精品解析：山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学 本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记为等比数列前n项和，若，，则公比（ ） A. B. C. 3 D. 2 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.1 3. 函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 记数列的前n项和为，若，则（ ） A. 301 B. 101 C. D. 6. 函数在处取得极大值9，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附： 0050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有6个相同小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ） A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生概率是_____________． 13. 记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______． 14. 已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 16. 某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． （1）求比赛结束时恰好打了5局的概率； （2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望． 17. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 18. 近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2023年12月 2024年1月 2024年2月 2024年3月 2024年4月 月份代码x 1 2 3 4 5 销量y/千辆 14 15 16 18 19 （1）已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量； （2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具， （i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为．求的最大值点； （ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：，． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记为等比数列的前n项和，若，，则公比（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列求和公式基本量的计算即可得解. 【详解】若，，则，解得，符合题意. 故选：D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A 3. 函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把三个数值看成三个斜率，即可用数形结合比较大小. 【详解】设点 则可以把看成两点的斜率， 把看成曲线在点的切线斜率， 把看成曲线在点的切线斜率， 再作出图形进行数形结合分析： 由图可得， 即. 故选：B. 4. 若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分第1次按对和第2次才按对两种情况，利用条件概率公式和加法公式计算概率可得. 【详解】记“小王第一次按对”=, “第二次按对” ,； 小王1次就按对的概率即为， 小王恰好需要2次才按对的概率. 所以小王不超过2次就按对的概率为. 故选：B. 5. 记数列的前n项和为，若，则（ ） A. 301 B. 101 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分组求和法计算即得. 【详解】数列中，，则， 所以 故选：C 6. 函数在处取得极大值9，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先由取极值的必要条件求出参数，然后回过头去检验是否满足题意即可. 【详解】由题意，函数，可得， 因为在处取得极大值9，可得， 解得或， 检验知，当时，可得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值9，与题意矛盾，故不符题意； 当时，可得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值9，故符合题意； 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解. 【详解】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解. 8. 某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附： 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】设男生总人数为，写出列联表，根据题意列出卡方不等式即可求解. 【详解】设男生总人数为，依题意可得列联表如下： 每周平均体育运动时间超过4小时人数 每周平均体育运动时间不超过4小时 合计 男生人数 女生人数 合计 若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关， 则， 解得，则被抽取的男生人数至少为70人. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用函数乘除的导数可以判断A、C,B、D用复合函数的求导规则判断即可. 【详解】对于A,,故A对. 对于B,,故B对. 对于C, ,故C错. 对于D,,故D对. 综上所得,正确的是：ABD. 故选:ABD. 10. 有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ） A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助独立事件乘法公式计算即可得；对B：借助相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可得，C、D同理. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，， 则，故与不相互独立，故B错误； 对C：，， 则，故与相互独立，故C正确； 对D：， 则，故与相互独立，故D正确； 故选：ACD. 11. 黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由即可举出反例，对于B，首先得，利用作差法即可判断；对于CD，利用数学归纳法即可证明. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，是相邻的偶数和奇数，所以是既约分数，所以， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 若当时，成立， 则时， ，故C正确； 对于D，当时，， 若当时，成立， 则时，， 要使， 而，， 只需，只需，显然， 故只需， 当时，该式子为，显然成立， 若当时，有， 当时， ， 从而对任意正整数均有， 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：再利用数学归纳法以及分析法可知只需证明对任意正整数均有成立即可，再次利用数学归纳法即可顺利得解. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出任选3人的方法总数，再求得至少有1名女生的方法数后可计算概率． 【详解】任选3人的方法数为，其中至少有1名女生的方法数为． 所以概率为． 故答案为：． 13. 记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】由已知结合等差数列基本量的计算、等差数列的性质得，进一步结合等差数列基本量的计算列方程即可求解. 【详解】设首项、公差分别为，则， 所以， 因为，所以. 故答案为：12. 14. 已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用导数，确定的单调区间及最值，作出图象，由可得或，再根据只有一个零点，结合的图象求解，即可得第一空答案；由，可得，分，结合题意和的图象求解，即可得第二空答案． 【详解】，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； ∴；当时，；当时，；． 据此可作出图象如图所示： 令，则或， 由，可得； 又∵只有一个零点，∴无解，或， ∴，或， ∴的取值范围是． 令，则． ①当时，则或， 由，可得，无整数解，∴中有3个整数解， 结合的图象可知此三个整数解为， ∵， ∴； ②当时，， 由，得，不满足题意； ③当时，由，得或， ∵的解集中无整数，的解集中有若干个整数，不满足题意； 综上，的取值范围为． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题的第一空的关键是采用整体法，解出或，再利用导数得出的图象与性质，结合图象即可得到的范围. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递减区间为,函数单调递增区间为．极小值为,无极大值； （2）最小值为,最大值为2． 【解析】 【分析】（1）求导,得到,令得,或（舍去）,将定义域分成几段考虑导数正负,得出单调区间,由单调性,得到函数的极值. （2）与（1）方法相同(只是定义域发生改变),求出极值后再与端点值比较即可得到最值. 【小问1详解】 函数的定义域为, ． 令得,或（舍去）, 当时,,函数单调递减； 当时,,函数单调递增, 所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为． 函数的极小值为,无极大值． 【小问2详解】 由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以,,, 又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2． 16. 某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． （1）求比赛结束时恰好打了5局的概率； （2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出恰好打了5局，甲获胜的概率和乙获胜的概率，再利用互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知，X的取值范围是，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望． 【小问1详解】 比赛结束时， 恰好打了5局，甲获胜的概率为， 恰好打了5局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了5局概率为； 【小问2详解】 由题意可知，X取值范围是． ， ， ， 所以X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． 17. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）时，有，将它与已知式子相比可得，检验是否满足该式子即可得解； （2）先通过分组求和、等比数列求和公式得，然后对分离参数得不等式对恒成立，从而只需求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以时，， 所以当时，， 又满足上式， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 所以， 即不等式对恒成立， 令，， 令，可得， 当时，，此时，即此时有， 数列的最大项为，所以． 18. 近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2023年12月 2024年1月 2024年2月 2024年3月 2024年4月 月份代码x 1 2 3 4 5 销量y/千辆 14 15 16 18 19 （1）已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量； （2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具， （i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为．求的最大值点； （ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：，． 【答案】（1），20.3千辆； （2）（i）；（ii）12人 【解析】 【分析】（1）由题意，先求出，利用公式求出，即可求出y关于x的线性回归方程，将代入回归方程，可得2024年5月份的销量； （2）（i）求出恰好两期达到“优秀”标准的概率为，应用导数求出的最大值点； （ⅱ）设“员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件B，可得，设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，为培训后能使用人工智能工具的人数， 则，求出调整后年利润，根据调整后年利润不低于调整前的年利润，得到不等式，可解出，则得到答案. 【小问1详解】 由题意得，， ， ， ， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，， 所以估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量是20.3千辆； 【小问2详解】 （i）恰好两期达到“优秀”标准的概率为，， 因此， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，的最大值点． （ⅱ）设“员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件B， 所以， 设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为， 为培训后能使用人工智能工具的人数， 则，因此， 调整后年利润万元， 令，解得， 所以最多可以调12人到其他部门． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）只需分别求出的值即可求解； （2）构造函数，原题条件等价于在上恒成立，求得，从而分是否小于1进行讨论即可求解. （3）由（2）可知得即，进一步有，从而累加即可得证. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，， 所以函数在处的切线方程为即； 【小问2详解】 若在上恒成立，则在上恒成立， 设，，所以， ， ①当时，， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，即在不恒成立． ②当时，， 当时，，在上单调递增， 又，此时， 综上所述，所求m的取值范围是； 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上恒成立， 取，得即，当且仅当时等号成立， 令，， 则， 所以， 所以 ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是利用第二问的结论得到，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$