精品解析：辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

2023~2024学年度下学期高一6月联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第一册、必修第二册、必修第三册、必修第四册第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】由题意，，所以. 故选：D 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式直接化简求得结果即可. 【详解】解：． 故选：B 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将一元二次不等式化为标准形式求解即可. 【详解】原不等式化为，即，解得， 故原不等式的解集为 . 故选：B. 4. 下列四个函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本函数的解析式直接判断单调性即可. 【详解】对于A，是单调递减函数，故A不正确； 对于B，，在上单调递减，在上单调递增， 故B正确； 对于C，当时，，函数单调递减，故C不正确； 对于D，，由向右平移1个单位变换得到， 所以在区间和上单调递增，故D不正确. 故选：B. 5. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以，所以，所以， 所以，故. 故选：D 6. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 7. 已知且，若函数，的最大值不超过1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，，要使函数的最大值不超过1，则，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增， 则函数，故， 函数在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以函数的最大值不超过1， 则，又因为，解得：. 故选：C. 8. 袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率. 用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 342 241 244 342 142 431 233 214 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数出满足条件的组数，即可求解. 【详解】组随机数中，满足条件的有221，132，241，142，这4组数据满足条件，所以估计恰好抽取三次就停止的概率. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，结果为正数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先算出的范围，然后结算象限角的三角函数特点即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 为偶函数 D. 是周期函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出的最小正周期可判断A；可判断B；由可判断C；画出的图象可判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，则， 故不为偶函数，故C错误； 对于D，显然的图象关于y轴对称，如下图，结合正弦型函数的周期性， 可知在y轴的一侧是周期函数，而在R上不是周期函数，故D错误. 故选：BCD. 11. 函数（，且）与在同一坐标系中图像可能是（ ） A. . B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数函数图像性质直接判断. 【详解】由题意得，中若，，则， 若，，则； 中表示纵截距. 对于A，图像中，图像中，故A错误； 对于B，图像中，图像中，故B正确； 对于C，图像中，图像中，故C错误； 对于D，图像中，图像中，故D正确； 故选：BD 12. 设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据各均值的定义及基本不等式的内容分别判断各选项. 【详解】A选项：， 当且仅当时，等号成立，故A选项正确； B选项：， 当且仅当时，等号成立，故B选项正确； C选项：， 当且仅当时，等号成立，故C选项不正确； 对于D，当时，由C可知，，故D选项不正确； 故选：AB． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设：，，则是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案. 【详解】命题：，，则是，. 故答案为：， 14. _________________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平方关系式及正弦二倍角公式求解即可. 【详解】 故答案为：. 15. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解. 【详解】设角的平分线交于，因为，故，即， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 设，（如图所示），，因为， 故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上. 因为，故，故. 综上，为等腰直角三角形且，所以. 故答案为： 16. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的新定义计算得出函数值即可. 【详解】在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据条件求出,然后把转换成的形式代入即可. （2）把转化成的形式代入即可. 【小问1详解】 因为， 所以, 所以. 【小问2详解】 . 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并用定义证明； （2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明． 【答案】（1）是偶函数，证明见解析 （2）在区间在上单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解. 【小问1详解】 函数是偶函数. 证明如下： 由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，即， 所以是定义域上的偶函数. 【小问2详解】 函数在区间在上单调递减. 证明如下： 设， 则 ． 因为，可得， 所以，即， 所以在区间上单调递减函数. 19. 已知，是函数（，，）的两个零点，的最小值为，且． （1）求的解析式； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数性质和周期公式可求得，再由可得，结合即可求出的解析式； （2）利用整体代换法可求得，根据余弦函数单调性即可求得在上的值域为. 【小问1详解】 设的最小正周期为， 因为，是函数的两个零点，的最小值为， 所以，． 由得， 因为，所以，， 由，可得， 解得， 所以． 【小问2详解】 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以， 即在上的值域为． 20. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先列出全部事件的24个样本点，根据古典概型可知： （1）恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，概率为， （2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，概率为， （3）书包都拿错了包含9个样本点，概率为 【小问1详解】 设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为 ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 共有24种情况． 恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为 ，，，，，， 故其概率为． 【小问2详解】 至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为 ，，，，，，， 故其概率为． 小问3详解】 书包都拿错了包含9个样本点，分别为 ，，，，，， ，，， 故其概率为． 21. 如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静） （1）要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？ （2）假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？ 【答案】（1） （2）航行方向为北偏东 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解； （2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由（1）利用余弦定理得到方程解得对应的时间，再解得相应角，即可求解. 【小问1详解】    如图设小艇的速度为，时间为相遇，相遇点为C， 则由余弦定理得：， 即, 当时，取得最小值，此时速度， 此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为. 【小问2详解】 要用时最小，则首先速度最高，即为， 则由（1）可得：， 即，解得，此时相遇点为B， 此时，在中，，则， 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东，航行速度为，小艇能以最短时间与轮船相遇. 22. 某工厂有甲、乙两个生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数，其图象如图所示. （1）根据图象求函数解析式； （2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两个车间都投产时刻污水瞬时排放量； （3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂的两个车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 【答案】（1） （2） （3）为满足环保要求,乙车间至少需比甲车间推迟小时投产. 【解析】 【分析】（1）由图可得,利用周期公式可求出，代入求出,即可得函数解析式； （2） 该厂时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，可得时刻的排污量：，化简即可得出； （3）设乙车间至少比甲车间推迟小时投产，据题意得，，化简借助辅助角可知，即，借助图象性质即可得解． 【小问1详解】 由图可得：，解得：， ，所以，解得：， 由过点可得： ，因为，所以， 所求函数的解析式为. 【小问2详解】 该厂时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和， 此时甲车间排污量为乙车间为， 根据题意可得时刻的排污量：， 所以. 【小问3详解】 设乙车间至少比甲车间推迟小时投产，根据题意可得： ， ， 所以， 所以， ∴，∴，  ∴，由 得，∴， ∴为满足环保要求,乙车间至少需比甲车间推迟小时投产. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度下学期高一6月联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第一册、必修第二册、必修第三册、必修第四册第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式解集为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 若，则（ ） A B. C. 或 D. 7. 已知且，若函数，的最大值不超过1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率. 用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 342 241 244 342 142 431 233 214 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，结果为正数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 为偶函数 D. 是周期函数 11. 函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. . B. C D. 12. 设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设：，，则是______. 14. _________________. 15. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 16. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知函数． （1）判断奇偶性，并用定义证明； （2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明． 19. 已知，是函数（，，）的两个零点，的最小值为，且． （1）求的解析式； （2）求在上的值域． 20. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 21. 如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静） （1）要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？ （2）假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？ 22. 某工厂有甲、乙两个生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数，其图象如图所示. （1）根据图象求函数解析式； （2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两个车间都投产时刻的污水瞬时排放量； （3）由于受工厂污水处理能力影响，环保部门要求该厂的两个车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $