第二章 实数单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第2章 实数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·四川德阳·期中）下列各数中，是无理数的是（    ） A．2024 B． C． D． 2．（2024·河南驻马店·二模）实数，，，中无理数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·北京东城·期中）若，则a的值为（    ） A． B． C．6 D．3 4．（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．64的立方根是 B．的平方根是－4 C．4的算术平方根是 D．5是25的算术平方根 5．（23-24七年级下·山东德州·期中）在实数4，0，，，，，，中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（22-23七年级上·山东烟台·期末）利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 7．（2024·甘肃陇南·三模）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法：①5是25的算术平方根；②是的一个平方根；③的平方根是；④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1.其中正确的个数有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024·河南周口·三模）如图，的两个顶点A，C均在数轴上，且 若点 A 表示的数是，点 C表示的数是2，那么以点A 为圆心，的长为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·山东滨州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）设面积为5的正方形的边长为x ，那么x= 12．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于 ． 13．（22-23八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1=﹣5．则﹣1⊕3的值为 ． 14．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 ． 15．（22-23七年级下·福建福州·期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根． 解答：∵＜59319＜，∴是两位整数； ∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9； 又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4， ∴的十位数字是3； ∴＝39； 【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为 ． 16．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中 ． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）计算： (1)； (2)． 18．（23-24七年级下·云南昭通·期中）若正数x的平方根是与，求a与x的值． 19．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知a的立方等于，b的算术平方根为5． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 20．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求a的值； (2)求关于x的方程的解． 21．（23-24七年级下·北京·期中）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． (1)直接写出上图中__________． (2)若，求x的值． 22．（23-24八年级下·福建南平·期中）在解决问题已知，化简ɑ的值时，小明是这样分析与解答的：． (1)化简：； (2)化简：． 23．（22-23七年级下·福建福州·期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么_______， _______； (2)如果，其中a、b为有理数，求的算术平方根； (3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根． 24．（22-23九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 25．（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，． 关于取整运算有部分性质如下： ① ②若n为整数，则 请根据以上材料，解决问题： (1)___________；若，，则___________； (2)记，求； (3)解方程：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·四川德阳·期中）下列各数中，是无理数的是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念．无理数指无限不循环小数，逐项判断即可． 【详解】解：A.2024是整数，属于有理数，此项不符合题意； B.是整数，属于有理数，此项不符合题意； C.开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，此项符合题意； D.是分数，属于有理数，此项不符合题意． 故选：C． 2．（2024·河南驻马店·二模）实数，，，中无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 根据无理数、有理数的定义即可判定． 【详解】解：∵带根号的开不尽方是无理数， ∴带根号但开不尽方，是无限不循环小数，是无理数． 故选． 3．（23-24八年级上·北京东城·期中）若，则a的值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是平方根的含义，平方差公式的应用，本题先把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故选A 4．（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．64的立方根是 B．的平方根是－4 C．4的算术平方根是 D．5是25的算术平方根 【答案】D 【分析】根据立方根、平方根及算术平方根的的定义依次做出判断即可． 【详解】解：A、64的立方根是4，故选项错误，不符合题意． B、等于16，平方根是，故选项错误，不符合题意． C、4的算术平方根是2，故选项错误，不符合题意． D、5是25的算术平方根是正确的，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根及算术平方根的定义、表示及计算，熟练掌握立方根及算术平方根的定义及计算是解题关键． 5．（23-24七年级下·山东德州·期中）在实数4，0，，，，，，中无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：，， 在实数4，0，，，，，，中无理数有，，，共3个， 故选：C． 6．（22-23七年级上·山东烟台·期末）利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】由按键顺序可知算式为，然后估算出的取值范围即可． 【详解】解：由按键顺序可知算式为：， ∵， ∴， ∴， ∴计算器显示的结果与各数中最接近的一个是0.6， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学计算器的使用，无理数的估算，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键． 7．（2024·甘肃陇南·三模）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的应用，先求出大、小正方形的边长，进而列式计算阴影部分的面积即可，解题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：． 8．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法：①5是25的算术平方根；②是的一个平方根；③的平方根是；④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1.其中正确的个数有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根、立方根的意义，逐一判断即可. 【详解】①5是25的算术平方根，正确；②是的一个平方根，正确；③的平方根是，不正确；④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1，正确. 故选C. 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的意义，熟练掌握概念是解题关键. 9．（2024·河南周口·三模）如图，的两个顶点A，C均在数轴上，且 若点 A 表示的数是，点 C表示的数是2，那么以点A 为圆心，的长为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可． 【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是2， ∴， ∵ ∴，， 由作图可知：， ∴点 D 表示的数是； 故选A． 10．（23-24七年级下·山东滨州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或的算术平方根在， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由， ， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； 故选：D 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）设面积为5的正方形的边长为x ，那么x= 【答案】 【详解】解：根据题意得x2=5， ∴x=． 故答案为． 12．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【详解】解：由，两边分别平方得：， ∴， 原式===， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示． 13．（22-23八年级上·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1=﹣5．则﹣1⊕3的值为 ． 【答案】5 【分析】直接利用a⊕b=a（a-b）+1，进而代入求出答案． 【详解】由题意可得： −1⊕3=−1×(−1−3)+1 =5. 故答案为5. 【点睛】属于新定义问题，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键. 14．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 ． 【答案】． 【分析】先计算阴影部分的面积，也就是新组成的三角形的面积，根据面积就可求得新正方形的边长． 【详解】解：∵阴影部分的面积为5 ∴新拼成的正方形的面积为5 ∴边长为，故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形面积计算，熟练掌握正方形的面积等于边长的平方就可解出此题． 15．（22-23七年级下·福建福州·期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根． 解答：∵＜59319＜，∴是两位整数； ∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9； 又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4， ∴的十位数字是3； ∴＝39； 【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为 ． 【答案】-13 【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可． 【详解】∵＋59049＝0， ∴， ∵＜19683＜， ∴是两位整数； ∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3， ∴的末位数字是7； 又∵划去19683的后面三位683得到19， 而2＜＜3， ∴的十位数字是2； ∴＝27； ∴， 解得x=-13， 故答案为：-13． 【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键． 16．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查利用正方形的性质求解一元一次方程和二次根式的混合运算，根据题意可得，设，则，进一步得图2中， ，继而得，列出，解得x，则图2中代入求解即可． 【详解】解：∵边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形． ∴， 设， ∵图1四边形为正方形， ∴， ∵， ∴图2中，则， ∵图2四边形为正方形， ∴， ∵， ∴，解得， 则图2中， 故答案为：1． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数计算，完全平方公式，平方差公式． （1）根据题意先将二次根数整理，再从左到右依次计算即可； （2）先利用完全平方公式及平方差公式将式子展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．（23-24七年级下·云南昭通·期中）若正数x的平方根是与，求a与x的值． 【答案】， 【分析】本题考查平方根的定义，熟练掌握一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数是解题的关键．利用一个正数的两个平方根互为相反数列式解答即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴． 19．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知a的立方等于，b的算术平方根为5． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，根据一个数的算术平方根求这个数，熟知算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据，可求出a的值，根据，即可求出b的值； （2）根据（1）所求求出，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a的立方等于， ∴； ∵b的算术平方根为5， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴的平方根是， ∴的平方根是． 20．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求a的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根的性质； （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴， 解得：． （2）解：当时，，即， 解得：． 21．（23-24七年级下·北京·期中）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． (1)直接写出上图中__________． (2)若，求x的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查了立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的性质是解题的关键． （1）根据互为相反数的立方根仍然互为相反数得到，即可求出a的值； （2）根据平方根的定义得到，，进一步得到，利用平方根的意义解方程即可． 【详解】（1）解：∵y的立方根是，的立方根是， ∴， 解得， 故答案为：5 （2）∵x的平方根是和， ∴，， ∵， ∴ 即 解得， ∵， ∴，即x的值为． 22．（23-24八年级下·福建南平·期中）在解决问题已知，化简ɑ的值时，小明是这样分析与解答的：． (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式分母有理化化简；理解分母有理化的方法是解题的关键． （1）分子分母同时乘以（）即可求解； （2）由（1）同理可进行化简，化为二次根式的加减，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 23．（22-23七年级下·福建福州·期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么_______， _______； (2)如果，其中a、b为有理数，求的算术平方根； (3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】(1)；； (2)的算术平方根3； (3)的立方根为1或． 【分析】（1）根据已知可得，，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答； （3）根据已知可得，从而可得，，进而可得，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，其中a、b为有理数， ∴，， ，， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ， 的算术平方根是3； （3）解：， ， ， ， ∵a、b都是有理数， ，， ，， ∴当，时，，的立方根为1； 当，时，，的立方根为； ∴综上所述：的立方根为1或． 【点睛】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24．（22-23九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算： ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___，___； (2)计算： (3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可； （2）根据题意得到规律的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，据此求解即可； （3）仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； 故答案为：；1； （2）解：∵，，，，…， ∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：， ∵， ∴ ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 25．（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，． 关于取整运算有部分性质如下： ① ②若n为整数，则 请根据以上材料，解决问题： (1)___________；若，，则___________； (2)记，求； (3)解方程：． 【答案】(1)3， (2)43 (3)或 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）先进行分母有理化，再求和即可； （3）根据题意可得，求出的取值范围可得，再由是整数，可求的值． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 故答案为：3，； （2） ， ， ， ； （3）， ， ， 解得， ， 是整数， 或 解得或 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理数化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$