． 二、填空题（21分） 11. 国家统计局2024年2月29日发布《2023年国民经济和社会发展统计公报》，经初步核算，2023年全年国内生产总值达到126万亿元，“126万亿”用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：126万亿即元 ， 故答案为：． 12. 函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，解题关键是明确0指数和二次根式以及分式有意义的条件，准确列出不等式组． 根据0指数底数不为0和二次根式被开方数大于或等于0，以及分式分母不为零列不等式组即可． 【详解】解：根据题意列不等式组得，， 解得，且． 故答案为：且． 13. 已知圆锥侧面展开得到一个扇形，如果扇形的半径为，圆心角是，那么由它围成的圆锥的高是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长就是侧面展开图的弧长，可求得圆锥底面圆的半径，又扇形的半径就是圆锥的母线，然后利用勾股定理即可求得该圆锥的高． 【详解】解：如图， 由题意可得：， ∵扇形的弧长就是圆锥的底面周长， ∴， 即：， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的高、勾股定理，解题的关键是熟记圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 14. 若关于的方程无解，则的值是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘：，得：， 整理得：， ①整式方程无解：，解得：； ②分式方程有增根：或，解得：或； 当时：整式方程无解； 当时：，解得：； 综上，当或时，分式方程无解； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程无解问题．熟练掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解，是解题的关键． 15. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是16，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 根据反比例函数值的几何意义计算出三角形的面积即可． 【详解】解：矩形的面积是16，， ，， ∵轴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，又∵， ∴， ∴ ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 故答案为：． 16. 已知矩形中，，对角线的垂直平分线与的邻补角的平分线交于点N，若，则这个矩形的周长为__________． 【答案】或##36或20 【解析】 【分析】分两种情况：当点在直线上方和下方，分别画出相应图形，作出辅助线构建全等三角形，求出的长，再根据矩形的周长公式进行计算即可． 【详解】①如图1，当点在直线上方时，作交的延长线于点，作于点，连接，， ∵，，， ∴四边形是矩形． ∵，，， ∴． ∴矩形正方形． ∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴这个矩形的周长为：； ②如图2，当点在直线下方时，作于点，作交的延长线于点，连接，， 同法可得：，，， ∴这个矩形的周长为：． 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的周长等知识，解题的关键是分类画图，并作出辅助线构建全等三角形解决问题． 17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在轴正半轴上，点在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍（即）．得到，同理，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到三角形，则的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，根据题意可知每转动次，则落在的延长线上，据此即可确定的位置． 【详解】根据题意可知，每转动次，则落在轴正半轴上． 可知的位置如图所示，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点，． 根据题意可知，，，，， ∴． ∴，． 所以，点的坐标为． 故答案为： 三、解答题（69分） 18. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角三角函数值，绝对值的性质，0指数幂的法则及实数运算法则处理； （2）根据提公因式法、完全平方公式作因式分解； 【详解】解：（1） ； （2） 【点睛】本题考查绝对值性质、0指数幂、实数的运算、因式分解；掌握运算法则及公式解题的关键． 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】移项，变形，提取公因式，化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：， ， ， 得或， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的求解，灵活选择求解方法是解题的关键． 20. 我区某学校组织开展了健康知识的培训．为了解学生们对健康知识的学习情况，学校准备采用以下调查方式中的一种进行调查： ①从七年级一班随机选取20名学生作为调查对象进行调查； ②从八年级中随机选取200名学生作为调查对象进行调查； ③从全校学生学籍档案中随机抽取200名学生作为调查对象进行调查． 按照一种比较合理的调查方式所得到的数据后，学校按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图． 等级 A B C D E 成绩 （1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是___________（填序号）； （2）补全频数分布直方图，并求出在学生成绩频数分布直方图中m的值为___________； （3）在学生成绩扇形统计图中，D项所在的圆心角的度数为___________°； （4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有1800名学生，估计成绩优秀的学生约有多少人？ 【答案】（1）③ （2）图见解析，18 （3）144 （4）936人 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合抽样调查方法即可选出适合方案． （2）结合扇形统计图所占百分比和样本总量即可求出． （3）在条形统计图找到对应数量利用扇形统计图圆心角公式即可求出． （4）找到成绩优秀的量，结合扇形统计图即可求出． 【小问1详解】 解：由题意可知，从全校学生学籍档案中随机抽取200名学生作为调查对象进行调查，比较合适． 故答案为：③． 【小问2详解】 解：（人）， （人）， 补全频数分布直方图如下所示： 故答案为：人． 【小问3详解】 解：， 故答案为：． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计成绩优秀的学生有人． 【点睛】本题考查了数据的整理与描述，熟悉抽样调查的可靠性，掌握利用扇形统计图的求圆心角，百分比估算总量是解题的关键． 21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC． （1）求证：AC平分； （2）若，．求OB的长． 【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O的切线，，可证，可证； （2）连接BC，由AB是⊙O的直径，可得，由， 可得，可求，由勾股定理求，即可． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴AC平分； （2）解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴， 在Rt△ACE中， ∴， 又∵，，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质，等腰三角形性质，直径所对圆周角是直角，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 22. 在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____． （2）求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度； （2）利用待定系数法求函数解析式； （3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解． 【小问1详解】 解：由图可得，即甲出发3时后与地相距， ∴甲车行驶速度； 由题意可得，，即乙车出发行驶， ∴乙车行驶速度为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设线段所在直线的解析式为． 将，代入，得． 解得． 线段所在直线的解析式为． 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， 由（1）可得乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地， 则乙到达目的地时，甲距离A地的距离为， ∴，， 设乙车出发时，两车距各自出发地路程的差是， 当时，此时甲在到达C地前， 由， 解得，（不合题意，舍去）； 当时，此时甲在C地休息，则， 解得，（不合题意，舍去）； 当时，此时甲在返回B地中，则 解得，（不合题意，舍去） 综上，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． 23. 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1， 在等边中， 点P是边上任意一点， 连接， 以为边作等边， 连接． 易证： （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点， 以为腰作等腰， 使，连接．判断和的数量关系，并说明理由： （3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以边作正方形，Q是正方形 的中心， 连接．若正方形的边长为6，则正方形的边长为 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，证明，由相似三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：和的数量关系为：；理由如下： 在等腰中，， ， 在等腰中，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接、，如图3所示： 四边形是正方形， ，， 是正方形的中心， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：（舍去）， 正方形的边长， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接．抛物线的对称轴与轴交于点．点是直线上方抛物线上的一个动点（不与、重合），过点作交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴上一动点，当的和最小时，点的坐标为 ； （3）求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （4）是否存在点E，使与相似，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当E的坐标的坐标为时，四边形CDBE的面积最大，最大值为 （4）存在，， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴，连接，当时，的和最小，，即，设，得出 （3）过点作轴于点，交于点，根据，即，得出直线的解析式为，设，则，则，连接，，四边形的面积根据二次函数的性质即可求解； （4）依题意，，则分①当时，②当时，如图所示，过点作垂足为点，连接并延长交于点，过点作轴于点，根据相似三角形的性质即可求解． 小问1详解】 解：依题意，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：由，当时， 即， 解得：， ∴， ∴， 如图所示， 过点作轴，连接， 当时，的和最小, 设，则， ∴， ∴， 即， 设 ∴， 解得：， ∴， 即当的和最小时，点P的坐标为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 连接，， 四边形的面积 ， 当时，，即当E的坐标的坐标为时，四边形CDBE的面积最大，最大值为 【小问4详解】 存在， ∵， ∴， ∴， ①当时，如图所示，则， ∴的纵坐标为， 由，当时， 即， 解得：， ∴； ②当时，如图所示，过点作垂足为点，连接并延长交于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， 联立， 解得：或（舍去） ∴， 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，解摘哦三角形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$