3.2 利用导数研究函数的单调性（讲义）-2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

3.2 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数与导函数图像的关系 【例1】（2024内蒙古包头）的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．  B．  C．  D．     【一隅三反】 1．（2024云南）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（    ） A．B．C．D． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（    ） A．B．C．D． 考点二 无参函数单调区间 【例2】（2024广东东莞）（1）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． （2）（2024重庆·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． （3）（2024北京）已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024广东东莞）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2024重庆长寿）函数的单调递减区间为（      ） A．（0，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞） 3．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 考点三 某区间上单调求参 【例3-1】（2024江西南昌）已知函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2024江苏南京）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3-3】（2024海南海口）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（2024浙江）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·广东茂名·一模）（多选）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 2．（2024福建南平）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（    ）. A． B． C． D． 4．（2024安徽宿州）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 某区间存在单调求参 【例4-1】（2024福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024重庆江北·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024江西萍乡）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024江苏常州）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是 . 考点五 某区间上不单调求参 【例5-1】（23-24高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2024江苏苏州·期末）（多选）若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【一隅三反】 1．（2024四川绵阳）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2024山东德州）若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024北京）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ． 考点六 含参函数的单调性分类讨论 【例6-1】（2024·福建漳州·一模）已知函数，且． (1)证明：曲线在点处的切线方程过坐标原点． (2)讨论函数的单调性． 【例6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 【例6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 【一隅三反】 1．（2024浙江杭州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值． 2．（2024安徽）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．，讨论函数的单调区间； 4．（2024湖南）已知，讨论函数的单调性. 5．（2024广东湛江）设函数（），讨论的单调性. 考点七 单调性的应用之比较大小 【例6-1】（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 考点八 单调性的应用之解不等式 【例8-1】（2024·北京延庆·一模）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8-3】（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 3．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 5．（2024·四川成都·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 . 一.单选题 1．（2023春·四川乐山）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 2．（2023春·吉林长春）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024广东深圳·期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．  B．   C．   D．   4．2024广西河池·期末）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·宁夏·一模）设定义在R上的函数满足对都有，且当时，，若，，，则a、b、c的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川遂宁·二模）已知a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（2023春·河南）函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 10．（2024春重庆）=已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（    ） A．在上为减函数 B．当时， C． D．在上有且只有1个零点 3． 填空题 12．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ． 13．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 14．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数，，若，则实数的取值范围为______． 4． 解答题 15．（2024福建）已知函数. （1）时，求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上不单调，且时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 16．（2024·山东青岛·一模）已知函数． (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论的单调性． 17．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知. (1)当时，求的零点个数； (2)讨论的单调性. 18．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 19． 对下面函数的单调性进行分类讨论 （1）（2024·广西）已知函数，讨论的单调性； （2）．（2024·安徽）已知函数，讨论函数的单调性； （3）（2024福建）已知函数，讨论f（x）的单调性； （4）（2024·福建 ）设函数，，讨论函数的单调性； （5）（2024湖北）已知函数，，讨论函数的单调性； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数与导函数图像的关系 【例1】（2024内蒙古包头）的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．  B．  C．  D．     【答案】C 【解析】由导函数的图象可知，当或时，；当时，. 所以，函数的增区间为和，减区间为，所以，函数的图象为C选项中的图象. 故选：C. 【一隅三反】 1．（2024云南）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】解法一：因为在和上，在和上， 所以函数在，上单调递增，在，上单调递减， 观察各选项知，只有D符合题意. 解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于， 所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意. 故选：D. 2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由的图象可知，当时，，则在区间上，函数上各点处切线的斜率在区间内， 对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确； 对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确； 对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确； 对于D，由的图象可知，当时，，当时，，当时，， 所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而函数的图象均符合这些性质，故D正确. 故选：D 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】由的图象知，当时，，故，单调递增； 当时，，故，当，，故， 等号仅有可能在x＝0处取得， 所以时，单调递减； 当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合. 故选：C. 考点二 无参函数单调区间 【例2】（2024广东东莞）（1）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． （2）（2024重庆·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． （3）（2024北京）已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】（1）D（2）C（3）A 【解析】（1）的定义域为，， 令，可得，解得：.故函数的单调递增区间是. 故选：D. （2）因为， 所以令可得，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：C （3）由得：，即的定义域为； ，当时，；当时，； 的单调递增区间为．故选：A． 【一隅三反】 1．（2024广东东莞）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，令可得，即，所以当时，函数单调递减. 故选：A 2．（2024重庆长寿）函数的单调递减区间为（      ） A．（0，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞） 【答案】B 【解析】的定义域为,, 令，解得：.所以函数的单调递减区间为（2，3）. 故选：B. 3．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 且， 令，解得，所以的单调递增区间为.故选：D 考点三 某区间上单调求参 【例3-1】（2024江西南昌）已知函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，令，可得， 因为在区间上单调递减，所以， 所以，解得．故选：B． 【例3-2】（2024江苏南京）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为函数在上单调递增，所以对恒成立， 即恒成立，设，， 当时，，所以，则，所以实数a的最小值为.故选：B. 【例3-3】（2024海南海口）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上为减函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 所以， 所以在上单调递减，所以， 故，所以的取值范围是. 故选：D. 【例3-4】（2024浙江）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，在上恒成立，即在上恒成立， 因为在上单调递增，所以，所以在时，， 所以.故选：B 【一隅三反】 1．（2024·广东茂名·一模）（多选）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】CD 【解析】由题意，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在，上单调递减， 若函数在区间上单调， 则或或，解得或或， 即或. 故选：CD. 2．（2024福建南平）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意 故选：B. 4．（2024安徽宿州）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，可得， 因为函数在区间上单调递增，可得在上恒成立，即在上恒成立， 设，可得，令，可得 当时，，所以单调递增，又因为， 所以，所以在上单调递减，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 考点四 某区间存在单调求参 【例4-1】（2024福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以，故选：D． 【例4-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得， 依题意，不等式在上有解，即在上有解， 令，，求导得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【一隅三反】 1．（2024内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，求导得， 由函数在上存在单调递减区间，得在上有解， 即不等式在上有解， 而函数在上单调递减，当时，，则， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（2024重庆江北·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递减，则，可得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．（2024江西萍乡）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得， 即，可得，设， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 当时，，故. 故选：B. 4．（2024江苏常州）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是 . 【答案】 【解析】， 因为函数存在单调递减区间，所以存在，使得小于零， 所以导函数的判别式，解得或，所以实数的取值范围为是， 故答案为：. 考点五 某区间上不单调求参 【例5-1】（23-24高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，令， 因为在上不单调，在上有变号零点，即在上有变号零点， 当 时， ，不成立； 当 时，只需 ，即 ，解得 或 ， 所以 在上不单调的充要条件是或 ，所以在上不单调的一个充分不必要条件是，故选：B 【例5-2】（2024江苏苏州·期末）（多选）若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】BC 【解析】的定义域为，所以，A错误； 由题意可得，令解得，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为在区间上不单调，所以，即， 选项B：当时，，正确；选项C：当时，， 所以，正确；选项D：当时，，错误；故选：BC 【一隅三反】 1．（2024四川绵阳）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 若在上不单调，令， 对称轴方程为，则函数与 轴在上有交点．当时，显然不成立； 当时，有解得或． 四个选项中的范围，只有为的真子集， ∴在上不单调的一个充分不必要条件是. 故选：C． 2．（2024山东德州）若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 若在上不单调，则在上有变号零点， 又单调递增，，即，解得． 的取值范围是． 故选：． 3．（2024北京）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得， 当在内为减函数时，则在内恒成立， 所以在内恒成立， 当在内为增函数时，则在内恒成立， 所以在内恒成立， 令，因为在内单调递增，在内单调递减， 所以在内的值域为，所以或， 所以函数在内单调时，a的取值范围是， 故在上不单调时，实数a的取值范围是． 故答案为：． 考点六 含参函数的单调性分类讨论 【例6-1】（2024·福建漳州·一模）已知函数，且． (1)证明：曲线在点处的切线方程过坐标原点． (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【解析】（1）因为，所以， 则，， 所以在处的切线方程为:， 当时，，故， 所以曲线在点处切线的方程过坐标原点. （2）由（1）得， 当时，，则，故单调递减； 当时，令则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【例6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】函数的定义域为， 求导得， ①当，即时，由，得，由，得， 因此在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，由，得或，由，得， 因此在，上单调递增，在上单调递减； ③当，即时，恒成立，因此在上单调递增； ④当，即时，由，得或，由， 得， 因此在，上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． 【例6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 【答案】当时，在R上单调递增；当或时，在，上单调递增，在上单调递减． 【解析】由题得，令得， ①若，即当时，恒成立，在R上单调递增； ②若，即当或时，可得的两根分别为，， 当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在R上单增； 当或时，在，上单调递增，在上单调递减． 【一隅三反】 1．（2024浙江杭州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【解析】（1）． 令，得或． 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 若时，，在上单调递增； 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 时，在单调递增，在单调递减． （2）当时， 设切点，则切线方程为 因为切线过原点， 故， 即， 解得或 所以或. 2．（2024安徽）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）当时，函数，则，切点坐标为， ，则曲线在点处的切线斜率为， 所求切线方程为，即. （2），函数定义域为R， ， ①，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ③，恒成立，在上单调递增. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．，讨论函数的单调区间； 【答案】答案见解析 【解析】依题意知函数定义域为， 当时，，， ∴当时，，在上单调递增， 当时，，在单调递减； 当时，令，得，， （i）当，时，即，而， 则时，时， 在，上均为增函数；在上为减函数； （ii）当，，即时，， 在上为增函数； (iii)当，，即时， 则时,，时,， 在，上均为增函数；在上为减函数. 综上：当时，增区间为，，减区间为； 当时，增区间为； 当时，增区间为和，减区间为； 当时，增区间为，减区间为. 4．（2024湖南）已知，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】由题意知，函数的定义域为，且 ①当时，因为，所以，所以. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. ②当时，由，解得；由，解得或. 所以在上单调递减，在，上单调递增. ③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增. ④当时，由，解得；由，解得或. 所以在上单调递减，在，上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. 5．（2024广东湛江）设函数（），讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】由题意可得的定义域为，， 设，令，， ①当时，，此时恒成立，在上单调递增； ②当时，，设的两根为， 由，可知的两根都小于0， 所以在上大于0，所以在上单调递增； ③当时，，由，解得，， 由，可知的两根都大于0， 所以当时，，，在，上单调递增， 当时，，，在上单调递减. 综述所述：当时，在上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. 考点七 单调性的应用之比较大小 【例6-1】（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 当时，，在上递增； 当时，，在上递减,故. 则，即；由可知，故.故选：B. 【一隅三反】 1．（2024·全国·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以令，则，， 当时，，所以函数在上单调递减． 又，所以，即．故选：D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为， 又，所以是偶函数， 又， 令，则恒成立，所以当时，，即， 又在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 构造函数，则，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又， 所以，所以，所以，所以.故选：B. 3．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，则，，， 由，令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以，所以； 因为，所以，所以； 令，且，则， 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 因为，且，所以，所以. 故选：B 考点八 单调性的应用之解不等式 【例8-1】（2024·北京延庆·一模）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为单调递增，且，， 所以存在唯一，使得，所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且，所以由可得，故选：A 【例8-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 所以是上的增函数，所以若 则，解得. 故选：D 【例8-3】（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数，可得， 所以函数在上单调递减， 由，可得，即， 可得，所以，即不等式的解集为. 故选：D. 【一隅三反】 1．（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则， 又因为函数也是偶函数，所以，得， 因为为减函数，为增函数，所以为减函数， 令，得， 所以时，，在上单调递减， 根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以，即，即，得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解析】因为，则， 令，则，所以在上单调递增. ， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 故在上单调递减， 所以，，故A不正确； 所以，即，即，故B不正确； 又，即，即，故C错误； 因为，即，即，故D正确； 故选：D. 4．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【解析】由知是奇函数，， 设，则， 在上单调递增，由得， 即，，得的取值范围是. 故答案为： 5．（2024·四川成都·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 又，所以在上单调递增， 不等式，即， 等价于，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 一.单选题 1．（2023春·四川乐山）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【答案】A 【解析】，当时，单调递增，当时，单调递减；的减区间是；故选：A. 2．（2023春·吉林长春）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则 由函数在区间上是增函数，可得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，又由，可得，则故选：D 3．（2024广东深圳·期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【解析】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合， 故选：C 4．2024广西河池·期末）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由. ①当时，函数单调递增，不合题意； ②当时，函数的极值点为， 若函数在区间不单调，必有，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：B. 5．（2024·宁夏·一模）设定义在R上的函数满足对都有，且当时，，若，，，则a、b、c的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 即为的一个周期，所以， 令， 由已知可得时，单调递增， 所以，即C正确 . 故选：C 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故， 故， 因为是定义在上的奇函数，故， 故，故，故， 此时，故为上的减函数， 而等价于， 即即，故或 故选：A . 7．（2023·全国·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得 ， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立． 设，则在上恒成立， 利用二次函数的图象与性质及数形结合思想， 可得或， 解得，所以实数a的取值范围为 故选：B． 8．（2024·四川遂宁·二模）已知a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 由，可得， 由可得， 令，，故在上单调递增， 令，，故在上单调递增， 令，，故在上单调递减， 令，则， 则时，，，， 故在上单调递增，在上单调递减， ，，，， ，，，， 为函数与函数的交点横坐标， 为函数与函数的交点横坐标， 为函数与函数的交点横坐标，结合函数图象可得. 故选：A. 2． 多选题 9．（2023春·河南）函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值， 又，所以和为方程的两根且； 所以，， 所以，，，，故A错误，B正确； 所以，，故C正确，D错误. 故选：BC 10．（2024春重庆）=已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则， 即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根， 令，则，故当 单调递增， 当 单调递减，且 即，故选：BD 11．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（    ） A．在上为减函数 B．当时， C． D．在上有且只有1个零点 【答案】BCD 【解析】由，可得． 令， 则当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 可得，所以，所以C正确； 因为，所以当时，， 又因为，所以当时，，所以B正确； 由是定义在上的奇函数，故当时，， 又因为，所以在上有且只有1个零点，所以D正确． 因为的单调性无法判断，所以A错误． 故选：BCD. 3． 填空题 12．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，则，所以函数在上是减函数， 由，得，即， 所以，解得，所以的取值范围为.答案为：. 13．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意知， 因为在区间上不单调， 即在区间有零点， 又，即为的零点在区间内， 所以解得，即m的取值范围是． 故答案为： 14．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】由， 函数是定义在上的偶函数，又， 令且，则，故在上递增， 所以，即在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上递增，则上递减， ，则， ，即，即， 在上单调递增，，即，解得．故答案为：． 4． 解答题 15．（2024福建）已知函数. （1）时，求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上不单调，且时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）当时，，定义域为R， ， 令，得，或， 函数的单调递增区间是； （2）， 令，得，或， ∵函数在区间上不单调， ，即， 又∵在上，，在上，， 在上的最大值为， ∴当时，不等式恒成立，等价于， ， ， ，解得， 综上所述，a的取值范围是. 16．（2024·山东青岛·一模）已知函数． (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）当时，，解得 又因为，所以切线方程为：，即 （2）的定义域为， 当时，得恒成立，在单调递增 当时，令， （i）当即时， 恒成立，在单调递增 （ii）当即时， 由得，或， 由得， 所以在，单调递增， 在单调递减 综上：当时，在单调递增； 当时，在，单调递增； 在单调递减 17．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知. (1)当时，求的零点个数； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)2个零点 (2)答案见详解 【解析】（1）， 当时， ，令得， 当，，单调递减； 当，，单调递增； ，若能取到，则，， 由零点存在定理可知，在和各有一个零点，所以的零点个数为2； （2）因为， 当时，，故的正负由的正负决定， 时，，单调递减， ，，单调递增； 当时，令，令得， 若，时， ，，单调递减， ，，单调递增； 若，时， 当时，时，在单调递增； 当时，时，时，，单调递增， 时，，单调递减； 当时，时，时，，单调递增， 时，，单调递减. 综上所述，当时，时，单调递减， ，单调递增； 当时，时，在单调递增； 当时，时，单调递增， 时，单调递减； 当时，时，单调递增， 时，单调递减. 18．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 19． 对下面函数的单调性进行分类讨论 （1）（2024·广西）已知函数，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】， 由函数的定义域为，有， ①当时，，此时函数单调递增； ②当时，令可得， 可得函数的增区间为，减区间为； （2）．（2024·安徽）已知函数，讨论函数的单调性； 【答案】见解析 【解析】 若时，，在上单调递增； 若时，，当或时，，为增函数， 当时，，为减函数， 若时，，当或时，，为增函数， 当时，，为减函数. 综上，时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）（2024福建）已知函数，讨论f（x）的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞）， 当时，，∴在（0，+∞）上恒成立， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当时，令，解得： ∴当时，；当时， ∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减. （4）（2024·福建 ）设函数，，讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】由，得， 令，解得或， 当时，，和时，，单调递增，时，，单调递减； 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，，和时，，单调递增，当时，，单调递减； 综上所述： 当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为； 当时，在上单调递增，无减区间； 当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为； （5）（2024湖北）已知函数，，讨论函数的单调性； 【答案】见解析 【解析】，， 令，， 若，即，则， 当时，，单调递增， 若，即，则，仅当时，等号成立， 当时，，单调递增. 若，即，则有两个零点，， 由，得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$